基于牛頓迭代法的分形圖像研究

任　露， 黃穎為

(西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院， 陜西 西安 710048)

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基于牛頓迭代法的分形圖像研究

任露， 黃穎為

(西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院， 陜西 西安 710048)

通過調(diào)用牛頓迭代法繪制分形圖像，利用繪圖參數(shù)和運算法則構造著色方案，研究復平面分形圖像結構特征并提供多個新的著色方案，發(fā)現(xiàn)復平面分形圖像結構有規(guī)律可循，圖像色彩難以揣測。

牛頓迭代法； 分形圖像； 結構特征； 著色方案

分形[1]，通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都(至少近似地)是整體縮小后的形狀”。即分形具有自相似特征，可利用計算機迭代來生成。牛頓迭代法作為計算機迭代的主要方法之一，繪制的分形圖像結構具有對稱性且有一定規(guī)律可循，圖像像素點色彩和迭代次數(shù)相對應。相比于實數(shù)迭代分形集，在二維平面上，牛頓迭代法生成的復迭代分形集結構更加復雜，色彩更加豐富，包含更多信息，也具有更強的防偽特征[2-3]。本文利用牛頓迭代法繪制基于復迭代公式f(Z)=Zn-1(其中Z為復平面上的點，n為實數(shù)且n≥2)的廣義Julia集，研究實數(shù)n對圖像結構的影響，迭代參數(shù)及迭代參數(shù)與運算符的組合方式對圖像色彩的影響，為實現(xiàn)分形圖像的個性化和多樣化設計提供參考。

1　牛頓迭代法繪制復平面分形圖像

根據(jù)牛頓迭代法[4]求解復平面方程f(Z)=0，f(Z)的牛頓迭代函數(shù)為：

(1)

(2)

此時f(Z)的零點也是φ的超吸引不動點。當|Z|較大時，φ(Z)～Z(1-1/n)，n為f(Z)的階，∞是f(Z)的斥性點，則記A(ω)={Z0:φ(Zk)→ω}，其中A(ω)表示零點ω的吸引域，即在牛頓迭代法下收斂于ω的初始點集。

牛頓迭代法繪制復平面分形圖像的流程[5]如圖1所示。首先設置迭代方程，然后在復平面上選擇一點Z0作為迭代初始點，再進行著色處理，最終生成分形圖像。

具體過程[6]如下。

設顯示器的分辨率為A×B點，可顯示的顏色為k+1種，分別用0,1,2,…,k表示。

1) 設置迭代方程f(Z)=zn-1中n的取值；

2) 選擇繪圖區(qū)域坐標xmax=2，ymax=1.5，xmin=-2，ymin=-1.5，設當前迭代次數(shù)為M，最大迭代次數(shù)為N，迭代精度為ε，dx=(xmax-xmin)/(A-1)，dy=(ymax-ymin)/(B-1)；

3) 設定迭代初始點值Z0=x0+y0i，x0=xmin+mx*dx,y0=ymin+my*dy，其中mx=0,1,…,A-1,my=0,1,…,B-1。

圖1　分形圖像繪制流程Fig.1　The procedure of fractal images generated

對所有點作如下循環(huán)：

for (x=0;x

for (y=0;y

{

xk=xmin+x*dx;

yk=ymin+y*dy;

M=0;

do

{

mod=|Zk+1-Zk|;

Zk+1=Zk;k++;

} while (mod≥ε&&k

if (mod<ε)用顏色k顯示點(xk,yk);

else if (M==N)用某一固定顏色顯示點(xk,yk)；

}

2　復多項式f(Z)=Zn-1牛頓迭代分形圖像結構特征

用牛頓迭代法求f(Z)=Z3-1=0的特解，根據(jù)式(1)，該方程迭代函數(shù)為：

設ρ(Z)=Ze2πi/3，ρ(Z)是繞原點轉(zhuǎn)動120°的旋轉(zhuǎn)變換，則：

根據(jù)牛頓迭代法繪制的f(Z)=Z3-1的Julia集如圖2所示，可以很明顯地觀察到圖像有關于原點對稱的3個部分，3條“鏈”分別對應f(Z)的3個零點，且每條“鏈”本身又具有無限精細結構。

圖2　牛頓函數(shù)φ(Z)=(2Z3+1)/(3Z2)的Julia集Fig.2　Julia set of Newton-Raphson fuction φ(Z)=(2Z3+1)/(3Z2)

圖2采用的是圖像迭代點色彩與迭代次數(shù)相對應的傳統(tǒng)著色方案，圖像呈現(xiàn)出“鏈”結構特征。本文將分形圖像迭代參數(shù)與各種運算符組合構造新型著色方案，圖3(a)～(j)所示為其中一種著色方案下，n取不同值時，方程f(Z)=Zn-1=0分別對應的分形圖像。

經(jīng)大量計算機試驗后，觀察發(fā)現(xiàn)：當n=4t時(t為正整數(shù))，圖像左右兩部分各有2t條鏈，且每條鏈結構相似；當n=4t-1時，圖像左右兩部分各有(2t-2)條獨立的鏈，垂直中心線處有兩條交融鏈(由左右兩部分鏈交融形成)；當n=4t+1時，圖像左右兩部分各有2t條完整的鏈，垂直中心線處有兩小段鏈；當n=4t+2時，圖像左右兩部分各有2t條鏈，垂直中心線處有兩條完整的鏈。

