基于ELM的一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)的Backstepping自適應(yīng)控制

李　軍，石　青

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基于ELM的一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)的Backstepping自適應(yīng)控制

李軍，石青

（蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

摘要:針對(duì)一類不確定性純反饋非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在中值定理、Backstepping控制的基礎(chǔ)上，提出一種基于極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)的自適應(yīng)神經(jīng)控制方法。ELM隨機(jī)確定單隱層前饋網(wǎng)絡(luò)(SLFNs)的隱含層參數(shù)，僅需調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值，能以極快的學(xué)習(xí)速度獲得良好的推廣性。在每一步的Backstepping設(shè)計(jì)中，應(yīng)用ELM網(wǎng)絡(luò)對(duì)子系統(tǒng)的未知非線性項(xiàng)進(jìn)行在線逼近，通過Lyapunov穩(wěn)定性分析設(shè)計(jì)的權(quán)值參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律，可以保證閉環(huán)非線性系統(tǒng)所有信號(hào)半全局最終一致有界，系統(tǒng)的輸出收斂于期望軌跡的很小鄰域內(nèi)。將所設(shè)計(jì)的控制方法應(yīng)用于化工過程中的連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR)非線性系統(tǒng)實(shí)例中，仿真結(jié)果表明了控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞:非線性動(dòng)力學(xué)；自適應(yīng)；控制；Backstepping；極限學(xué)習(xí)機(jī)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

引 言

Backstepping控制方法[1-2]也稱為反演控制，它目前已成為一大類非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的主流設(shè)計(jì)方法，與反饋線性化控制技術(shù)相比，它能靈活地避免系統(tǒng)中有用的非線性項(xiàng)被抵消，且很容易地保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。它在每一步的設(shè)計(jì)中，將復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階次的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)及中間虛擬控制量，一直“后退”到整個(gè)系統(tǒng)，直到完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。自適應(yīng)神經(jīng)控制[3-5]或自適應(yīng)模糊控制[6-7]在應(yīng)對(duì)非線性的參數(shù)變化、未建模動(dòng)態(tài)以及外界干擾等方面具有更加優(yōu)越的性能，尤其是結(jié)合 Backstepping設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制方法[8-12]在非線性系統(tǒng)的控制中已得到廣泛的應(yīng)用，它解決了一大類非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性以及漸進(jìn)跟蹤性等問題。

文獻(xiàn)[8-10]在自適應(yīng) Backstepping設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，提出了不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng) Backstepping控制方法，且取得了較好的控制效果，它們均是針對(duì)如式(1)所示的嚴(yán)格參數(shù)反饋非線性系統(tǒng)進(jìn)行的，即

與嚴(yán)格反饋非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相比，化學(xué)反應(yīng)、飛行控制、生化過程等純反饋非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是一類更一般的且更能真實(shí)描述的非線性系統(tǒng)[11]。純反饋形式的非線性系統(tǒng)與嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)一樣，均具有三角形結(jié)構(gòu)，且狀態(tài)變量?jī)H依賴于[x1,x2,…,xi+1]T，i=1,…,n-1。區(qū)別在于嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)是一類特殊形式的純反饋非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)具有仿射形式的結(jié)構(gòu)，即每個(gè)狀態(tài)變量以及控制輸入是仿射的，而純反饋非線性系統(tǒng)往往具有非仿射形式的結(jié)構(gòu)。實(shí)際應(yīng)用中的大多數(shù)工程系統(tǒng)本質(zhì)上是非仿射的，因此研究純反饋非線性系統(tǒng)具有更好的工程實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類非仿射的純反饋單輸入單輸出非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略, 而且證明閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)在平衡點(diǎn)上是半全局一致有界的。文獻(xiàn)[13]提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Backstepping自適應(yīng)控制方法，所設(shè)計(jì)的控制器能滿足閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致最終有界，通過適當(dāng)?shù)剡x擇設(shè)計(jì)參數(shù)，能保證閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能。在上述文獻(xiàn)中，由于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊邏輯系統(tǒng)的良好逼近特性，且具有自適應(yīng)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，可用于逼近非線性系統(tǒng)的不確定部分，進(jìn)一步基于Lyapunov綜合法設(shè)計(jì)參數(shù)的在線自適應(yīng)調(diào)節(jié)律，以保證控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。但是在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定方面，如徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)的參數(shù)或模糊系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)構(gòu)造上，主要利用先驗(yàn)知識(shí)確定，有時(shí)會(huì)影響閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤精度和控制效果，存在一定的不足。

