一類具有周期變指數(shù)和凹凸非線性項(xiàng)橢圓型方程解的多重性

祁紅紅, 賈 高

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093)

一類具有周期變指數(shù)和凹凸非線性項(xiàng)橢圓型方程解的多重性

祁紅紅, 賈 高?

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093)

研究一類具有周期變指數(shù)和凹凸非線性項(xiàng)的橢圓邊值問題,借助Ekeland變分原理和Nehari流形等理論和方法得到解的多重性.

周期變指數(shù);多重性;Nehari流形

§1 引 言

目前,變指數(shù)擬線性問題越來越受到人們的關(guān)注,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)這一課題進(jìn)行了研究,并取得一些新的成果,如文獻(xiàn)[1-5].

隨著彈性力學(xué),流體力學(xué)等學(xué)科理論的發(fā)展激發(fā)了對(duì)變指數(shù)空間的研究,同時(shí)變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(RN)和Sobolev空間W1,p(x)(RN)的發(fā)展也促進(jìn)更多物理模型的出現(xiàn),參見文獻(xiàn)[2-4].

T.F.Wu在文獻(xiàn)[3]中研究了下面方程多重解的存在性

其中q∈(0,1),λ是一個(gè)正整數(shù).

T.S.Hsu,H.L.Lin和C.C.Hu在文獻(xiàn)[4]中討論了如下方程

解的存在性和多重性,其中2≤p＜N,N≥3.

在文獻(xiàn)[5]中,C.O.Alves等學(xué)者研究如下問題解的存在性和多重性

其中λ≥0,k∈N,p(x),q(x),r(x):RN→R是正Lipschitz連續(xù)的ZN周期函數(shù),即p(x+z)=p(x),x∈RN,z∈ZN.f(x):RN→ R 是一個(gè)正連續(xù)函數(shù),存在l個(gè)點(diǎn)a1,a2,···,al∈ZN,其中

本文研究含有周期變指數(shù)和凹凸非線性項(xiàng)的擬線性橢圓方程解的多重性{

其次,對(duì)于問題(1.0)給出一些基本假設(shè):

(F1) p(x),q(x),r(x):RN→R是正Lipschitz連續(xù)的ΠN周期函數(shù),且

(F3) g(x):RN→R是一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)且其中(F4)f(x):RN→ R 是一個(gè)正連續(xù)函數(shù),存在K個(gè)點(diǎn)a1,a2,···,aK∈ ΠN,取a1=0,并且這K個(gè)點(diǎn)都是f(x)的極大值點(diǎn),所對(duì)應(yīng)的極大值為Mi,即Mi=f(ai),1≤i≤K,記M?=max{Mi,1}.

需要特別說明的是,本文研究的邊值問題與文獻(xiàn)[5]中的相似,本文的工作是將周期性推廣到ΠN;將推廣到將[5]中關(guān)于f(x)具有相等極大值減弱到互不相等極值,在本文主要結(jié)論的證明過程中,這是需要克服的最大困難.

本文的主要結(jié)果:

定理1.1如果條件(F1)?(F5)滿足,那么存在Λ?＞0,m?∈N,使得當(dāng)0＜λ＜Λ?,m≥m?時(shí),方程(1.0)至少有K+1個(gè)解.

§2 預(yù)備知識(shí)和主要引理

先介紹變指數(shù)空間Lp(x)(RN)和W1,p(x)(RN)的定義和相關(guān)性質(zhì).

定義Ls(x)(RN)上的范數(shù)為函數(shù)ρ:Ls(x)(RN)→R為ρ(u)=|u|s(x),可得以下結(jié)論:在空間Ls(x)(RN)中,考慮模

命題2.1[5]則

在W1,s(x)(RN)上定義范數(shù)為||u||1,s(x)=|u|s(x)+|▽u|s(x),定義模函數(shù)為ρ1(u)= ∫(|u|s(x)+|▽u|s(x)).

如果在空間W1,s(x)(RN)上另定義范數(shù)

則在W1,s(x)(RN)中||u||1,s(x)和||u||是等價(jià)范數(shù)([5,7]).在本文的討論中,只用范數(shù)‖·‖.

