壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型時間依賴解的漸近性質(zhì)

阿力木·米吉提

(新疆廣播電視大學遠程教育學院,新疆烏魯木齊830049)

壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型時間依賴解的漸近性質(zhì)

阿力木·米吉提

(新疆廣播電視大學遠程教育學院,新疆烏魯木齊830049)

利用C0-半群理論研究壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊系統(tǒng).首先利用泛函分析中的Hille-Yosida定理,Phillips定理和Fattorini定理證明此排隊系統(tǒng)模型正時間依賴解的存在唯一性.然后通過研究該模型相應(yīng)主算子的譜的特征,分別得到虛軸上除了0外其他所有點都屬于該模型主算子的豫解集與0是其主算子及其共軛算子的幾何重數(shù)為1的特征值.最后將上述結(jié)果結(jié)合在一起推出該模型的時間依賴解強收斂于其穩(wěn)態(tài)解.

C0-半群;dispersive算子;特征值;豫解集;幾何重數(shù)

§1 引 言

可修系統(tǒng)模型是可靠性理論中的重要的研究對象之一,有著廣泛的應(yīng)用.正因為有強烈的應(yīng)用背景,許多學者不斷的研究它[1-3].1997年朱翼雋[4]在以前學者工作的基礎(chǔ)上,以實際應(yīng)用作為背景,將閉路可修排隊系統(tǒng)中服務(wù)設(shè)備的壽命從指數(shù)分布推廣到愛爾蘭分布,用補充變量法建立了壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型，并在

的情況下,進一步獲得了該模型穩(wěn)態(tài)下的循環(huán)時間,同時求得了此模型可修相位上的平均失效次數(shù)及穩(wěn)態(tài)故障頻度.實際上(1.1)中隱含了如下兩個假設(shè)：

1.該排隊模型有唯一的正時間依賴解p(t,y);

2.此時間依賴解p(t,y)在給定的初始條件下趨向于其穩(wěn)態(tài)解p(y),其中

本文運用強連續(xù)算子半群理論對壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型進行動態(tài)分析,即證明上述兩個假設(shè)的成立.為此,首先將通過引入狀態(tài)空間,主算子及其定義域,把壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型轉(zhuǎn)化為Banach空間中的抽象Cauchy問題.然后運用Hille-Yosida定理,Phillips定理和Fattorini定理證明該模型正時間依賴解的存在唯一性,即推出假設(shè)1的合理性.最后通過研究該模型相應(yīng)主算子的譜的特征得到此模型時間依賴解的漸近行為,即,首先證明0是此模型主算子的幾何重數(shù)為1的特征值,然后通過利用文獻[5]中的邊界擾動思想獲得該模型主算子的豫解集,并推出虛軸上除了0外其它所有點都屬于此模型主算子的豫解集,最后求出該模型主算子的共軛算子表達式并證明0是該共軛算子的幾何重數(shù)為1的特征值,由此推出壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型的時間依賴解強收斂于其穩(wěn)態(tài)解,即得到假設(shè)2的成立.

§2 模型的轉(zhuǎn)換

由文獻[4],壽命為愛爾蘭分布的可修閉路排隊模型用以下微積分方程組描述:

其中(t,y)∈[0,∞)×[0,∞);p0i(t)(1≤i≤k)表示在時刻t系統(tǒng)中孔加工中心未失效,并孔加工中心正啟用第i?1組備用刀具的概率；p1(t,y)表示在時刻t系統(tǒng)中孔加工中心故障失效且已消耗的刃磨修理時間為y的概率;μ表示孔加工中心每組刀具的平均壽命;k表示孔加工中心刀具的數(shù)量;υ(y)表示故障部件的刃磨修復率.

則方程(2.1)-(2.5)可以描述為Banach空間X上的一個抽象Cauchy問題:

§3 系統(tǒng)(2.6)的適定性

定理3.1則A+U+E生成一個正壓縮C0-半群T(t).

