輪胎轉(zhuǎn)動慣量的有限元計算方法

陳振藝

（雙錢集團(tuán)上海輪胎研究所有限公司，上海 200245）

輪胎是汽車的重要組成部分，輪胎性能與汽車整體性能密切相關(guān)，因此越來越多的汽車企業(yè)要求輪胎企業(yè)盡可能多地提供輪胎性能指標(biāo)，其中包括與汽車啟動、加速和制動性能密切相關(guān)的輪胎轉(zhuǎn)動慣量。

目前我國還沒有方便、有效測試輪胎轉(zhuǎn)動慣量的設(shè)備和方法，需要通過計算獲得輪胎的轉(zhuǎn)動慣量。由于輪胎各個部件形狀不規(guī)則，估算精度不高，而目前廣泛使用的有限元分析軟件（如Abaqus等）也沒有便于計算輪胎轉(zhuǎn)動慣量的功能，所以需要開發(fā)專用軟件計算輪胎轉(zhuǎn)動慣量。

1 現(xiàn)有計算方法

目前可以檢索到的輪胎轉(zhuǎn)動慣量計算方法有如下3種[1-3]。

采用有限元方法，也就是利用輪胎性能有限元分析得到的單元信息，通過編程計算各個單元的轉(zhuǎn)動慣量來計算整個輪胎的轉(zhuǎn)動慣量[1]。但該方法只涉及到了單元體積的計算方法，對如何計算單元質(zhì)心以及如何處理可變簾線單元密度問題并未提及。

利用UG三維軟件強大的實體分析功能來獲取輪胎各個部件的體積和轉(zhuǎn)動慣量數(shù)據(jù)，并利用對UG三維軟件的二次開發(fā)來自動獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，得到整個輪胎的轉(zhuǎn)動慣量[2]。該方法只需輸入各個部件的質(zhì)量，不用計算體積、質(zhì)心和密度等。該方法簡單，編程工作量小，缺點是需要對整個輪胎進(jìn)行三維建模，而不只是對花紋三維建模，這增加了很多工作量，并無法處理可變簾線單元密度 問題。

采用將一個不規(guī)則形狀物體積分解成多個規(guī)則形狀物體積之和的方法來計算各個部件的轉(zhuǎn)動慣量[3]。該方法的優(yōu)點是避免了不規(guī)則形狀部件質(zhì)心的計算，計算精度高；缺點是計算方法復(fù)雜，編程復(fù)雜，也無法處理可變簾線單元密度問題，而且只適用于無花紋的光面輪胎。

2 計算方法確定

對比以上3種輪胎轉(zhuǎn)動慣量的計算方法，有限元方法最方便，且編程難度適中，但主要需要解決3個問題：單元轉(zhuǎn)動慣量的計算、簾線單元密度的處理和花紋溝部分的處理。本研究確定采用有限元方法計算輪胎轉(zhuǎn)動慣量。

2.1 單元轉(zhuǎn)動慣量的計算

轉(zhuǎn)動慣量的計算公式很簡單，一個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量（J0）計算公式見式（1）。

式中，m0為質(zhì)點質(zhì)量，r0為質(zhì)點到轉(zhuǎn)動軸的距離。如果一個物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則這個物體的轉(zhuǎn)動慣量（J）計算公式見式（2）。

式中，ρ為物體密度，r為物體到轉(zhuǎn)動軸的距離，V為物體體積。如果一個單元內(nèi)的材料密度是均勻的，且單元的形狀基本上是規(guī)則的，那么對一個單元來說，式（2）計算并不復(fù)雜。整個輪胎的轉(zhuǎn)動慣量則等于各個單元轉(zhuǎn)動慣量的總和。

對輪胎而言，單元可以分為3種類型，胎面單元、除胎面以外的其他純橡膠單元和含簾線單元。胎面單元涉及花紋溝，因此無法在空間上形成連續(xù)圓環(huán)，需要單個計算，計算量較大；而其他純橡膠單元和含簾線單元可以形成圓環(huán)，計算量較小。含簾線單元涉及到密度處理問題，計算步驟比純橡膠單元多。

對一個矩形的平面單元來說，如果可以形成一個圓環(huán)，那么這個圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量（Jc）計算非常簡單，根據(jù)式（2）可以得到式（3）。

式中，mc為整個圓環(huán)的質(zhì)量，r1和r2分別為圓環(huán)的內(nèi)、外半徑，各參數(shù)如圖1所示。

圖1 圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量計算參數(shù)示意

Jc的近似計算公式如下：

式中，rc為平面單元質(zhì)心到輪胎旋轉(zhuǎn)軸的距離，即r1和r2的平均值，Vc為圓環(huán)體積，ρc為平面單元密度，Sc為平面單元面積。

式（3）和（4）的計算結(jié)果差異取決于平面單元高度（h）與rc的比值，比值越大，差異也越大。當(dāng)rc為200時，如果h為4，則差異為0.01%；如果h為6，差異為0.1%；如果h為10，差異為0.25%。因此當(dāng)h不太大時，式（4）的計算精度是令人滿意的。

