投影與視圖新題型

文/丁　潔

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投影與視圖新題型

文/丁潔

投影和視圖是空間與圖形的重要內(nèi)容，也是中考新題型的好素材．投影與視圖的新題型主要有：

一、開放發(fā)散型

例1（2014年汕尾卷）寫出一個(gè)在三視圖中俯視圖與主視圖完全相同的幾何體．

解析：球的俯視圖與主視圖都為圓，正方體的俯視圖與主視圖都為正方形，答案可以從球或正方體中任意選一個(gè)．

溫馨小提示：熟悉三視圖的概念和常見幾何體的三視圖是解題的前提．

二、方案設(shè)計(jì)型

例2（2015年佛山卷）如圖1，在水平地面上豎立著一面墻AB，墻外有一盞路燈D．光線DC恰好通過墻的最高點(diǎn)B，且與地面成37°角．墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC＝5.5米．

（1）求墻AB的高度（結(jié)果精確到0.1米）；（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

（2）如果要縮短影子AC的長度，同時(shí)不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方案．

解析：（1）在Rt△ABC中，由AC＝5.5，∠C＝37°，得AB＝AC·tan C＝5.5×0.75≈4.1（米）. （2）從邊和角兩方面考慮，可得兩種方案：①增加路燈D的高度；②使路燈D向墻靠近．溫馨小提示：理解三角函數(shù)概念，掌握三角函數(shù)與直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

圖1

三、視圖變化型

例3（2015年菏澤卷）圖2是由6個(gè)同樣大小的正方體擺成的幾何體.將正方體①移走后，所得幾何體（）．

A．主視圖改變，左視圖改變B．俯視圖不變，左視圖不變

C．俯視圖改變，左視圖改變D．主視圖改變，左視圖不變

解析：比較移動(dòng)前與移動(dòng)后三種視圖，立可得到答案，選D．

溫馨小提示：分別標(biāo)出移動(dòng)前后三視圖的正方形的列數(shù)及每列正方形的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．

圖2

四、知識滲透型

例4（2014年巴中卷）如圖3，兩個(gè)大小不同的實(shí)心球在水平面靠在一起，則該幾何體的左視圖是（）.

A．兩個(gè)外切的圓B．兩個(gè)內(nèi)切的圓

C．兩個(gè)內(nèi)含的圓D．一個(gè)圓

解析：左視圖是兩個(gè)內(nèi)切的圓，切點(diǎn)在水平面上．選B．

溫馨小提示：從左面看，兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，且小圓在大圓的內(nèi)部.本題將兩圓位置關(guān)系的判定與三視圖的識別有機(jī)綜合，十分巧妙自然．

圖3

五、定量計(jì)算型

例4（2015年玉林卷）圖4是七個(gè)棱長為1的正方體組成的一個(gè)幾何體，其俯視圖的面積是（）．

A．3B．4

C．5D．6

解析：由圖4及正方體的個(gè)數(shù)可知俯視圖有五個(gè)正方形，如圖5，它的面積為5．選C．

溫馨小提示：將三視圖的判定轉(zhuǎn)化為簡單圖形面積的計(jì)算，命題形式新穎．

圖4

六、整體思考型

圖5

例6 （2014年棗莊卷）從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長為1的小正方體，得到一個(gè)如圖6所示的零件，則這個(gè)零件的表面積是________.

解析：觀察正方體毛坯，發(fā)現(xiàn)挖去一個(gè)棱長為1的小正方體，這個(gè)零件的表面積仍等于原正方體的表面積.因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以正方體的表面積為6×22＝24.填24．

溫馨小提示：常規(guī)解法是把每個(gè)面的面積計(jì)算出來相加，這樣做比較麻煩.從整體思考，利用平移補(bǔ)形，解法十分簡捷．

圖6

七、幾何體拼組型

例7（2015年青島卷）如圖7，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明用17個(gè)邊長為1的小正方體搭成了一個(gè)幾何體，然后他請王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個(gè)幾何體，使兩個(gè)幾何體拼成一個(gè)無縫隙的大長方體（不改變張明所搭幾何體的形狀），那么王亮至少還需要________個(gè)小正方體，王亮所搭幾何體的表面積為________.

解析：大長方體至少需要小立方體4×32＝36個(gè)．

∴王亮至少還需36-17＝19個(gè)小立方體，表面積為2×（9+7+8）＝48，

故分別填19，48．

溫馨小提示：確定兩人所搭幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．

圖7

八、方程應(yīng)用型

例8（2015年鎮(zhèn)江卷）某興趣小組開展課外活動(dòng)．如圖8，A、B兩點(diǎn)相距12米，小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個(gè)影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)H，此時(shí)他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點(diǎn)C、E、G在一條直線上）．

圖8

（1）請?jiān)趫D中畫出光源O點(diǎn)的位置，并畫出他位于點(diǎn)F時(shí)的影長FM（不寫畫法）；

（2）求小明原來的速度．

解析：（1）如圖8，點(diǎn)O為光源，F(xiàn)M為影長．

（2）∵點(diǎn)C、E、G在一條直線上，CG∥AB，

經(jīng)檢驗(yàn)，v＝1.5是方程的根．

小明原來的速度為1.5m/s．

溫馨小提示：影長問題，要弄清是平行投影還是中心投影下的影長，應(yīng)用相似三角形的知識來解決．

責(zé)任編輯：王二喜