證分四步證明此定理.第一步估計A的豫解式.第二步驗證D(A)在X中的稠密性.第三步指出U和E為有界線性算子,并推出A+U+E生成一個C0-半群T(t).最后由算子的耗散性和Phillips定理得到T(t)是一個正壓縮C0-半群.

對給定的x=(x01,x02,···,x0k,x1(y))∈ X,考慮方程(γI ?A)p=x,即

解方程(3.1)-(3.3)算出

由(3.3)與(3.5)式得到

(3.7)說明當γ ＞ 0時,(γI ? A)?1存在且(γI ? A)?1:X → D(A)滿足第二步證明D(A)在X中稠密.若取使得?y∈[0,c]有p1(y)=0},

則由文獻[7]知L在X中稠定.于是只需驗證D(A)在L中稠定即可.

任取p=(p01,···,p0k,p1(y))∈ L,則存在常數(shù)c＞ 0,使得y∈ [0,c]有p1(y)=0.定義

這里

則易證fs∈D(A),還有

上式表明D(A)在L中稠定,即D(A)在X中稠定.從而由上面的兩步與Hille-Yosida定理[8]得到A生成一個C0-半群.

第三步指出U和E是有界線性算子.對任意給定的p(y)∈X,由U和E的定義容易推出

此外易見U和E是線性算子.因此結(jié)合C0-半群的擾動理論[8]得到A+U+E生成一個C0-半群T(t).

第四步證明A+U+E是dispersive算子.為此任取p(y)=(p01,···,p0k,p1(y))∈X并定義

如果定義V={y∈[0,∞)|p1(y)＞0}和W={y∈[0,∞)|p1(y)≤0},則由文獻[9]知道

對任意的p∈D(A)和上述的ψ(y),用(3.8)式,邊界條件與不等式2,···,k)得到

此式與dispersive算子的定義[10]知道A+U+E是dispersive算子.從而由第一步,第二步,第四步和Phillips定理得到A+U+E生成一個正壓縮C0-半群.再由半群的唯一性理論即知,這個正定壓縮C0-半群就是T(t).

類似于定理3.1的推導過程易得下面結(jié)果：

推論3.1A+U生成一個正壓縮C0-半群Q(t).

由文獻[11],不{難求出X 的共軛空間?X?為{}}

易證X?是一個Banach空間[6].在X中引進集合

則引進的集合Y是X中的錐.對任意的p∈ D(A)∩Y,取q?= ‖p‖(1,1,···,1),那么q?∈ X?,同時有

上式說明算子A+U+E對集合

是保守算子.由于p(0)∈D(A2)∩Y,因此運用Fattorini定理[12]得到如下結(jié)論：

定理3.2T(t)對于系統(tǒng)(2.6)的初值p(0)是等距算子,即

由本節(jié)的以上兩個定理得到本節(jié)的主要結(jié)果，即

定理3.3則系統(tǒng)(2.6)具有唯一的正時間依賴解p(t,y),滿足

證由定理3.1與文獻[13]中的定理11知道系統(tǒng)(2.6)存在唯一的,非負的時間依賴解

上式合并到定理3.2推出

上述定理恰好反映了假設(shè)1的合理性和p(t,y)的實際背景.

§4 系統(tǒng)(2.6)相應(yīng)算子的譜的特征

引理4.10是A+U+E的幾何重數(shù)為1的特征值.

證討論方程(A+U+E)p=0,即

解(4.2)與(4.3)并利用邊界條件(4.4)有

由(4.5)與(4.6)估計出

此式表明0是A+U+E的的特征值.同時由(4.5)與(4.6)知道對應(yīng)于0的特征向量空間是1維的線性空間.即0的幾何重數(shù)為1.

下面研究A+U+E的豫解集.首先定義極大算子(Am,D(Am))來定義算子(A0,D(A0))并研究它的豫解集.其次通過考慮(γI?Am)的核來定義Dirichlet算子Dγ并結(jié)合到邊界算子Φ的定義推出ΦDγ的表達式.接著用文獻[14]中的結(jié)果得到A+U+E的豫解集,并結(jié)合到得到的其它結(jié)論推出本文的主要結(jié)果.