命題2.2[5]關(guān)于‖·‖和ρ1(u)有類似命題2.1的結(jié)論.

命題2.3[8](Sobolev嵌入定理) 設(shè)s(x):RN→ R 是一個(gè)Lipschitz連續(xù)函數(shù)且1＜s?≤s(x) ≤ s+＜ N,h(x)∈滿足s(x) ≤ h(x) ≤ h?(x),a.e.x ∈ RN,則W1,s(x)(RN)→Lh(x)(RN),且存在常數(shù)A＞1,有|v|h(x)≤A||v||,?v∈W1,s(x)(RN).

根據(jù)變分理論,尋求(1.0)的弱解等價(jià)于尋找泛函Φλ,m(u):W1,p(x)(RN)→R的臨界點(diǎn)

則當(dāng)||u||→∞時(shí),由(1.1)知Φλ,m(u)→?∞,即Φλ,m(u)在W1,p(x)(RN)上是無下界的,因此不能在W1,p(x)(RN)上借助變分理論研究Φλ,m(u)的臨界點(diǎn)的存在性.另一方面,在下面研究中將證明Φλ,m(u)在Nehari流形上是有下界的,所以將在Nehari流形上討論Φλ,m(u)的臨界點(diǎn).

Nehari流形Nλ,m={u∈W1,p(x)(RN){0}:

則cλ,m是Φλ,m(u)的山路水平數(shù)([5]).

當(dāng)λ=0,f(x)≡P(常數(shù))時(shí),(1.0)成為下列特殊問題{

下面將依據(jù)引理2.9得到(2.0)解的多重性.

問題(2.0)對(duì)應(yīng)的泛函為ΦP:W1,p(x)(RN)→R,

相應(yīng)Nehari流形為

引理2.4在Nλ,m上,泛函Φλ,m(u)是強(qiáng)制的并且有下界.

證因?yàn)閷?duì)?u∈Nλ,m,有Φ′λ,m(u)u=0,從而有

不妨設(shè)||u||＞ 1,由H¨older不等式,(F3)和命題2.3得

所以當(dāng)||u||?1時(shí),上式右端大于0,即Φλ,m(u)在Nλ,m上是強(qiáng)制的并且有下界.

引理2.5假設(shè)g滿足(F3),{un}? W1,p(x)(RN)是Φλ,m的一個(gè)(PS)d序列,那么{un}在W1,p(x)(RN)中是有界的.

此引理的證明是基本的,這里從略.

引理2.6[9]假設(shè)g滿足(F3),存在{un}?W1,p(x)(RN),u∈W1,p(x)(RN),當(dāng)n→ ∞ 時(shí),有un?u和?v∈W1,p(x)(RN),則存在子列(仍記為{un}),當(dāng)n→∞時(shí),▽un?→▽u,a.e.x∈RN,對(duì)?v∈W1,p(x)(RN)有

引理2.7若(2.0)中的P取為f(x)的極大值Mi,設(shè)在NMi中存在序列{un}滿足ΦMi(un)→cMi,則下列兩結(jié)論只能成立其中之一:(1)在W1,p(x)(RN)中有un→u(n→∞),且u∈ NMi.(2)存在{yn}?ΠN且|yn|→+∞(n→n)和w∈W1,p(x)(RN),使得在W1,p(x)(RN)中,wn(x)=un(x+yn)→w(n→∞)和ΦMi(w)=cMi,w∈ NMi.

證由引理2.5知,存在u∈W1,p(x)(RN)及{un}的子列(仍記為{un}),使得在W1,p(x)(RN)中un?u.利用Ekeland變分原理,可得

其中{βn}?R.因?yàn)閧un}?NMi,那么從(2.2)可知

接下來,證明存在α?＞0,使得

斷言:存在α0＞0,滿足||u||＞α0, ?u∈NMi.

若不然,則存在{vn}?NMi,當(dāng)n→∞時(shí),||vn||→0.因?yàn)閧vn}?NMi,故∫

另一方面,當(dāng)n充分大時(shí)||vn||＜1,由命題2.1-2.2和Sobolev嵌入定理有于是可得這與假設(shè)矛盾,故斷言成立.

