橢圓曲線y2=qx(x2-8)的正整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

(滇西科技師范學(xué)院后勤管理處，云南臨滄677000)

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橢圓曲線y2=qx(x2-8)的正整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

(滇西科技師范學(xué)院后勤管理處，云南臨滄677000)

摘要：設(shè)q≡±3(mod 8)為奇素?cái)?shù)，主要利用同余的性質(zhì)證明了:q=3時(shí)，橢圓曲線y2=qx(x2-8)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(3,1)；q≠3時(shí)，橢圓曲線y2=qx(x2-8)無正整數(shù)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：橢圓曲線；奇素?cái)?shù)；同余；正整數(shù)點(diǎn)

1概述

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)中基本而又重要的問題，關(guān)于橢圓曲線y2=ax(x2+b)，a∈Z+,b∈Z的整數(shù)點(diǎn)問題，目前主要結(jié)論如下說明。

1)b=±1。主要結(jié)論為： ①b=1時(shí)，管訓(xùn)貴[1]證明了Fn(n≥2)為費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線y2=ax(x2+b)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=((Fn-2-1)2,Fn(Fn-2-1))；楊海、付瑞琴[2]給出了橢圓曲線y2=ax(x2+b)在a≡9(mod 16)時(shí)沒有正整數(shù)點(diǎn)，a≡1(mod 16)時(shí)，給出了該橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的2個(gè)判別條件；竇志紅[3]給出了對(duì)于某些特殊素?cái)?shù)a橢圓曲線y2=ax(x2+b)的上界；祝輝林、陳建華[4]證明了橢圓曲線y2=ax(x2+b)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)；樂茂華[5]證明了當(dāng)a?1(mod 8)，橢圓曲線y2=ax(x2+b)僅當(dāng)a=2時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,1)；當(dāng)a≡1(mod 8)時(shí)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)(x,y)。②b=-1時(shí)，趙院娥[6]證明了當(dāng)無平方因子的正奇數(shù)a是適合a≡5或7(mod 8)的奇素?cái)?shù)時(shí)，橢園曲線y2=ax(x2+b)無非零整數(shù)解。

2)b=2。主要結(jié)論為:陳歷敏[7]證明了當(dāng)a≠3為奇素?cái)?shù)時(shí)，如果a≡5,7(mod 8)，則橢圓曲線y2=ax(x2+b)沒有正整數(shù)點(diǎn)；如果a≡1(mod 8)，則y2=ax(x2+b)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)；如果a≡3(mod 8)，則y2=ax(x2+b)至多有2組正整數(shù)點(diǎn)；廖思泉、樂茂華[8]證明了如果a的素因數(shù)q都滿足q≡5或7(mod 8)，則y2=ax(x2+b)無非零整數(shù)解；李玲、張緒緒[9]給出了a≡1(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=ax(x2+b)有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件，并證明了a<100時(shí)該曲線沒有正整數(shù)點(diǎn)；杜曉英[10]給出了a≡1(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=ax(x2+b)有正整數(shù)點(diǎn)的若干判別條件；張瑾[11]證明了a≠5為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=ax(x2+b)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)，a=5時(shí)恰有2組正整數(shù)點(diǎn)(1,5)，(4,21)。

3)b=±4時(shí)，主要結(jié)論為: ①b=4時(shí)，崔保軍[12]證明了a≠5為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=ax(x2+b)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)，a=5時(shí)恰有2組正整數(shù)點(diǎn)(1,5)，(4,21)；②b=-4時(shí)，萬飛[13]證明了a為奇素?cái)?shù)橢圓曲線y2=ax(x2+b)無正整數(shù)點(diǎn)。

4)b=64時(shí)，主要結(jié)論為：崔保軍[14]給出了當(dāng)a為奇素?cái)?shù)時(shí)，如果a≡1(mod 8)，則橢圓曲線y2=ax(x2+b)至多有3對(duì)正整數(shù)點(diǎn)；如果a≡3(mod 8)，則橢圓曲線y2=ax(x2+b)無正整數(shù)點(diǎn)；如果a≡7(mod 8)，則橢圓曲線y2=ax(x2+b)至多有1對(duì)正整數(shù)點(diǎn)；如果a≡5(mod 8)，則橢圓曲線y2=ax(x2+b)僅當(dāng)a=5時(shí)有2對(duì)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(4,40)，(16,160)和a=13時(shí)有1對(duì)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(144,6 240)。

本文給出了b=8時(shí)橢圓曲線y2=ax(x2+b)的正整數(shù)點(diǎn)的情況，證明了如下定理。

定理如果q≡±3(mod 8)為奇素?cái)?shù)，則橢圓曲線

y2=qx(x2-8)

(1)

當(dāng)q=3時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(3,1)，q≠3時(shí)，無正整數(shù)點(diǎn)。

2定理證明

qz2=x(x2-8)

(2)

因?yàn)間cd(x,x2-8)=gcd(x,8)=1或2或4或8，故式(2)可分解為以下8種情況。

1)情形Ⅰx=qa2，x2-8=b2，z=ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

2)情形Ⅱx=a2，x2-8=qb2，z=ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

3)情形Ⅲx=2qa2，x2-8=2b2，z=2ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

4)情形Ⅳx=2a2，x2-8=2qb2，z=2ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

5)情形Ⅴx=4qa2，x2-8=4b2，z=4ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

6)情形Ⅵx=4a2，x2-8=4qb2，z=4ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

7)情形Ⅶ x=8qa2，x2-8=8b2，z=8ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

8)情形Ⅷx=8a2，x2-8=8qb2，z=8ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

下面分別討論這8種情形下橢圓曲線(式(1))的正整數(shù)點(diǎn)的情況。

1)情形Ⅰ由x=qa2，x2-8=b2及gcd(a,b)=1知gcd(x,x2-8)=1，所以x為奇數(shù)，因此x2-8也是奇數(shù)。又q為奇素?cái)?shù)，則由式(2)知z為奇數(shù)，故a,b均為奇數(shù)。

