滬深300股指期權(quán)定價(jià)實(shí)證分析

□文/黃 瑞

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院 安徽·蚌埠）

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滬深300股指期權(quán)定價(jià)實(shí)證分析

□文/黃 瑞

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院 安徽·蚌埠）

［提要］ 針對(duì)滬深300股指期權(quán)定價(jià)問題，分別基于B-S-M模型、二叉樹模型和蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價(jià)。通過建立G A RCH模型估計(jì)出標(biāo)的資產(chǎn)的時(shí)變波動(dòng)率，對(duì)滬深300股指期權(quán)合約進(jìn)行實(shí)證分析，得到2016年5月到期的期權(quán)合約在2016年4月1日到15日交易的理論價(jià)格，最后將各模型的實(shí)證結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：二叉樹模型和蒙特卡洛模擬得到的理論價(jià)格更接近仿真交易的市場(chǎng)價(jià)格。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)；B-S-M模型；二叉樹；蒙特卡洛模擬

收錄日期：2016年6月15日

近年來，我國(guó)資本市場(chǎng)發(fā)展迅速，市值規(guī)模已躍居全球第二位，但產(chǎn)品結(jié)構(gòu)單一問題仍較為突出。在該背景下，2013年11月8日中國(guó)金融期貨交易所推出滬深300股指期權(quán)合約的仿真交易。2015年2月9日，上海證券交易所正式上市我國(guó)首個(gè)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)產(chǎn)品——上證50ETF期權(quán)，開啟了中國(guó)證券市場(chǎng)的期權(quán)時(shí)代。期權(quán)、期貨等金融衍生產(chǎn)品的交易通常有套期保值、投機(jī)、套利和資產(chǎn)管理四大目的，不同于同時(shí)轉(zhuǎn)移不利風(fēng)險(xiǎn)和有利風(fēng)險(xiǎn)的期貨，期權(quán)多頭在運(yùn)用期權(quán)進(jìn)行套期保值時(shí)，能夠只把不利風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移出去而把有利風(fēng)險(xiǎn)留下，這種特征為期權(quán)帶來很大的金融市場(chǎng)，具有巨大的發(fā)展?jié)摿?。在可預(yù)見的未來，滬深300股指期權(quán)等期權(quán)品種將更為豐富。對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究具有重要意義。鑒于此，本文較為系統(tǒng)地研究了基于GARCH模型求得波動(dòng)率參數(shù)前提下，B-S-M模型、二叉樹和蒙特卡洛模擬對(duì)滬深300股指期權(quán)的定價(jià)問題。

一、理論模型

（一）B-S-M模型。BS模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格呈幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其價(jià)格變動(dòng)連續(xù)，其波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率已知且保持恒定，標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)合約期內(nèi)無紅利支付，市場(chǎng)無交易成本并且允許做空。

假設(shè)股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，所以T時(shí)刻標(biāo)的指數(shù)的對(duì)數(shù)價(jià)格服從正態(tài)分布，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界下，看漲期權(quán)的價(jià)值c為：

對(duì)上式的積分過程進(jìn)行求解，結(jié)果為：

表1 收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特征

B-S-M模型 二叉樹模型 蒙特卡洛模擬日期模型c p c p c p 4月1日4月5日4月6日4月7日4月8日4月11日4月12日4月13日4月14日4月15日平均誤差245.4081 268.2539 260.6854 219.8066 204.5708 231.6011 221.1690 251.2518 261.7305 255.5217 7.63416 61.1072 42.3642 42.0086 49.6227 58.1998 41.6190 43.0898 30.4956 26.7773 24.4416 46.6874 245.7281 268.3271 260.8700 220.1248 205.1496 232.1032 221.0372 251.0135 262.1054 255.2704 7.62683 61.7679 42.7004 42.4098 50.2174 59.1141 42.3434 43.2307 30.4500 27.2903 24.2998 46.27761 244.8107 266.1549 250.5930 219.2648 205.0415 230.7392 221.4350 251.7891 261.5108 255.1193 7.33899 61.1506 42.3578 44.9707 50.3060 58.0638 41.7757 42.7180 30.4238 26.4183 24.6168 46.37987