極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine, ELM)是由Huang等[14-15]提出的用于單隱層前饋網(wǎng)絡(luò)(single layer feedback networks, SLFNs)的快速學(xué)習(xí)算法，其特點(diǎn)是隨機(jī)選擇 SLFNs的隱含層節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，在訓(xùn)練過程中僅需調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值。針對(duì)單數(shù)單輸出仿射非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[16]給出了基于 ELM的直接自適應(yīng)神經(jīng)控制方法，應(yīng)用于倒立擺基準(zhǔn)實(shí)例中。針對(duì)一類多輸入多輸出嚴(yán)格反饋非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17]給出了基于ELM的自適應(yīng)Backstepping控制方法，應(yīng)用于雙軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)例中；文獻(xiàn)[18]給出了基于ELM的魯棒自適應(yīng)控制方法，應(yīng)用于二自由度剛性機(jī)械臂實(shí)例中，均取得了很好的控制效果。

鑒于ELM在參數(shù)選擇和學(xué)習(xí)速度方面的優(yōu)勢(shì)，針對(duì)一類不確定性純反饋非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在Backstepping設(shè)計(jì)與中值定理的基礎(chǔ)上，本文提出一種基于ELM的自適應(yīng)神經(jīng)控制方法，將其應(yīng)用于化工過程中的連續(xù)攪拌釜(continuous stirred taank reactor, CSTR)系統(tǒng)的控制實(shí)例中，以驗(yàn)證本文方法的有效性。

1　問題描述

考慮如下一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)

為將式(2)變形為嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)，首先，由中值定理在給定平衡點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，即

其中，xi0是對(duì)應(yīng)t0時(shí)刻的給定值，其次，將式(3)代入式(2)得

針對(duì)式(4)的嚴(yán)格參數(shù)反饋形式的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程，可以通過Backstepping控制思路，設(shè)計(jì)控制律 u(t)，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致最終有界，使得系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤給定的期望軌跡 yd(t)。非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(4)滿足如下假設(shè)。

假設(shè)1 期望軌跡yd有界，且存在n階導(dǎo)數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)均可微有界。

假設(shè)2 函數(shù)gi(·)是符號(hào)已知的光滑函數(shù)，并且存在常數(shù)，使得。

假設(shè)2表明光滑函數(shù)gi(·)嚴(yán)格為正或?yàn)樨?fù)，不失一般性，可設(shè)

另外，由式(3)看出，gi(·)的偏微分僅依賴于狀態(tài)變量，而fi(·)和gn(·)假定是光滑函數(shù)，在緊集合Ω內(nèi)是有界的。因此，進(jìn)一步給出假設(shè)3。

2　極限學(xué)習(xí)機(jī)

2.1 ELM

ELM起源于對(duì)SLFNs的研究，是SLFNs的推廣和延伸，其本質(zhì)不同于對(duì)SLFNs學(xué)習(xí)算法的通常理解，即其隱含層的節(jié)點(diǎn)及其參數(shù)均無須調(diào)整，與訓(xùn)練數(shù)據(jù)獨(dú)立，隨機(jī)的確定隱含層節(jié)點(diǎn)。

對(duì)于含有 L個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)，m個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的SLFNs，其網(wǎng)絡(luò)輸出的數(shù)學(xué)描述為

式中，wi、bi表示網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)的學(xué)習(xí)參數(shù)；θi表示連接第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)輸出層節(jié)點(diǎn)的輸出權(quán)值向量；hi(x)表示第 i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的輸出函數(shù)h(x;wi,bi)，h(x;wi,bi)由隱含層節(jié)點(diǎn)類型確定。

當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)為可加性Sigmoid激活函數(shù)時(shí)

當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)為RBF激活函數(shù)時(shí)

當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)為硬限幅Hard-limit激活函數(shù)時(shí)