由命題2.2知存在ξ0＞0,使得的定義有故(2.4)得證.

結(jié)合(2.3)和(2.4)可得,當(dāng)n→∞時(shí),成立βn→0,從而

接下來,分u/=0和u=0兩種情況進(jìn)行分析.

情形1:u/=0,a.e.x∈RN.從引理2.6知,當(dāng)n→∞時(shí),成立

從以上結(jié)論可知u是ΦMi的一個(gè)臨界點(diǎn).由Fatou引理和引理2.6得

情形2:u=0,a.e.x∈RN.下面證∫明存在R,滿足

假設(shè)(2.5)不成立,則

由[10]的引理3.1知,在L∫

b(x)(RN)中un→0,其中b(x)∈C(RN)且p(x)?b(x)?p?(x).由

,則在W1,p(x)(RN)中un→ 0,故cMi=0.

又因?yàn)閷?duì)v ∈ N 有(|v|p(x)+|▽v|p(x))=M|v|r(x),而

即cMi＞0,顯然矛盾,故斷言成立.

設(shè){yn}?ΠN且|yn|→+∞,定義wn(x)=un(x+yn).因?yàn)閜(x),q(x)和r(x)都是ΠN周期函數(shù),經(jīng)變量代換后得Φ于是{wn}是ΦMi的一個(gè)(PS)cMi序列.由引理2.5知{wn}在W1,p(x)(RN)中是有界的,于是在W1,p(x)(RN)中有wn?w. 由(2.5)得則w/=0.

對(duì){wn}重復(fù)(1)的步驟,可得在W1,p(x)(RN)中有wn→w和ΦMi(w)=cMi,w∈NMi.

引理2.8對(duì)任意m ∈ N,則存在正常數(shù)λ0＞ 0,α和l,當(dāng)λ ∈ (0,λ0),||u||=l時(shí),有Φλ,m(u)≥α＞0.

證由H¨older不等式,(F3)和Sobolev嵌入定理得

不妨設(shè)||u||＜1,由命題2.1和Sobolev嵌入定理得

因?yàn)閜+＜r?,選取充分小的l,使得

另一方面,選取λ0滿足在?Bl(0)上有

引理2.9[5]設(shè)(F3),(F4)和(1.1)滿足,記則對(duì)

由引理2.9,當(dāng)0＜ λ ＜ Λ1時(shí),下面的幾個(gè)引理將給出的一些重要性質(zhì).依據(jù)引理2.9還可以得到:

引理2.10設(shè)0＜λ＜Λ1,則下列不等式成立:

證明省略之.

引理2.11(1)設(shè)(F3)滿足,則有一常數(shù)0,使得對(duì)成立Φλ,m(u)＞ L;(2)設(shè)(F2),(F3),(F5)和(2.1)滿足,如果0＜ λ ＜ Λ1,那么對(duì)任意有Φλ,m(u)＜0,并且

利用Young不等式可得

§3 主要結(jié)論的證明

引理3.1[11](1)在Nλ,m中存在Φλ,m的一(PS)γλ,m序列;(2)在中存在Φλ,m的序列;(3)在中存在Φλ,m的一序列.

引理3.2[5]設(shè)單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)fl:[0,+∞)→[0,+∞),fl(0)=0,(l=1,2,3),且滿足

(2)函數(shù)φ=f1?f3在[0,+∞)中只有一個(gè)極大值點(diǎn),并且當(dāng)t→+∞時(shí),φ(t)→?∞,

那么存在λ1＞0,當(dāng)0＜λ＜λ1時(shí),ψ=f1?λf2?f3只有兩個(gè)正的零點(diǎn).