由此可知，復多項式f(Z)=Zn-1中n的取值影響圖像結構。按照上述規(guī)律繪制的分形圖像可用于系列化產(chǎn)品包裝，實現(xiàn)裝潢圖形與圖形之間的迭代變換和推移組合，這種“自相似”的“重復”結構可強化包裝設計的序列視覺變化效果[7]。

圖3　不同n值的分形圖像Fig.3　Images according to different values of n

3　復多項式f(Z)=Zn-1牛頓迭代分形圖像著色方案

M=11；

C=RGB(255-abs((int)fabs(C1-(2*C2-

255)*pow((log(fabs(l1+l3+

0.01)))*2,a))%510-255), 255-

abs((int)fabs(C2-(3*C3-255)*

pow((log(l2*0.1))*4,a)+N)%510-

255), 255-abs((int)fabs(C3-

(5*C1-255)*pow((log(fabs(l4+

0.001)))*3+M,a))%510-255));

1.1.4 結局指標 ①中央角膜厚度（CCT）；②頂端角膜厚度（ACT）；③最薄角膜厚度（TCT）；④眼壓。

break;

由上述代碼可知，影響圖像著色方案的因素分別為迭代初始參數(shù)N和M、顏色初始值(C1,C2,C3)、顏色漸變參數(shù)a和顏色通道表達式?，F(xiàn)以多項式f(Z)=Z6-1為例，探討這5個因素對著色效果的影響。

1) 迭代初始參數(shù)N不同，其他參數(shù)相同。

當顏色初始值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為5，M為11，顏色通道表達式同圖3，N分別為25和26時，對應圖像如圖4(a)和(b)所示。

2) 迭代初始參數(shù)M不同，其他參數(shù)相同。

當顏色初值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為5，N為24，顏色通道表達式同圖3，M分別為9和10時，對應圖像如圖5(a)和(b)所示。

3) 顏色初始值不同，其他參數(shù)相同。

當N為24,M為10，顏色漸變參數(shù)a為6，顏色通道表達式同圖3，顏色初值RGB分別為(118,158,108)和(100,210,140)時，對應分形圖像如圖6(a)和(b)所示。

圖4　不同迭代初始參數(shù)N對應的分形圖像Fig.4　Images according to different initial iterative parameter N

圖5　不同迭代初始參數(shù)M對應的分形圖像Fig.5　Images according to different initial iterative parameter M

圖6　不同顏色初始值對應的分形圖像Fig.6　Images according to different initial values of RGB

4) 顏色漸變參數(shù)不同，其他參數(shù)相同。

當N為24,M為11，顏色初值RGB為(118,158,108)，顏色通道表達式同圖3，顏色漸變參數(shù)a分別為5和6時，對應圖像如圖7(a)和(b)所示。

5) 顏色通道表達式不同，其他參數(shù)相同

當N為25，M為11，顏色初始值RGB為(118,158,108)，顏色漸變參數(shù)a為6時，顏色通道表達式不同，對應圖像分別如圖8(a)～(d)所示。

由圖4～8可知，對于同一多項式，迭代初始參數(shù)、顏色初始值、顏色漸變參數(shù)或顏色通道表達式任何一個發(fā)生變化都會引起分形圖像色彩變化。參數(shù)集與運算符的組合形式?jīng)Q定了著色方案，幾乎所有的運算符都可使用，如取三角函數(shù)、取反三角函數(shù)等，并且同一方案中各參數(shù)的取值又影響著具體的著色效果。利用上述結論，將分形理論與計算機創(chuàng)作結合，可實現(xiàn)分形圖像的數(shù)字化和多樣化設計[9]。

圖7　不同顏色漸變參數(shù)a對應的分形圖像Fig.7　Images according to different values of color gradient parameter a

圖8　不同顏色通道表達式對應的分形圖像Fig.8　Images according to different coloring programs

4　結　語

試驗證明，牛頓迭代法繪制的復多項式f(Z)=Zn-1的分形圖像結構與n的取值有關，且有一定規(guī)律可循，借用此規(guī)律可設計系列產(chǎn)品包裝裝潢圖案，建立個性化圖像素材庫；著色方案中參數(shù)集或顏色通道表達式的變化均會引起圖像色彩變化，開發(fā)者可選擇不同參數(shù)和運算符構造不同著色方案，實現(xiàn)多樣化設計，最終將繪制的分形圖像用于產(chǎn)品商標或包裝以實現(xiàn)防偽。

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(責任編輯王衛(wèi)勛,王緒迪)

Research on the fractal image of Newton-Raphson method

REN Lu， HUANG Yingwei

(School of Printing, Packaging Engineering and Digital Media Technology,Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

The fractal image is mapped through Newton-Raphson method. The graphic parameters and operational rules are used to construct the coloring scheme. The structure characteristics of the fractal image on the complex plane are studied, and a number of new coloring schemes are provided in this paper. The research results indicate that on the complex plane, the structure of fractal images have laws to follow and colors of fractal images are difficult to estimate.

Newton-Raphson method； fractal image； structure feature； coloring scheme

1006-4710(2016)02-0247-06

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.02.019

2015-06-02

任露，女，碩士生，研究方向為印刷質(zhì)量控制與防偽。E-mail ：renlu_lenka@163.com

黃穎為，女，教授，研究方向為印刷質(zhì)量控制與防偽。E-mail ：huangyw12@163.com

TP391.41

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