其中，wi∈Rn,bi∈R，wi·x表示向量wi和x的內(nèi)積。

2.2 ELM的學(xué)習(xí)

以矩陣形式表示為

其中

這里，H為SLFNs的隱含層輸出矩陣，其第i行表示與輸入xi相關(guān)的特征映射，即xi:h（xi），且h（x）=[h（x;w1,b1）,…,h（x;wL,bL）]。

若h(xj;wi,bi)在任意區(qū)間上無限可微，且SLFNs隱層節(jié)點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)參數(shù)可以隨機(jī)生成，則由文獻(xiàn)[15]可知，當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目L小于樣本N時(shí)，SLFNs仍能以極小的訓(xùn)練誤差逼近訓(xùn)練樣本。此時(shí)矩陣H并非方陣，從而存在使得

因此，與使用梯度下降算法訓(xùn)練所有網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的SLFNs方法不同，ELM的基本學(xué)習(xí)算法就是求解式(9)的權(quán)值最小二乘解。

2.3 ELM對(duì)未知非線性函數(shù)的逼近

實(shí)際的控制工程中，基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的良好逼近特性，通常可應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或SLFNs對(duì)未知非線性函數(shù)進(jìn)行建模。本文將應(yīng)用 ELM逼近未知連續(xù)函數(shù) ?（Z）∈R，輸入向量Z∈Rn。因此，式(8)中的B∈RL×m此時(shí)成為L(zhǎng)×1的列向量，H∈RN×L成為列向量h（Z）∈R1×L，即有

假設(shè)4 對(duì)所有的Z∈ΩZ，存在最優(yōu)輸出權(quán)值向量，滿足≤ε?，常數(shù)ε?＞0。

3　Backstepping自適應(yīng)神經(jīng)控制器的設(shè)計(jì)

Backstepping控制是一種逐步遞推的設(shè)計(jì)方法，通過引進(jìn)虛擬控制量達(dá)到靜態(tài)補(bǔ)償，前面的子系統(tǒng)必須通過后邊子系統(tǒng)的虛擬控制達(dá)到鎮(zhèn)定的目的。本節(jié)針對(duì)式(2)所示的一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)，將其變換為式(4)后，應(yīng)用ELM網(wǎng)絡(luò)逼近子系統(tǒng)的未知部分，并使用Lyapunov綜合方法保證系統(tǒng)的半全局一致最終穩(wěn)定，設(shè)計(jì)出 Backstepping自適應(yīng)控制器。

Step 1 定義跟蹤誤差e1=x1-yd，則其導(dǎo)數(shù)為

將x2視為虛擬控制輸入，則存在一個(gè)期望反饋控制

其中，設(shè)計(jì)參數(shù) b1＞0；f1和11gλ均是未知光滑函數(shù)。

在國(guó)內(nèi)，雖然一些酒店企業(yè)也擁有較豐富的管理經(jīng)驗(yàn)，但是往往沒有形成系統(tǒng)成熟的管理模式。在信息發(fā)達(dá)的今天，很多酒店沒有很好地利用起這一優(yōu)勢(shì)，在信息化管理方面欠缺，設(shè)施不齊全。很多企業(yè)在借鑒其他企業(yè)經(jīng)驗(yàn)或者從酒店管理公司獲得管理技術(shù)時(shí)沒有結(jié)合本企業(yè)的實(shí)際情況和發(fā)展特點(diǎn)。此外，我國(guó)酒店大多都是小規(guī)模經(jīng)營(yíng)，而且地區(qū)差異較大，發(fā)展不平衡，不能適應(yīng)世界酒店發(fā)展的趨勢(shì)，更沒有吸取到世界上信息化管理酒店這一模式的好處，與全球較為成功的酒店還存在很大的差距。

式(18)求導(dǎo)可得

設(shè)計(jì)權(quán)值 ?iθ的自適應(yīng)律為其中，γi>0，σi>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

令b1=b10+b11,b10,b11>0，考慮式(20)的自適應(yīng)律在不同情形下的取值。

應(yīng)用完全平方公式，有如下不等式成立

由假設(shè)2及假設(shè)3，可得

則有

可見，對(duì)于自適應(yīng)律在不同情形下的取值，均能保證式(24)成立。

Step 2 定義e2=x2-α1，則其導(dǎo)數(shù)為

將x3視為虛擬控制輸入，存在一個(gè)期望反饋控制

其中，b2>0是一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。由式(14)可知，α1是關(guān)于x1、yd和的函數(shù)，則

