組合透鏡系統(tǒng)成像虛實(shí)的判斷

韋中超+柳月波+易亞軍+黃早珊+梁瑞生

摘 要 本文以兩薄透鏡系統(tǒng)為例，對(duì)組合透鏡系統(tǒng)的成像虛實(shí)情況進(jìn)行了分析，得出了總的垂軸放大率β總的正負(fù)不能作為成像虛實(shí)的判斷依據(jù)。并對(duì)其原因進(jìn)行了分析：像的虛實(shí)與系統(tǒng)內(nèi)部“像物相同”的數(shù)目有關(guān)，“像物相同”的數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，用β總來(lái)判斷成像的虛實(shí)性與實(shí)際成像的虛實(shí)性相同；“像物相同”的數(shù)目為奇數(shù)時(shí)，用β總判斷的結(jié)果與實(shí)際成像的虛實(shí)性相反。對(duì)于組合系統(tǒng)成像虛實(shí)性，本文提出了一個(gè)新的判斷依據(jù)，即用最后一個(gè)透鏡的頂點(diǎn)到像的距離X的正負(fù)作為判斷依據(jù)：X>0成實(shí)像，X<0成虛像。

關(guān)鍵詞 組合透鏡系統(tǒng)；垂軸放大率；實(shí)像；虛像；判斷

中圖分類(lèi)號(hào) O435.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1674-6708（2016）164-0120-03

從相關(guān)的教材[1-3]可知，對(duì)于單個(gè)透鏡成像，我們可以直接利用垂軸放大率β的正負(fù)來(lái)判斷所成像的虛實(shí)：當(dāng)透鏡的物空間與像空間的介質(zhì)相同時(shí)，β>0，物像虛實(shí)相反；β<0，物像虛實(shí)相同。

β1、β2…βk分別為組合系統(tǒng)中各個(gè)透鏡的垂軸放大率。

為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，先給出符號(hào)約定，如圖1所示。

沿軸線段：以透鏡頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，右方為正，左方為負(fù)。

垂軸線段：以主光軸為界，上方為正，下方為負(fù)。

相鄰兩光具間隔d：前一透鏡頂點(diǎn)到后一透鏡頂點(diǎn)，順光線方向?yàn)檎?，逆光線方向?yàn)樨?fù)。

光學(xué)間隔△：前一光組像方焦點(diǎn)到下一光組物方焦點(diǎn)的方向與光線一致為正，反之為負(fù)。

我們以2兩個(gè)薄透鏡的組合為例探討一下β總為正和為負(fù)兩種情況下物像的虛實(shí)關(guān)系。

1）β總>0

例1：如圖2，設(shè)有兩個(gè)薄凸透鏡O1和O2，其焦距分別為f1=10cm，f2=10cm，兩者共軸，相距d=50cm，在主光軸上距透鏡O1左方20cm處垂直于主軸放一物體，求最終成像的位置和虛實(shí)情況。

解析：為了直觀、簡(jiǎn)便，我們采用逐次成像的方法來(lái)求像的位置及虛實(shí)。

假如由組合垂軸放大率β總來(lái)判斷虛實(shí)，由于β總>0，且原物為實(shí)物，所以最后成像應(yīng)與原物虛實(shí)相反，成虛像。但是由分析可得最后成像應(yīng)為實(shí)像，所以，在此用組合垂軸放大率β總來(lái)判斷最后成像虛實(shí)產(chǎn)生了誤判。

2）β總<0

例2：如圖3，設(shè)有兩個(gè)薄透鏡O1和O2，左邊的O1是凸透鏡，焦距為f1=10cm，而右邊的O2是凹透鏡，焦距f2=-10cm，兩者共軸，相距d=30cm，在主光軸上透鏡O1左方20cm處垂直于主軸放一物體，求最終成像的位置和虛實(shí)情況。

假如由組合垂軸放大率β總來(lái)判斷虛實(shí)，由于β總<0，且原物為實(shí)物，所以最后成像應(yīng)與原物虛實(shí)相同，成實(shí)像，但是由分析可得最后成像應(yīng)為虛像，所以在此也不能用組合垂軸放大率β總來(lái)判斷最后成像虛實(shí)。