借助引理3.2,可以得到下列引理:

引理3.3對(duì)u∈W1,p(x)(RN){0},那么下列結(jié)論成立:

(1)若∫g(x)|u|q(x)=0,則存在t?＞0,使得(2)若0＜λ ＜ Λ1,∫g(x)|u|q(x)＞ 0,則存在正數(shù)t?,t+,t?滿足t+＜ t?＜ t?,使得,且

證設(shè)u∈W1,p(x)(RN){0},通過計(jì)算有

令φ(t)=Φλ,m(tu),?t∈[0,+∞),則φ(0)=0.如果g(x)|u|q(x)=0,當(dāng)0＜t? 1時(shí),

當(dāng)t? 1時(shí),可得φ(t)＜ 0. 于是存在t?＞ 0,使得進(jìn)一步有結(jié)合(3.3)可推出令v=t?u,則

下面∫證明(2).令

容易驗(yàn)證I1(t),I2(t)和I3(t)滿足引理3.2的條件,函數(shù)ψ(t)=I1(t)?λI2(t)?I3(t)有兩個(gè)正的零點(diǎn),t+＜ t?.對(duì)φ(t)= Φλ,m(tu),因?yàn)棣?0)=0,如果∫g(x)|u|q(x)＞ 0,那么當(dāng)0＜ t? 1時(shí),φ(t)＜0,于是φ(t)在t=t+處有一個(gè)局部最小值.因此,故利用引理2.11(2)有Φλ,m(t+u)＜ 0,即φ(t+)＜ 0.

因?yàn)閠+和t?是φ(t)僅有的兩個(gè)臨界點(diǎn),并且t+,t?∈ (0,1),于是可知φ(t)在t=t?處有一個(gè)局部最大值,那么故根據(jù)引理2.11(1)有Φλ,m(t?u)＞0,即φ(t?)＞ 0.因此φ(t)在區(qū)間(t+,t?)上存在唯一的零點(diǎn)t?,從而

引理3.4設(shè)D?(λ)由引理2.12給出,條件(F3)和(F5)滿足,當(dāng)0＜ λ ＜ Λ1時(shí),則泛函Φλ,m滿足(PS)d條件,其中d ＜ cf∞?D?(λ).

證設(shè){vn}? W1,p(x)(RN)是Φλ,m的一(PS)d序列,其中d＜ cf∞?D?(λ).從引理2.5知{vn}在W1,p(x)(RN)中是有界的,即存在一個(gè)子列(仍記為{vn}),在W1,p(x)(RN)中有vn? v(n→∞).由引理2.6知由引理2.8知Φλ,m(v)≥0,且wn=vn?v是Φ0,m的一個(gè)(PS)d?序列,其中d?=d?Φλ,m(v)＜ cf∞,(見引理2.12).

下面證明存在R＞0,使得

假設(shè)(3.4)不成立,則對(duì)?R＞0,存在ξ2＞0,{yn}?ΠN滿足

故ˉw是問題(2.0)的弱解.又因?yàn)?/p>

這與d?＜ cf∞矛盾,故(3.4)成立.

引理3.5如果條件(F3)和(F5)滿足,對(duì)于Λ?∈(0,Λ1),使得當(dāng)λ ∈(0,Λ?)時(shí),問題(1.0)至少有一個(gè)基態(tài)解

證根據(jù)引理3.1(1)知,存在Φλ,m的一個(gè)極小化序列{un}?Nλ,m,且有Φλ,m(un)=γλ,m+on(1),因?yàn)閏f∞＞0,存在0＜ Λ?＜ Λ1,則對(duì)?λ ∈(0,Λ?)有γλ,m＜0＜cf∞?D?(λ).從引理3.4可知,存在{un}的一個(gè)子列(仍記為{un})和u?∈ W1,p(x)(RN),使得un→u?(W1,p(x)(RN)),于是u?是(1.0)的一個(gè)弱解,并且Φλ,m(u?)= γλ,m＜ 0.

于是由γλ,m的定義得這與γλ,m＜ 0矛盾.

由引理3.3(2)知,存在t+＜t?=1,使得且

根據(jù)泛函Φλ,m(u),Φ0,m(u),Φf∞(u),ΦMi(u)的特征及水平(山路)cλ,m,c0,m,cf∞,cMi, 容易得到下列結(jié)論:

引理3.6(1)對(duì)任意i,j ∈ {1,2,···,K},i/=j,如果Mi/=Mj,那么cMi/=cMj;(2)對(duì)極小水平數(shù)cMi和cf∞有cMi＜ cf∞成立.

證明省略之.

由假設(shè)(F4),那么存在ρ0＞0,r0＞0且滿足下列條件:

引理3.7若(F1-F2)滿足,則在NMi中存在{un},使得∞).