選擇Lyapunov函數(shù)為

式(34)求導(dǎo)可得

應(yīng)用完全平方公式，有如下不等式成立

另外，由假設(shè)2及假設(shè)3，可得

由式(35)得

因此，無論自適應(yīng)律為何種形式，均能保證式(39)成立。Step定義，其導(dǎo)數(shù)為

將 xi+1視為虛擬控制輸入，存在一個(gè)期望反饋控制

其中，bi>0是一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。是關(guān)于及的函數(shù)，因此，可有

選擇Lyapunov函數(shù)為

式(48)求導(dǎo)可得

為了使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，存在一個(gè)期望反饋控制

其中，bn>0是一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。是關(guān)于及的函數(shù)，因此，可有

則

選擇Lyapunov函數(shù)為

式(57)求導(dǎo)，結(jié)合權(quán)值 ?nθ的自適應(yīng)律，與Step i的推導(dǎo)類似，可得如下不等式

在[0,t]內(nèi)，式(60)積分，可得

在控制器的每步反演設(shè)計(jì)過程中，由于待逼近的?i(Zi)依賴于上一步設(shè)計(jì)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量的影響，通過引入中間變量，則有效避免了第i步設(shè)計(jì)中，ELM網(wǎng)絡(luò)的輸入產(chǎn)生“維數(shù)災(zāi)難”的不利情形。因此，每步設(shè)計(jì)中，均可應(yīng)用有限數(shù)目輸入的 ELM網(wǎng)絡(luò)逼近子系統(tǒng)的未知部分。

4　仿真研究

為了驗(yàn)證本文控制方法的有效性，以一階連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR)系統(tǒng)的不可逆放熱反應(yīng)AB過程為例。該模型是一類典型的純反饋非線性系統(tǒng)，其質(zhì)量和能量平衡方程式[19-20]為

其中，CA為反應(yīng)物A的濃度，T是反應(yīng)釜溫度，冷卻劑溫度Tc為操作控制變量。

與文獻(xiàn)[21]的處理一致，首先引入以下量綱 1形式的參數(shù)，即

其中，F(xiàn)、CAF和TF分別是過程流量、進(jìn)料濃度、進(jìn)料溫度。定義量綱1形式的變量如下

其中，TCO是冷卻液溫度的參考值。

在上述定義的基礎(chǔ)上，對(duì)式(62)進(jìn)行變換，可轉(zhuǎn)換為量綱1的模型方程如下

其中

x1和x2分別是量綱1反應(yīng)濃度和溫度，輸入u是夾套內(nèi)的冷卻劑溫度，Da是Damkohler數(shù)，η是量綱1活化能，B是反應(yīng)熱，δ是熱交換系數(shù)。

可見，式(63)與式(2)的形式一致，本質(zhì)上屬于純反饋非線性系統(tǒng)。選擇參數(shù) Da=0.072，η=20，B=8，δ=0.3。當(dāng)u=0時(shí)，式(63)有3個(gè)平衡狀態(tài)[7]x1=(0.1440,0.8862)，x2=(0.4472,2.7520)，x3=(0.7646,4.7052)=控制目標(biāo)是通過設(shè)計(jì)控制律u希望反應(yīng)器能夠到達(dá)操作點(diǎn)（平衡狀態(tài)）或者在操作點(diǎn)附近波動(dòng)，即使系統(tǒng)的輸出y=x1能夠跟蹤給定的期望軌跡yd，且保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)均一致最終有界。

4.1 仿真一

選擇系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x1=(0.1440,0.8862)，為獲取光滑的參考信號(hào)，可使用線性參考模型將不連續(xù)的參考信號(hào) r(t)變換為期望參考信號(hào) yd。線性二階的參考模型為

其中，r(t)是所選平衡狀態(tài)0.1440附近±0.02的階躍信號(hào)，ωn=5 r·min-1，ξn=1.0,yd(0)=0.1。初始條件x(0)=[0.1440,0.8862]T。