將x=qa2代入x2-8=b2中，得q2a4-b2=8，即

(qa2+b)(qa2-b)=8

(3)

又a,b均為奇數(shù)，q為奇素?cái)?shù)，則式(3)可分解為：

①qa2+b=4，qa2-b=2。兩式相減得b=1，代入其中一式得qa2=3，則有q=3，a=1，因此x=3，此時(shí)得式(2)有解(x,z,q)=(3,1,3)，則橢圓曲線(式(1))當(dāng)q=3時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(3,1)。

②qa2+b=2，qa2-b=4。兩式相減得b=-1，這與“b∈Z+”矛盾，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

2)情形Ⅱ由x=a2，x2-8=qb2及gcd(a,b)=1知gcd(x,x2-8)=1，所以x為奇數(shù)，故x2-8也是奇數(shù)，又q為奇素?cái)?shù)，則由式(2)知z為奇數(shù)，故a,b均為奇數(shù)。

將x=a2代入x2-8=qb2，得

a4-8=qb2

(4)

式(4)兩邊取模8得

a4≡qb2(mod 8)

(5)

又a,b均為奇數(shù)，于是a4≡1(mod 8)，b2≡1(mod 8)。又q≡±3(mod 8)，故式(5)為1≡±3(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

3)情形Ⅲ將x=2qa2代入x2-8=2b2，得4q2a4-8=2b2，即

2q2a4-4=b2

(6)

式(6)兩邊取模8得

2q2a4-4≡b2(mod 8)

(7)

由式(6)得b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b為偶數(shù)，所以a為奇數(shù)，于是a4≡1(mod 8)。又q是奇素?cái)?shù)，所以q2≡1(mod 8)，因此q2a4≡1(mod 8)，所以式(7)為-2≡0,4(mod 8)，即-1≡0,2(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

4)情形Ⅳ將x=2a2代入x2-8=2qb2，得4a4-8=2qb2，即

2a4-4=qb2

(8)

式(8)兩邊取模8得

2a4-4≡qb2(mod 8)

(9)

又q≡±3(mod 8)是奇素?cái)?shù)，故由式(8)得b為偶數(shù)，故b2≡0,4(mod 8)，因此qb2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b為偶數(shù)，所以a為奇數(shù)，于是a4≡1(mod 8)。所以式(8)為-2≡0,4(mod 8)，即-1≡0,2(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

5)情形Ⅴ將x=4qa2代入x2-8=4b2，得16q2a4-8=4b2，即

4q2a4-2=b2

(10)

式(10)兩邊取模8得

4q2a4-2≡b2(mod 8)

(11)

由式(10)得b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b為偶數(shù)，所以a為奇數(shù)，于是a4≡1(mod 8)。又q是奇素?cái)?shù)，所以q2≡1(mod 8)，因此4q2a4-2≡2(mod 8)，所以式(11)為2≡0,4(mod 8)，即1≡0,2(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

6)情形Ⅵ將x=4a2代入x2-8=4qb2，得16a4-8=4qb2，即

4a4-2=qb2

(12)

式(12)兩邊取模8得

4a4-2≡qb2(mod 8)

(13)

又q≡±3(mod 8)是奇素?cái)?shù)，故由式(12)得b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod 8)，因此qb2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b為偶數(shù)，所以a為奇數(shù)，于是a4≡1(mod 8)，因此4a4-2≡2(mod 8)，所以式(13)為2≡0,4(mod 8)，即1≡0,2(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

7)情形Ⅶ將x=8qa2代入x2-8=8b2，得64q2a4-8=8b2，即

8q2a4-1=b2

(14)

式(14)兩邊取模8得

-1≡b2(mod 8)

(15)

由式(14)得b為奇數(shù)，所以b2≡1(mod 8)，因此式(15)為-1≡1(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

8)情形Ⅷ將x=8a2代入x2-8=8qb2，得64a4-8=8qb2，即

8a4-1=qb2

(16)

式(16)兩邊取模8得

-1≡qb2(mod 8)

(17)

又q≡±3(mod 8)是奇素?cái)?shù)，故由式(16)得b為奇數(shù)，所以b2≡1(mod 8)，因此qb2≡±3(mod 8)。所以式(17)為-1≡±3(mod 8)，顯然不成立，故該情形橢圓曲線(式(1))無正整數(shù)點(diǎn)。

綜上，定理得證。

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責(zé)任編輯：陳亮

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.03.012

收稿日期：2016- 03-22

基金項(xiàng)目：云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(2014Y462)

作者簡介：趙晶晶(1986—)，女，碩士研究生，助教。

中圖分類號(hào)：O156.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671- 0436(2016)03- 0052- 04

Positive Integral Points on the Elliptic Curve y2=qx(x2-8)

ZHAO Jingjing

(Department of Logistics Management ,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang 677000)

Abstract：Let q≡±3(mod 8) be odd prime.Using some properties of congruence,it was proved that if q=3,then the elliptic curve in title has just one positive integral point (x,y)=(3,1);if q≠3,then the elliptic curve in title has no positive integral point.

Key words：elliptic curve;odd prime;congruence;positive integral point