證利用證明引理2.4的方法可得ΦMi(u)在NMi上有下界.

下面證明ΦMi(u)在NMi上是弱下半連續(xù)的.

設(shè)在NMi上un? u,則{un}有界,于是存在子列(仍記為{un}),在Lh(x)(RN)(h(x)＜p?(x))上un→u和un→u,a.e.x∈RN,所以(u)u=0.由Fatou引理可得

故ΦMi(un)在NMi上是弱下半連續(xù)的.因此,由Ekeland變分原理可得在NMi上存在{wn},使得ΦMi(wn)→cMi,

引理3.8對(duì)f(x)的極大值Mi,那么存在充分小的ε0＞0和充分大的m0＞0,當(dāng)m≥m0,對(duì)任意的u∈N0,m且滿足cMi?ε0≤Φ0,m(u)≤cMi+ε0,有

證由引理3.7可知在NMi上存在{wn},使得ΦMi(wn)→cMi,→0,n→ ∞.對(duì)于wn∈NMi有令φ(t)=當(dāng)0＜t?1時(shí),φ(t)＞0,當(dāng)t→+∞時(shí),φ(t)＜0,所以必存在tn＞0,使得Φ即tnwn∈N0,m.

用反證法.假設(shè)此引理結(jié)論不成立,則存在εn→0,mn→+∞(n→∞),un=tnwn∈N0,mn,使cMi? εn ≤ Φ0,mn(un)≤ cMi+εn,但

根據(jù)引理2.7,有以下兩種情況之一:

(1)在W1,p(x)(RN)中有nun→u0,且u0∈NMi(n→∞).

(2)存在{yn}?ΠN,|yn|→+∞(n→∞),使得在W1,p(x)(RN)中,vn=nun(x+yn)→v0(n→∞)和ΦMi(v0)=cMi,v0∈ NMi.

對(duì)于情況(1):由Lebesgue控制收斂定理得

因?yàn)閍i∈Er0,所以當(dāng)n充分大時(shí),這與(3.5)矛盾.

對(duì)于情況(2):由N0,mn定義以及Ekeland變分原理可得可知對(duì)G∈W1,p(x)(RN)有那么

因?yàn)樵赪1,p(x)(RN)中vn→ v0(n→ ∞),所以{vn}有界,則在W1,p(x)(RN)中vn? v0和vn→v0,a.e.x∈RN,從引理2.6知?vn→?v0,a.e.x∈RN.

即v0是(2.0)的一個(gè)非平凡弱解.由Fatou引理得

這與引理3.6(2)的結(jié)論cMi＜cf∞矛盾.

如同(3.7)式,可得cf(y0)≤ cMi,其中cf(y0)是Φf(y0)(u)的山路水平.由cMi?εn≤ Φ0,mn(un)≤cMi+εn,可知0≤Mi?f(y0)＜ε,其中ε為充分小的正數(shù).如果f(y0)＜Mi,那么可得cf(y0)＞cMi,這與cf(y0)≤cMi矛盾.于是f(y0)=Mi,故y0=ai.由Lebesgue控制收斂定理

綜合(1)和(2)可知引理成立.

引理3.9設(shè)ε0和m0是引理3.8中給出的,令

那么當(dāng)m≥m0,λ∈[0,Λ)時(shí),存在R1,R2＞0,使得

不妨設(shè)||u||＞1,因?yàn)閝+＜p?,所以存在R1,R2＞0,使得R1≤||u||≤R2,?u∈Yλ,m,Mi.

引理3.10設(shè)u∈Yλ,m,Mi,tu≥0滿足tuu∈N0,m,Λ＞0由引理3.9中給出,那么存在m′＞0和R＞0,當(dāng)λ∈[0,Λ],m≥m′時(shí),對(duì)任意u∈Yλ,m,Mi成立0≤tu≤R.

證用反證法.假設(shè)結(jié)論不成立,則存在un∈Yλn,mn,Mi,λn→0,mn→+∞(n→∞),使得tunun∈N0,mn且tu∫n→+∞.不妨設(shè)tun≥1,由tunun∈N0,m∫n和0＜f∞＜f(x)可得

下面證明存在η1＞0,使得 ∫

假設(shè)(3.10)不成立,即存在{un}的一個(gè)子列(仍記為{un}),使|un|r(x)=on(1)(n→∞).