表2 IO 1605-c（p）-3050期權(quán)定價(jià)結(jié)果

（二）二叉樹模型。二叉樹定價(jià)模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在dt時(shí)間段后從開始的S變動(dòng)到Su或者Sd，并且假定在整個(gè)期權(quán)的合約期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格每次漲價(jià)或跌價(jià)的概率和幅度不變。模型將整個(gè)合約期分為若干時(shí)間段，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動(dòng)率模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格所有可能的發(fā)展路徑，對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算期權(quán)的價(jià)值，從而貼現(xiàn)倒推出期權(quán)現(xiàn)值。相較于B-S公式，二叉樹模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。

（三）蒙特卡洛模擬。蒙特卡洛模擬是一種基于模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)路徑得到期權(quán)價(jià)值期望值的數(shù)值方法?；舅悸窞椋簹W式期權(quán)的價(jià)值等于期權(quán)到期回報(bào)的期望值的貼現(xiàn)（式（1）），因此先模擬出風(fēng)險(xiǎn)中性世界下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑，然后計(jì)算所有路徑結(jié)果下期權(quán)回報(bào)的均值，最后用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價(jià)值。

假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過dt時(shí)間段后標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為：

可由（3）式產(chǎn)生標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑，模擬得到T時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。求得T時(shí)刻的每個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格對(duì)應(yīng)的看漲或看跌期權(quán)在T時(shí)刻的價(jià)值，即：cT=max（ST-K，0），pT= max（K-ST，0）。據(jù)此可求得T時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的期望值，對(duì)期權(quán)價(jià)值的期望值貼現(xiàn)進(jìn)而計(jì)算出期權(quán)定價(jià)。

（四）波動(dòng)率的估計(jì)模型。上述模型需要事先已知一個(gè)重要的參數(shù)——波動(dòng)率σ。金融時(shí)間序列常常具有條件異方差性，GARCH模型考慮到波動(dòng)的自相關(guān)和均值回復(fù)的特性，能更好地描述時(shí)變的波動(dòng)率。GARCH（p，q）模型的具體形式為：，其中Rt是標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的收益率，σ是t時(shí)刻方差的估計(jì)值，μ為收益率的均值，假定殘差εt服從正態(tài)分布或者t分布。

為了統(tǒng)一單位，需要將收益率的日標(biāo)準(zhǔn)差轉(zhuǎn)化為年化標(biāo)準(zhǔn)差：

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)的選取和描述統(tǒng)計(jì)。本文選取滬深300指數(shù)日收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)，對(duì)滬深300股指期權(quán)的合約價(jià)值進(jìn)行估計(jì)。數(shù)據(jù)均來源于WIND資訊金融終端。選擇2016年3月SHIBOR的均值為R＝3.08%，根據(jù)1+R＝er，轉(zhuǎn)換得到其連續(xù)復(fù)利利率作為無風(fēng)險(xiǎn)收益率r＝3.04%。數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為2015 年4月1日到2016年4月15日，共計(jì)256組日交易數(shù)據(jù)。取對(duì)數(shù)作差分形式對(duì)日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算公式為：Rt=ln （Pt/Pt-1），其中Rt表示t時(shí)刻樣本的對(duì)數(shù)收益率；Pt表示t時(shí)刻樣本的收盤價(jià)。

對(duì)收益率序列進(jìn)行相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)描述。給出標(biāo)的資產(chǎn)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)量如表1所示。（表1）

