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    基于隊列的任意二叉樹層次問題算法設計

    2018-05-07 07:10:29
    關(guān)鍵詞:二叉樹入隊鏈式

    吳 志 福

    (石家莊職業(yè)技術(shù)學院 組織部,河北 石家莊 050081)

    在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中,樹是一種用途廣泛的結(jié)構(gòu).二叉樹是每個節(jié)點最多有兩個子樹的樹結(jié)構(gòu).在對任意二叉樹進行存儲的時候,普遍采用鏈式結(jié)構(gòu)存儲數(shù)據(jù),在對鏈式結(jié)構(gòu)存儲的任意二叉樹進行操作的時候,常采用遞歸的方法來實現(xiàn).在求任意二叉樹的層次問題上,也采用遞歸方法來實現(xiàn).但遞歸方式算法復雜且不容易理解.對任意二叉樹的研究發(fā)現(xiàn),對于涉及到任意二叉樹層次的計算,由于其結(jié)構(gòu)的特殊性,完全可以使用比較容易理解的隊列來解決.

    1 二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)

    二叉樹的存儲方式有順序結(jié)構(gòu)和鏈式結(jié)構(gòu)兩種[1].在任意二叉樹的順序存儲結(jié)構(gòu)中,采用數(shù)組存放任意二叉樹的節(jié)點.二叉樹層次和數(shù)組下標表示為:

    M=log2(n+1).

    其中,M表示二叉樹層次,n表示數(shù)組的最大下標.

    圖1為任意二叉樹結(jié)構(gòu)示意圖.采用順序結(jié)構(gòu)存儲時,利用數(shù)組存儲的結(jié)果見表1.

    圖1 任意二叉樹結(jié)構(gòu)示意圖

    數(shù)組下標存放節(jié)點數(shù)組下標存放節(jié)點數(shù)組下標存放節(jié)點1B14B47B52B25空8B63B36空??

    從表1可以看出,雖然采用順序結(jié)構(gòu)存儲的任意二叉樹可以利用公式很方便地計算出任意二叉樹層次,但是利用數(shù)組存儲數(shù)據(jù)時,會存在大量空節(jié)點,造成空間的浪費,因此任意二叉樹存儲一般不采用順序結(jié)構(gòu)而采用鏈式結(jié)構(gòu).

    在采用鏈式結(jié)構(gòu)存儲任意二叉樹時,由于二叉樹的每個結(jié)點最多有左右兩個孩子,因此,每個結(jié)點除了存儲自身的數(shù)據(jù)外,還設置兩個指針分別指向左孩子、右孩子的結(jié)點.鏈式結(jié)構(gòu)任意二叉樹存儲結(jié)點示意圖見圖2.

    左孩子地址節(jié)點數(shù)據(jù)右孩子地址

    圖2鏈式結(jié)構(gòu)任意二叉樹存儲結(jié)點示意圖

    對于圖1所示任意二叉樹,其B1-B4節(jié)點的鏈式存儲結(jié)構(gòu)如圖3所示.

    (1)B1節(jié)點存儲結(jié)構(gòu)

    (2)B2節(jié)點存儲結(jié)構(gòu)

    (3)B3節(jié)點存儲結(jié)構(gòu)

    (4)B4節(jié)點存儲結(jié)構(gòu)

    圖3任意二叉樹節(jié)點的鏈式存儲結(jié)構(gòu)示意圖

    鏈式結(jié)構(gòu)存儲保留了任意二叉樹的結(jié)構(gòu),且不存在空間浪費問題,但是無法通過公式來計算二叉樹的層次,只能采用遞歸的方式遍歷二叉樹進而求得層次.由于遞歸涉及到調(diào)用時空間的開辟、現(xiàn)場的保存、參數(shù)的傳遞等問題,算法較難理解,因此需要尋找合適的算法求鏈式結(jié)構(gòu)任意二叉樹的層次.