因?yàn)閡n∈Yλn,mn,Mi,所以

結(jié)合(3.8)知,存在C1,C2＞0,使得C1＜ρ1(un)＜C2,那么

這與p?＞ q+矛盾,故(3.10)成立. 從而由(3.9)得即{un}是無界序列.而由引理3.9知{un}是有界的,故反證法假設(shè)不成立,引理得證.

引理3.11令m?=max{m0,m′},則存在Λ?＞ 0,當(dāng)m ≥ m?,λ ∈ [0,Λ?]時(shí),對(duì)任意u ∈Yλ,m,Mi,成立Him(u)∈ Er0.

證設(shè)u∈Nλ,m,存在tu＞0滿足tuu∈N0,m,則

由(F3),引理3.10和H¨older不等式可得

因?yàn)閡 ∈ Yλ,m,Mi,故

對(duì)f(x)的極大值Mi,由引理2.7知(2.0)有一個(gè)基態(tài)解Vi∈W1,p(x)(RN),使得ΦMi(Vi)=cMi,對(duì)Vi,若定義函數(shù)則有下列引理:

引理3.12對(duì)f(x)的極大值Mi,那么有

證因?yàn)閜(x),q(x)和r(x)是ΠN周期函數(shù),并且ai∈ΠN,變量代換可得

從上式可知存在ti,m＞0,α＞0(見證引理2.8),使得

于是當(dāng)m → ∞時(shí),ti,m? 0且ti,m? ∞,從而{ti,m}是有界數(shù)列,則數(shù)列{ti,m}必存在收斂子列(仍記為{ti,m}),即ti,m→t0∫＞0(m→ ∞).因此,由Lebesgue控∫制 收斂定理得

引理3.13設(shè)Λ?,m?由引理3.11給出,D?(λ)是引理2.12給出,則存在Λ?∈ (0,Λ?),m?＞m?,當(dāng)λ ∈[0,Λ?),m≥m?,時(shí),成立

證由引理3.6(2)可知存在Λ?∈ (0,Λ?),使得對(duì)任意λ ∈ [0,Λ?)滿足cMi＜ cf∞?D?(λ).取εˉ ∈(0,ε0)(?0是由引理3.8給出),使cMi+εˉ＜cf∞?D?(λ).因?yàn)?/p>

另一方面,結(jié)合引理3.12知,當(dāng)m充分大,對(duì)λ∈[0,Λ?)成立于是當(dāng)m?＞m?時(shí),成立

引理3.14[12]對(duì)f(x)的極大值Mi,則泛函Φλ,m存在一個(gè)(PS)νλi,m序列

引理3.15假設(shè)(F1?F5)滿足,則存在Λ?＞ 0,m?＞ 0,對(duì)λ ∈ [0,Λ?),m ≥ m?,在

中(1.0)至少有K個(gè)弱解.

證依據(jù)引理3.14知在中,泛函Φλ,m存在一個(gè)(PS)νλi,m序列由引理3.13得再由引理3.4知在W1,p(x)(RN)中0,即ui是(1.0)的一個(gè)弱解.

定理1.1的證明結(jié)合引理3.5和引理3.15可得定理1.1.

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Multiplicity of solutions for a class of quasilinear elliptic equations with periodic variable exponents and concave-convex nonlinearities

QI Hong-hong,JIA Gao
(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The boundary value problems of a class of quasilinear elliptic equations are considered,which possess periodic variable exponents and concave-convex nonlinearities in RN.Under some weaker assumptions,the multiplicity of solutions for the equations is obtained by applying the Ekeland’s variational principle and the Nehari manifold theory.

periodic variable exponent;multiplicity;Nehari manifold

35J62;58E05;35J20

O175.25

A

:1000-4424(2016)03-0294-13

2016-01-19

2016-05-23

*通訊作者,Email:gaojia89@163.com

國(guó)家自然基金(11171220);上海市一流學(xué)科(系統(tǒng)科學(xué))項(xiàng)目(XTKX2012);滬江基金(B14005)