Besov空間到Bloch型空間上的復(fù)合積分算子

陳鵬勇，呂小芬

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

Besov空間到Bloch型空間上的復(fù)合積分算子

陳鵬勇，呂小芬

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

討論了Bloch型空間以及Besov空間到小Bloch型空間上復(fù)合積分算子的有界性和緊性特征，得到了該算子為有界算子和緊算子的充要條件.

Besov空間；Bloch型空間；復(fù)合積分算子

MSC 2010：47B38

0 引言

設(shè)H D（）表示單位圓盤(pán)D上全純函數(shù)的全體，H D，D（）表示D上全純自映射的全體.給定0＜p＜∞，D上的Besov空間Bp定義為：

給定［0，1）上的連續(xù)正值函數(shù)μ，若存在常數(shù)0≤δ＜1，0＜a＜b，使得

則稱μ為正規(guī)權(quán)函數(shù).進(jìn)一步，令μ（z）=μ（z ），?z∈D.定義D上的μBloch型空間

定義小μBloch型空間βμ，0為：

μBloch型空間最早是由胡教授和王教授引入的［1］.易知，在范數(shù)‖.‖βμ下βμ是Banach空間，且βμ，0為βμ的閉子空間.事實(shí)上，當(dāng)μ（z）=（1-z2）α?xí)r為α-Bloch空間［2-3］.進(jìn)一步地，若α=1，即為經(jīng)典Bloch空間［4-5］.

給定g∈H（D）和φ∈H（ D，D），定義H（D）上的復(fù)合積分算子Tg，φ為：

注意到，取φ（t）=t，Tg，φ就是已被大家廣泛研究的廣義Cesaro算子［58］等.在文獻(xiàn)［9］中，劉永民等研究了F（p，q，s）空間到對(duì)數(shù)Bloch空間上復(fù)合積分算子Tg，φ的有界性和緊性.于燕燕在文獻(xiàn)［10］中討論了對(duì)數(shù)Bloch空間到Bloch空間上算子Tg，φ的特性.本文主要研究討論Besov空間到Bloch型（以及小Bloch型）空間上算子Tg，φ的有界性和緊性.

在本文中，C表示與所研究的函數(shù)無(wú)關(guān)的正常數(shù)，且每處出現(xiàn)未必同一，符號(hào)A≈B表示存在C使得

1 主要結(jié)論

下面研究Besov空間到Bloch型（以及小Bloch型）空間上復(fù)合積分算子Tg，φ的有界性和緊性.首先給出緊算子的判別方法.

引理1［11］設(shè)T：X→Y是有界線性算子，若｛fj｝?X滿足：①‖fj‖X≤C；②當(dāng)j→∞時(shí)，fj在D上內(nèi)閉一致收斂于0，總有‖Tfj‖Y=0.則T：X→Y為緊算子.

定理1 設(shè)g∈H（D），φ∈H（ D，D），0＜p＜∞，則

（1）Tg，φ：Bp→βμ為有界算子當(dāng)且僅當(dāng)

進(jìn)一步地，

（2）Tg，φ：Bp→βμ，0為有界算子當(dāng)且僅當(dāng)→βμ有界且

（3）Tg，φ：Bp→βμ（或βμ，0）為緊算子當(dāng)且僅

證明 （1）對(duì)于任一f∈Bp，由文獻(xiàn)［12］可知：

所以

反之，若Tg，φ：Bp→βμ為有界算子.對(duì)于任意w∈D，令

則

由文獻(xiàn)［12］可得fw∈Bp，且‖fw‖p＜∞.因此，由Tg，φ的有界性得：

而

因此

由上述證明可得：

成立.

（2）設(shè)Tg，φ：Bp→βμ，0為有界算子.由（1）可知，Tg，φ：Bp→βμ是有界算子.取f≡1，則f∈Bp，Tg，φ1

反之，若Tg，φ：Bp→βμ為有界算子，且limμ（z）g（φ（z））=0.故對(duì)任意的多項(xiàng)式p，有：

z→1

由于βμ，0是βμ中的一個(gè)閉子集，可知Tg，φBp?βμ，0.所以Tg，φ：Bp→βμ，0為有界算子.

（3）首先證明Tg，φ：Bp→βμ為緊算子.由于，則?ε＞0，?δ∈（0，1），使得當(dāng)z＞δ時(shí)，總有：

設(shè)｛fk｝k∈?是Bp中的范數(shù)有界序列，且當(dāng)k→∞時(shí)，fk在D上內(nèi)閉一致收斂于0.由于fk是全純函數(shù)，且｛fk｝在D上內(nèi)閉一致收斂于0，當(dāng)k→∞時(shí)，有內(nèi)閉一致收斂于0.所以存在自然數(shù)K，對(duì)所有的k＞K都有：

其中C與ε無(wú)關(guān).因此

下面證明Tg，φ（Bp）?βμ，0.事實(shí)上，?f∈Bp，有：

所以Tg，φf(shuō)∈

反之，任?。鹺k｝k?D滿足|zk|=1.令

則｛fk｝?Bp且‖fk‖p≤C.而當(dāng)z ≤δ，δ∈（0，1）時(shí)，

所以當(dāng)k→∞時(shí)，f'k在D上內(nèi)閉一致收斂于0，從而可知fk在D上也內(nèi)閉一致收斂于0.又因?yàn)門(mén)g，φ是緊算子，所以‖Tg，φf(shuō)k‖βμ→0（ k→∞）.因此當(dāng)k→∞時(shí)，

由于zk｛｝是任取且.定理得證.

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Composition Integral Operators from Weighted Besov Space to Bloch Space

CHEN Pengyong，LYU Xiaofen
（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

In this paper，we discuss the boundedness and compactness of the composition integral operators from Besov spaces to Bloch spaces or from Besov spaces to little Bloch spaces，and the conclusion is the composition integral operators become the necessary and sufficient conditions for these operators to be bounded or compact.

Besov spaces；Bloch spaces；composition integral operators

O174.56

A

1009-1734（2016）04-0014-04

［責(zé)任編輯 高俊娥］

2016-03-10

國(guó)家數(shù)學(xué)天元基金（11526089）；浙江省自然科學(xué)基金（LY15A010014）.

呂小芬，副教授，研究方向：函數(shù)空間與算子理論.Email：lvxf@zjhu.edu.cn

MSC 2010：47B38