對于矩形單元式（4）的優(yōu)勢并不明顯，但對于任意四邊形或者三角形的平面單元，式（4）就顯示出明顯的優(yōu)勢。只要求出平面單元的面積和質(zhì)心位置，就能求出圓環(huán)的體積，再根據(jù)密度就能計算出轉(zhuǎn)動慣量。如果要獲得更高的計算精度，可以把一個單元劃分成若干個三角形或者四邊形，再分別計算后求和即可。

假定三角形的3個頂點坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），那么三角形面積（SA）計算公式見式（5）。

對密度均勻的三角形來說，質(zhì)心位置（x0，y0）也就是重心位置，計算公式見式（6）和（7）。

假定四邊形的4個頂點坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）和（x4，y4），用兩條對角線將四邊形劃分為4個三角形，分別求出4個三角形的面積S1，S2，S3和S4，以及4個三角形的質(zhì)心位置（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3）和（u4，v4），那么四邊形的面積（SB）和質(zhì)心位置（x00，y00）計算公式見式（8）—（10）。

因此，對于除胎面以外的其他純橡膠輪胎部件來說，只要處理一個輪胎斷面上的平面單元數(shù)據(jù)，就能計算出該部件的轉(zhuǎn)動慣量，可以不涉及該部件沿輪胎圓周方向的單元劃分信息。

2.2 簾線單元密度的處理

純橡膠單元的密度是固定的，通常從數(shù)據(jù)文件中讀取即可，而簾線單元的密度則要另行處理。除鋼絲圈單元外，其他簾線單元有兩種處理方法。第1種方法是將簾線單元看作密度均勻的單元，根據(jù)簾線的直徑、排列密度和密度，以及簾線夾膠的密度計算出平均密度，再計算轉(zhuǎn)動慣量。第2種方法是沿著簾線的排列方向?qū)⒑熅€單元劃分成3層，上下兩層為純橡膠，中間層為簾線和橡膠，厚度與簾線直徑相同，然后分別計算轉(zhuǎn)動慣量。無論是哪種處理方法，都需要計算密度。

第1種方法中簾線單元的平均密度是動態(tài)的，即使簾線規(guī)格和排列密度保持不變，輪胎規(guī)格不同，因簾布厚度不同其平均密度也會變化。因此在計算時要額外計算單元厚度，即使同一個輪胎部件的單元厚度也會有所不同，其平均密度也不同。第2種方法中間層的密度是固定的，只要根據(jù)簾線的直徑、排列密度和密度，以及簾線夾膠的密度計算1次就可以了，但是將1個單元劃分成3層，前處理工作量會增加，只是計算精度從理論上說比第1種方法要高。

鋼絲圈單元的處理與第1種方法類似，需要根據(jù)鋼絲直徑、鋼絲排列方式和夾膠厚度計算出平均密度。

同樣，對于含簾線部件來說，只要處理一個輪胎斷面上的平面單元數(shù)據(jù)，就能計算出該部件的轉(zhuǎn)動慣量，可以不涉及該部件沿輪胎圓周方向的單元劃分信息。

2.3 花紋溝部分的處理

胎面單元的處理也分為兩種情況：一是單元劃分時已經(jīng)包含花紋溝信息，二是不包含花紋溝信息。如果單元劃分時已經(jīng)包含了花紋溝信息，那就涉及到沿輪胎圓周方向的胎面單元劃分信息，也就是必須逐個計算胎面單元的轉(zhuǎn)動慣 量（Jt），近似計算公式見式（11）。

式中，mt為胎面單元質(zhì)量，rt為胎面單元到輪胎旋轉(zhuǎn)軸的距離，ρt為胎面單元密度，Vt為胎面單元體積。胎面單元大部分為六面體，還有少量五面體，按輪胎各個單元的通用劃分方法，這些六面體和五面體基本上都是規(guī)則的。也就是說總是存在兩個面，這兩個面延長的相交線就是輪胎的旋轉(zhuǎn)軸，并且絕大部分情況下這兩個面的形狀和尺寸基本相同，接近平行，如圖2所示的面1和2。

圖2 胎面六面體單元體積計算參數(shù)示意

六面體單元的Vt近似計算公式見式（12）。

式中，St1和St2分別為面1和2的面積，H是面1質(zhì)心（x01，y01）到面2質(zhì)心（x02，y02）的距離，而六面體單元的rt就等于面1和2的質(zhì)心到輪胎旋轉(zhuǎn)軸距離的平均值。