首先定義極大算子Am和它的定義域D(Am)為[5]是絕對連續(xù)函數(shù)}.

選取X 的邊界空間?X:=C,并且定義邊界算子L:D(Am)→?X與Φ:D(Am)→?X如下：

如果定義算子((A+U+E),D(A+U+E))為

那么方程(2.1)-(2.5)可以描述為像(2.6)一樣的的抽象Cauchy問題.

由極大算子(Am,D(Am))來定義算子(A0,D(A0))為

由上述表達式和豫解式的定義可得以下結(jié)論：

引理4.2設(shè)υ(y):[0,∞)→[0,∞)是可測函數(shù),若

此式說明引理的結(jié)論成立.

引理4.3設(shè)υ(y)是可測函數(shù),且

反之,若式子(4.18)與(4.1∫9)成立,則有

(4.27)與(4.28)說明p ∈ ker(γI ? Am).

由于L是滿射,所以

可逆.如果γ∈ρ(A0),那么定義Dirichlet算子為

由引理4.3知道算子Dγ的具體表達式為

由Dγ的表達式和Φ的定義得到的具體表達式：

在文獻[14]中作者得到如下結(jié)論：

引理4.4設(shè)γ ∈ ρ(A0)且存在γ0∈ C使得1/∈ σ(ΦDγ0),則

結(jié)合引理4.4與文獻[10]得到如下結(jié)論：

引理4.5設(shè)υ(y)是可測函數(shù),若

那么在虛軸上除了0外其它所有點都屬于A+U+E的豫解集.

(4.31)說明當|b|＞ B時譜半徑r(ΦDγ)＜ ‖ΦDγ‖ ＜ 1,這表明1/∈ σ(ΦDγ).此結(jié)果結(jié)合引理4.4知道當|b|＞ B時有γ /∈ σ(A+U+E),即

另外由定理3.1與文獻[10]中的推論2.3知道σ(A+U+E)∩iR是虛加法循環(huán).即

從而由(4.32),(4.33)與引理4.1推出σ(A+U+E)∩iR={0}.

引理4.6A+U+E的共軛算子(A+U+E)?為

(4.34)及共軛算子的定義知道引理的結(jié)論成立.

引理4.70是(A+U+E)?的幾何重數(shù)為1的特征值.

證考慮方程(A+U+E)?q?=0,即

解(4.35)與(4.36)推出

§5 系統(tǒng)(2.6)時間依賴解的漸近行為

由于定理3.1,引理4.1,引理4.5,引理4.7恰好是文獻[13]中的定理14的條件,因此這些結(jié)論結(jié)合到文獻[13]中的定理14推出本文的主要結(jié)論：

定理5.1設(shè)υ(y)是可測函數(shù),且滿足

則系統(tǒng)(2.6)的時間依賴解強收斂于該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解,即

其中p(y)是引理4.1中的特征向量.

定理5.1說明假設(shè)2成立.

參考文獻:

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Asymptotic property of the time-dependent solution of the repairable closed queueing model with server of Erlangian distributed life time

Alim Mijit
(School of Distance Education,Xinjiang Radio&TV Univ.,Urumqi 830049,China)

By using the C0-semigroup theory,this paper studies the repairable closed queueing system with server of Erlangian distributed life time.First,by using the Hille-Yosida theorem,Phillips theorem and Fattorini theorem in functional analysis,the existence and uniqueness of nonnegative time dependent solution of system model has been proved.Next,the spectral properties of the operator corresponding to system model are investigated,which show that all points on the imaginary axis except zero belong to the resolvent set of the operator and zero is an eigenvalue of the operator and its adjoint operator with geometric multiplicity one.Thus,the above results give that the time-dependent solution of the system model converges strongly to its steady state solution.

C0-semigroup;dispersive operator;eigenvalue;resolvent set;geometric multiplicity

47D03;47A10

O177.92;O177.7

A

:1000-4424(2016)03-0281-13

2016-03-17

2016-04-16

新疆少數(shù)民族科技人才特殊培養(yǎng)計劃科研項目(2016D0211)