在設(shè)計(jì)參數(shù)的選取中，依據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)取值及試湊法，通過多次實(shí)驗(yàn)仿真，即可選取一組較優(yōu)的取值。設(shè)計(jì)參數(shù)為:σ1=σ2=2，γ1=0.002，γ2=0.2，b1=3600，b2=30，x10=0.1440。ELM 網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)分別考慮 Sigmoid可加性節(jié)點(diǎn)、RBF節(jié)點(diǎn)及Hardlim節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)及的隱含層節(jié)點(diǎn)分別為5和10，輸入分別為3和4維，即，隱含層節(jié)點(diǎn)參數(shù)(w,b)分別在［-1,1］及[0,1]之間隨機(jī)給定。用于對(duì)比的基于RBF網(wǎng)絡(luò)的Backstepping自適應(yīng)控制方法中，其隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)也分別選取5和10，高斯基函數(shù)參數(shù)中心矢量值按均勻分布在網(wǎng)絡(luò)輸入值范圍內(nèi)的值選取，范圍均為[-2,2]，基寬取值為0.1。

圖1及圖2分別給出了在權(quán)值自適應(yīng)律式(20)調(diào)節(jié)下，基于控制律式(55)的條件下，量綱1反應(yīng)濃度x1的跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線，可以看出采用不同節(jié)點(diǎn)的基于ELM的自適應(yīng)Backstepping控制方法取得了很好的跟蹤控制效果，也略微優(yōu)于基于RBF的自適應(yīng)控制方法。圖3給出了控制輸入的變化曲線。同時(shí)，為進(jìn)一步從數(shù)值上比較差異，不同控制方法對(duì)狀態(tài)變量 x1的跟蹤輸出與參考軌跡 yd之間的均方根誤差(root mean square error, RMSE)也在表1列出。表1的結(jié)果顯示，基于ELM的自適應(yīng)Backstepping控制方法，其RMSE較小，這也驗(yàn)證了其良好的跟蹤性能以及方法的有效性。

圖1　x1的跟蹤曲線Fig.1 Tracking curve of x1

圖2　x1的跟蹤誤差曲線Fig.2 Tracking error curve of x1

圖3　控制輸入uFig.3 Control input u

表1　不同控制方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)比較(仿真一)Table 1 Comparison of performance index of different control methods(simulation 1)

另外，實(shí)驗(yàn)還考慮了基于3種不同節(jié)點(diǎn)類型的ELM控制器，其隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目變化時(shí)，所施加控制方法對(duì)控制性能的影響。當(dāng)兩個(gè)ELM網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目分別從5增加至25時(shí)，其狀態(tài)變量x1跟蹤參考軌跡yd的RMSE變化很微小，數(shù)值范圍大約在0.0010～0.0013之間，這說明不同類型隱含層節(jié)點(diǎn)的ELM控制器，其控制性能相當(dāng)，控制方法的魯棒性好。

進(jìn)一步考慮 ELM網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)參數(shù)的不同初始值設(shè)置對(duì)控制性能的影響，以Sigmoid節(jié)點(diǎn)為例，節(jié)點(diǎn)數(shù)目均為10，分別改變w和b取值的隨機(jī)間隔范圍，其中w的取值在[-0.5, 0.5]～[-4, 4]之間變化，b的取值在[0, 0.5]～[0, 4]之間變化時(shí)，狀態(tài)變量x1跟蹤參考軌跡yd的均方根誤差(RMSE)變化很微小，控制器的性能幾乎不受影響。

圖4　x1在不同設(shè)定點(diǎn)的跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of x1for different set-points

4.2 仿真二

與文獻(xiàn)[7]的仿真情形一致，考慮系統(tǒng)在不同設(shè)定點(diǎn)情形下，控制器對(duì)量綱1反應(yīng)濃度x1的跟蹤性能。ELM網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)類型同仿真一，網(wǎng)絡(luò)及的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目均為10，，隱含層節(jié)點(diǎn)參數(shù)(w,b)分別在[-1,1]及[0,1]之間隨機(jī)給定。初始條件 x(0)=[0,0]T。設(shè)計(jì)參數(shù)選取為σ1=σ2=2，γ1=0.0002，γ2=0.2，b1=1800，b2=60，x10=0。用于對(duì)比的基于RBF網(wǎng)絡(luò)的Backstepping自適應(yīng)控制方法中，其隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目也均為10，高斯基函數(shù)參數(shù)中心矢量值的范圍為[-2,2]，基寬的取值為0.1。