    2 算法設計

    2.1 設計思路

    在計算鏈式結(jié)構(gòu)存儲的任意二叉樹層次的過程中,需要遍歷整個任意二叉樹,即需要處理多個相同結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù),為了便于數(shù)據(jù)的處理,減少空間的浪費,采用隊列結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)層次算法.在使用隊列求任意二叉樹層次時,算法中僅增加了一個隊列和一個順序結(jié)構(gòu)的數(shù)組[2],沒有增加太多的空間,但卻減少了遞歸調(diào)用時空間的開辟.

    隊列是常用的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),其特點是“先進先出”,即刪除操作只允許在隊列的前端進行,插入操作只在隊列的后端進行,進行插入操作的端稱為隊尾,進行刪除操作的端稱為隊頭,所以先進入隊列的元素總是先被刪除的.利用隊列這一特點,對采用鏈式結(jié)構(gòu)存儲的任意二叉樹按照層次關(guān)系將其節(jié)點進行入隊和出隊操作,將其從邏輯關(guān)系上轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性結(jié)構(gòu),在轉(zhuǎn)變的過程中,利用輔助數(shù)組記錄任意二叉樹的層次.當轉(zhuǎn)變完成時,任意二叉樹的層次也就得以保存.

    在用隊列實現(xiàn)二叉樹的層次問題時,讓根節(jié)點首先入隊,繼續(xù)進行操作的時候,節(jié)點出隊的同時如果它的左孩子或右孩子不為空,循環(huán)操作將其入隊.這樣,每一層的節(jié)點將按照先左后右的順序入隊.由于節(jié)點的地址之間沒有固定的線性關(guān)系,因此利用一個輔助數(shù)組來記住每一層的最左節(jié)點在隊列中的位置,在隊列不為空的時候?qū)㈥狀^元素出隊,同時重復前面的入隊操作.由于節(jié)點在不斷地入隊和出隊,所以記錄節(jié)點位置的輔助數(shù)組的長度要不小于二叉樹的最大寬度.

    2.2 設計程序

    在算法設計過程中,隊列采用結(jié)構(gòu)體來表示,結(jié)構(gòu)為:

    struct queue /* 隊列*/

    {

    struct bitree *elem[MAXSIZE]; /* bitree為鏈式存儲的任意二叉樹的節(jié)點類型*/

    int front,rear; /*頭指針和尾指針*/

    }

    為了節(jié)省空間,減少系統(tǒng)的空間開銷,隊列中只保存了指向鏈式存儲的任意二叉樹的節(jié)點的指針,而沒有保存其數(shù)據(jù).

    對圖1所示任意二叉樹進行遍歷的過程如下:

    根節(jié)點B1首先入隊.此時隊列中的數(shù)據(jù)如圖4所示.

    0節(jié)點B11

    圖4根節(jié)點B1入隊后隊列示意圖

    此時,輔助數(shù)組fuzhu[ ]中保存元素全部初始化為0,輔助數(shù)組下標j初始化為0,樹的層次數(shù)k標記為0.為了標記是否是最左節(jié)點入隊,初始化flag為0.

    隨后,在隊列不為空的情況下進入隊列的循環(huán)操作.

    (1)隊首元素B1出隊,保存到變量P中.執(zhí)行出隊操作后,圖4中數(shù)據(jù)變化見圖5所示.

    1節(jié)點B11

    圖5根節(jié)點B1出隊后隊列示意圖

    (2)判斷p是否有左孩子或右孩子,且其左、右孩子是否為下一層的最左節(jié)點,如果是最左節(jié)點,則j增加1,k增加1,將下一層最左節(jié)點地址寫入fuzhu[ ].

    在圖1中,節(jié)點B1有左孩子且其左孩子是下一層的最左節(jié)點,因此將j增加1,此時j的值為1,為fuzhu[j]寫入下一層最左節(jié)點的值,此值即為圖4中最右邊的數(shù)據(jù),即fuzhi[1].由于下一層的最左節(jié)點已經(jīng)入隊,因此更改flag值為1.