（二）數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)和模型的估計(jì)。首先，采用ADF檢驗(yàn)法，對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明，在1%的顯著性水平下，樣本收益率序列的ADF統(tǒng)計(jì)量為-14.79246，小于臨界值-3.45599，樣本收益率序列均平穩(wěn)；其次，繪制樣本期內(nèi)收益率的折線圖，發(fā)現(xiàn)收益率序列具有明顯的波動(dòng)率聚集現(xiàn)象，表明誤差可能具有條件異方差性質(zhì)。將收益率進(jìn)行平方生成新序列，觀察新序列所有滯后階數(shù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均顯著不為0，Q統(tǒng)計(jì)量大于顯著性水平下的臨界值，表明收益率序列均存在ARCH效應(yīng)。

對(duì)收益率分別嘗試建立殘差分別服從正態(tài)分布和t分布的GARCH（1，1）、GARCH（1，2）、GARCH（2，1）和GARCH （2，2）模型。根據(jù)AIC和SC準(zhǔn)則，回歸結(jié)果表明殘差服從t分布的模型顯著優(yōu)于其服從正態(tài)分布的模型，同時(shí)在殘差服從t分布的模型中，對(duì)收益率序列建立的GARCH（1，1）模型最優(yōu)。因此，本文最終選用GARCH（1，1）-t模型對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)收益率建模。估計(jì)結(jié)果為：

ARCH和GARCH項(xiàng)系數(shù)之和均小于1，滿足參數(shù)約束條件。由MATLAB軟件導(dǎo)出t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率σt，按照（4）式將其轉(zhuǎn)化為年化波動(dòng)率用于定價(jià)。

（三）結(jié)果分析。運(yùn)用B-S-M模型、二叉樹模型和蒙特卡洛模擬方法對(duì)IO1605-3050看漲和看跌期權(quán)定價(jià)。其中，二叉樹模型的區(qū)間步長(zhǎng)為1天，蒙特卡洛模擬法對(duì)每日合約價(jià)格模擬出100，000條運(yùn)動(dòng)路徑。選取2016年4月1日至4月15日作為評(píng)價(jià)期間，運(yùn)用這三個(gè)模型對(duì)這10天的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。定價(jià)結(jié)果如表2所示。（表2）

假定仿真交易的數(shù)據(jù)是有效的，由表2可知，三種模型對(duì)于看漲期權(quán)的定價(jià)誤差較小，對(duì)于看跌期權(quán)的定價(jià)誤差較大，其中蒙特卡洛模擬較優(yōu)，其次是二叉樹模型，B-S-M模型定價(jià)誤差較大。如果假定仿真交易數(shù)據(jù)是有效的，根據(jù)看漲期權(quán)合約定價(jià)誤差較小的結(jié)果，可知對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)收益率的選擇是基本有效的，但是同樣的數(shù)據(jù)求得看跌期權(quán)合約的定價(jià)誤差較大，進(jìn)一步套用看漲看跌平價(jià)公式，發(fā)現(xiàn)仿真交易數(shù)據(jù)難以滿足看跌看漲平價(jià)定理，扣除交易費(fèi)用后，套利機(jī)會(huì)依然存在。誤差可能是由于仿真交易市場(chǎng)不夠完善或者選取參數(shù)的誤差所致。

三、結(jié)論

本文基于M-B-S模型、二叉樹定價(jià)模型和蒙特卡洛模擬方法分別對(duì)滬深300股指期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，對(duì)資產(chǎn)收益率序列建立GARCH模型，選用時(shí)變波動(dòng)率作為波動(dòng)率參數(shù)。將定價(jià)結(jié)果與仿真交易數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二叉樹模型和蒙特卡洛模擬方法較優(yōu)，進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)仿真交易數(shù)據(jù)并不滿足期權(quán)看漲看跌平價(jià)定理，扣除交易費(fèi)用后依然存在套利機(jī)會(huì)，說明仿真的期權(quán)市場(chǎng)需要進(jìn)一步完善，以期為未來滬深300股指期權(quán)的推出奠定基礎(chǔ)。本文得到的定價(jià)結(jié)果表明，三種期權(quán)定價(jià)方法對(duì)看漲期權(quán)的定價(jià)誤差較小，說明模型是有效的。

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中圖分類號(hào)：F830.91

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A