圖4和圖5分別給出了量綱1反應(yīng)濃度x1在不同設(shè)定點(diǎn)的跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線，圖6進(jìn)一步給出了控制輸入的變化曲線。從仿真結(jié)果可以看出，采用 Sigmoid可加性節(jié)點(diǎn)和 RBF型節(jié)點(diǎn)的基于ELM的Backstepping自適應(yīng)控制方法，其控制性能相當(dāng)，略優(yōu)于采用Hardlim硬限幅節(jié)點(diǎn)的ELM控制方法。不同節(jié)點(diǎn)類型的ELM控制方法，與基于RBF網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制方法相比，其控制效果更好。

圖5　x1在不同設(shè)定點(diǎn)的跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve of x1for different set-points

圖6　控制輸入uFig.6 Control input u

表3　不同控制方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)比較(仿真二)Table 2 Comparison of performance index of different control methods(simulation 2)

為體現(xiàn)數(shù)值差異，不同控制方法中，狀態(tài)變量x1的跟蹤輸出與參考軌跡yd之間的RMSE也在表2列出。從表 2的結(jié)果看出，基于 ELM的自適應(yīng)Backstepping控制方法，其RMSE較小，這也驗(yàn)證了其良好的跟蹤性能及方法的有效性。

5　結(jié) 論

Backstepping控制在設(shè)計(jì)不確定性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器或魯棒控制器方面已顯示出一定的優(yōu)越性，本文針對(duì)一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)，通過中值定理，將其變換為嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的形式，在此基礎(chǔ)上，給出了基于ELM的Backstepping自適應(yīng)神經(jīng)控制方法。該方法基于Backstepping控制設(shè)計(jì)步驟，應(yīng)用 ELM網(wǎng)絡(luò)逼近每一子系統(tǒng)的未知非線性項(xiàng)，由Lyapunov綜合法設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律，通過對(duì) ELM網(wǎng)路輸出權(quán)值的在線自適應(yīng)調(diào)整，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致最終有界。最后，通過應(yīng)用于化工過程的CSTR系統(tǒng)中，以其作為典型的純反饋非線性系統(tǒng)實(shí)例，在不同的仿真情形下驗(yàn)證了本文控制方法的有效性。

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2015-10-10收到初稿，2016-04-19收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者:李軍（1969—），男，博士，教授。

Received date: 2015-10-10.

中圖分類號(hào):TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0438—1157（2016）07—2934—10

DOI:10.11949/j.issn.0438-1157.20151533

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51467008）。

Corresponding author:Prof. LI Jun, lijun691201@mail.lzjtu.cn supported by the National Natural Science Foundation of China (51467008).

Adaptive control for a class of uncertain pure-feedback nonlinear systems using Backstepping based on extreme learning machine

LI Jun, SHI Qing
(College of Electrical Engineering and Automation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, Gansu, China)

Abstract:For a class of uncertain pure-feedback nonlinear dynamical systems, an adaptive neural control method using the extreme learning machine (ELM) is presented on the basis of mean value theorem and Backstepping control. As a kind of single-hidden layer feed forward networks (SLFNs), ELM, which randomly chooses hidden node parameters and analytically determines the output weights, shows good generalized performance at extremely fast learning speed. In the process of each step for the Backstepping controller design, the ELM network is used to approximate unknown nonlinear part of the subsystem. Meanwhile, the adaptive adjustment law of weights parameter by Lyapunov stability analysis is derived so that the semiglobal uniform ultimate boundedness of all signals in the closed-loop nonlinear system can be guaranteed and the output of the system can also converge to a small neighborhood of the desired trajectory. The employed control method is then applied to the instance of continuous stirred tank reactor (CSTR) system in the chemical process and the simulation results are presented to verify the effectiveness of the method.

Key words:nonlinear dynamics; adaptive; control; Backstepping; extreme learning machine; neural networks