    (3)判斷已經(jīng)出隊節(jié)點是否為本層的最右節(jié)點,若是,則隊列中首元素為下一層的最左節(jié)點,后續(xù)將開始下一層的出隊和下下層的入隊,因此更改flag值為0.

    (4)判斷p的左孩子是否不為空,如果不為空,則左孩子入隊.

    (5)判斷p的右孩子是否不為空,如果不為空,則右孩子入隊.

    (6)繼續(xù)返回開始步驟進行循環(huán),直至隊列為空.

    對于圖1的任意二叉樹,其遍歷至第三層的過程中,隊列和對應輔助數(shù)組的變化過程如圖6所示.

    從圖6中可以看出,隨著任意二叉樹節(jié)點的入隊和出隊,輔助數(shù)組中記錄了每一層節(jié)點的最左節(jié)點,flag值記錄了任意二叉樹的層次.當循環(huán)結(jié)束時,flag的值就是任意二叉樹的層次.

    3 算法實現(xiàn)

    算法中循環(huán)部分的C語言實現(xiàn)代碼如下:

    int cc(struct bitree *root)

    /*求任意二叉樹的最大層次數(shù),二叉樹采用鏈式存儲結(jié)構(gòu)*/

    {

    int fuzhi={0},j=0,k=1,flag=0;

    struct queue *q;

    struct bitree *p

    inistilize(q);/*隊列初始化*/

    p=root;

    enterque(q,p);/*根節(jié)點入隊*/

    while(! isempty(q)) /*隊列非空*/

    {

    p=deleteque(q); /*隊首元素出隊*/

    if (( p->lchild!=NULL ||p->rchild!=NULL) &&flag= =0)

    /* flag 為0時,下一層還沒有節(jié)點入隊, 已經(jīng)出隊節(jié)點的孩子節(jié)點為下一層的最左節(jié)點*/

    {

    j++; /*輔助數(shù)組下標加1*/

    flag=1;

    /*將標志變?yōu)?,表示下一層已經(jīng)有節(jié)點入隊 */

    fuzhi[j]=q->rear

    /*下一層的最左節(jié)點的位置*/;

    k++; /*層次數(shù)加1*/

    }

    if (q->front= =a[j])

    /*已經(jīng)出隊節(jié)點為本層的最右節(jié)點*/

    flag=0;

    if (p->lchild!=NULL)

    /*左孩子節(jié)點入隊*/

    enterqueue(q,p->lchild);

    if(p->rchild!=NULL)

    /*右孩子節(jié)點入隊*/

    enterqueue(q,p->rchild);

    }

    return(k); /*返回最大層次數(shù)*/

    }

    在此算法的具體設計中,對任意二叉樹采用了鏈式存儲結(jié)構(gòu),隊列采用了順序結(jié)構(gòu)的循環(huán)隊列,并且規(guī)定,當隊列中只剩余一個空間時,隊列滿,即“尾指針+1”,對初始化的隊列長度求余等于“頭指針”時,隊列滿.隊列的出隊、入隊、初始化等問題和循環(huán)隊列的相同.文中不再給出樹、隊列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)源代碼和隊列的出隊、入隊、初始化等的代碼.

    圖6 算法過程隊列及輔助數(shù)組變化示意圖

    4 結(jié)語

    本算法的源程序已經(jīng)在Visual C++6.0中通過調(diào)試,能解決求二叉樹的最大層次問題.在解決實際問題的過程中,可以根據(jù)需要將程序加以改變,從而實現(xiàn)和層次相關(guān)問題的求解,如二叉樹的樹形輸出、二叉樹的最大寬度即層上節(jié)點的最大個數(shù)等問題,均可采用此算法.

    參考文獻:

    [1] 嚴蔚敏,吳偉民.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):C語言版[M].北京:清華大學出版社,1997:126-127.

    [2] 朱雅莉,李肯立.DNA計算機中基于順序存儲方式的二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[J].計算機應用,2008,28(6):1591-1594.

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