五面體單元的體積計算方法與六面體類似。如果面1和2的形狀或者尺寸相差較大，可以將單元沿輪胎圓周方向劃分成若干個小單元分別計算，以提高Vt和rt的計算精度。

如果單元劃分時不包含花紋溝信息，也就是當(dāng)作光面輪胎來劃分單元網(wǎng)格，那么胎面單元的轉(zhuǎn)動慣量計算方法與其他純橡膠單元的計算方法一樣，只需要最后減掉花紋溝部分的轉(zhuǎn)動慣量。由于單元劃分時不包含花紋溝信息，因此花紋溝的轉(zhuǎn)動慣量計算是很困難的，通常需要用戶自行計算，或者由計算軟件根據(jù)用戶輸入的數(shù)據(jù)進(jìn)行估算。計算花紋溝轉(zhuǎn)動慣量的方法有多種，計算精度各不相同。例如可以只輸入花紋的飽和度、花紋溝的平均寬度和平均深度，就能計算出花紋溝的轉(zhuǎn)動慣量。但由于橫向花紋溝和縱向花紋溝的形狀、寬度、深度、傾角、長度和數(shù)量等有差異，因此這種方法很難精確得到花紋溝平均寬度和平均深度數(shù)值，由此得到的花紋溝轉(zhuǎn)動慣量的計算值精度不高。也可以根據(jù)花紋溝形狀和尺寸不同將花紋溝分為若干類，由用戶分別計算這些花紋溝的等效長度，然后將各個類型花紋溝的寬度、深度、等效長度和數(shù)量等輸入計算軟件中，即可得到所有花紋溝的轉(zhuǎn)動慣量，且計算值精度有所提高。

3 計算軟件的開發(fā)

轉(zhuǎn)動慣量的計算過程并不復(fù)雜，編程工作量也不大。開發(fā)的有限元方法計算輪胎轉(zhuǎn)動慣量軟件應(yīng)包括界面顯示、用戶數(shù)據(jù)輸入、數(shù)據(jù)文件處理、轉(zhuǎn)動慣量計算和計算結(jié)果輸出等功能，軟件的調(diào)試和修改為開發(fā)的主要內(nèi)容。

界面設(shè)計主要考慮便于參數(shù)的輸入和輸出，以及方便軟件各種功能的使用。對于參數(shù)輸入，應(yīng)盡量減少輸入?yún)?shù)的數(shù)量，用數(shù)據(jù)文件替代參數(shù)輸入。輪胎有限元分析前后處理會產(chǎn)生許多數(shù)據(jù)文件，包含大量計算轉(zhuǎn)動慣量所需的數(shù)據(jù)和信息，充分利用這些數(shù)據(jù)文件可以減少用戶輸入?yún)?shù)量。確實需要輸入?yún)?shù)時，也應(yīng)盡量提供參數(shù)默認(rèn)值和選項，也就是說，盡量用鼠標(biāo)點擊替代鍵盤輸入。

在數(shù)據(jù)文件處理設(shè)計時，要注意對數(shù)據(jù)格式的檢查，以及對讀取到的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查，判斷其數(shù)值是否處在合理范圍內(nèi)，這樣有助于判斷數(shù)據(jù)文件是否有誤。如果要處理多個數(shù)據(jù)文件，要注意檢查這些文件的匹配性，例如有些參數(shù)可能在不同的數(shù)據(jù)文件中都出現(xiàn)，通過對比這些參數(shù)，就可以判斷這些數(shù)據(jù)文件是否匹配，防止使用錯誤的數(shù)據(jù)文件。同時在處理數(shù)據(jù)文件時要考慮效率和技巧，盡量讀取一遍就能分離出所有需要的數(shù)據(jù)，避免反復(fù)讀取數(shù)據(jù)文件，節(jié)省讀取數(shù)據(jù)的時間。

總的來看，轉(zhuǎn)動慣量的計算方法比較明確。相對而言，將一個立體單元劃分成幾個小立體單元，并計算出這些小立體單元的頂點坐標(biāo)的方法比較繁瑣；同樣當(dāng)簾線單元的厚度不一致時，計算簾線單元的厚度以及密度的方法也比較繁瑣。在計算轉(zhuǎn)動慣量時，還可以順便計算一些其他參數(shù)，例如輪胎的外直徑、斷面寬、體積和質(zhì)量等，當(dāng)單元劃分包含花紋溝信息時，可以順便計算出所有花紋溝的體積，這可能對用戶有參考價值。

除了輸出整個輪胎的轉(zhuǎn)動慣量外，還可以輸出一些輔助信息，例如整個輪胎的體積和質(zhì)量，各部件的轉(zhuǎn)動慣量、體積和質(zhì)量等，供用戶參考。另外還可以列出從數(shù)據(jù)文件中獲得、或者用戶自行輸入的一些主要數(shù)據(jù)，例如一個斷面的單元和節(jié)點數(shù)量、整個輪胎的單元數(shù)量、各個部件的密度（特別是通過計算得到的簾線單元平均密度）等，這些參數(shù)除了可以提供給用戶參考以外，還可以幫助用戶判斷計算結(jié)果是否合理、數(shù)據(jù)文件或者用戶輸入的參數(shù)值是否正確等。

4 結(jié)語

由于輪胎各個部件形狀的不規(guī)則性，用有限元方法計算輪胎轉(zhuǎn)動慣量，既可以明顯降低計算的復(fù)雜性，也有效保證了計算的準(zhǔn)確性，同時還可以充分利用輪胎性能有限元分析前后處理產(chǎn)生的數(shù)據(jù)文件，大幅降低計算轉(zhuǎn)動慣量所需的數(shù)據(jù)輸入量。