從以上2類(lèi)分析可知：對(duì)于組合透鏡系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，不管是β總>0或β總<0，判斷結(jié)果均有與實(shí)際成像虛實(shí)不符的情況。因此組合垂軸放大率β總的正負(fù)不能用來(lái)判斷系統(tǒng)的成像虛實(shí)。

由上面的實(shí)例分析可知在組合透鏡系統(tǒng)中，最終成像的虛實(shí)與β總的關(guān)系和單個(gè)透鏡組成像虛實(shí)與β的關(guān)系不一樣。通常，我們判斷物（像）是實(shí)物（實(shí)像）還是虛物（虛像），都是以某一透鏡系統(tǒng)為基準(zhǔn)的，當(dāng)前一透鏡所成的實(shí)像作為后一系統(tǒng)的物的時(shí)候，這時(shí)物的虛實(shí)性是不能由其作為前一系統(tǒng)的像的虛實(shí)來(lái)直接認(rèn)定，它既其可作后一系統(tǒng)實(shí)物又可以作為后一系統(tǒng)的虛物。下面是以兩子系統(tǒng)進(jìn)行分析，物經(jīng)過(guò)系統(tǒng)兩透鏡后成像過(guò)程有以下12種情況：

1）物像相同：

由分析可知，組合垂軸放大率β總與最終成像的虛實(shí)性具有一定的規(guī)律：在組合透鏡系統(tǒng)中，系統(tǒng)內(nèi)部“像物相同”（即前一透鏡所成的像作為后一透鏡的物時(shí)的虛實(shí)性一致）的數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，用組合垂軸放大率β總來(lái)判斷成像的虛實(shí)性與實(shí)際成像的虛實(shí)性相同。所示系統(tǒng)內(nèi)部“像物相同”的數(shù)目為奇數(shù)時(shí)，用組合垂軸放大率β總來(lái)判斷組合透鏡系統(tǒng)成像的虛實(shí)性與實(shí)際成像的虛實(shí)性相反。知道這個(gè)原則就可以根據(jù)垂軸放大率的符號(hào)及物的虛實(shí)直接判斷最終像的虛實(shí)。

雖然根據(jù)上面的原則是可以判斷最終成像虛實(shí)，但是由于判據(jù)中的“像物相同”的數(shù)目計(jì)算較為繁瑣，所以這一方法并非是解決問(wèn)題的捷徑。我們知道對(duì)于單個(gè)透鏡系統(tǒng)，可以利用像距l(xiāng)的正負(fù)來(lái)判斷所成的像虛實(shí)。當(dāng)一實(shí)物放在透鏡的左側(cè)對(duì)透鏡進(jìn)行成像時(shí)，如果l>0時(shí)，成實(shí)像，這是因?yàn)閷?shí)像是由實(shí)際光線相交所形成的，出射光是會(huì)聚光，實(shí)像應(yīng)在透鏡右側(cè)。當(dāng)l<0時(shí)，成虛像，這是因?yàn)樘撓袷怯晒饩€的延長(zhǎng)線相交所形成的，出射光是發(fā)散光，虛像應(yīng)在透鏡左側(cè)。

對(duì)于組合透鏡系統(tǒng)，我們一樣可以通過(guò)求解最后一個(gè)透鏡的像方主面到像的距離X的正負(fù)來(lái)判斷成像虛實(shí)，可以將問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。下面以兩個(gè)透鏡組為例，成像虛實(shí)的判斷可按以下步驟進(jìn)行，位置關(guān)系見(jiàn)圖4。

其中，lH為最后一個(gè)透鏡到組合系統(tǒng)的像方主面的距離。

如果X>0，成實(shí)像，如果X<0，成虛像。

對(duì)于多個(gè)（>2）透鏡組合系統(tǒng)的成像虛實(shí)判斷也可以按照上面的步驟進(jìn)行。

用以上方法重新對(duì)本文中的例1、例2及其他情況進(jìn)行了判斷，其結(jié)果與逐次分析判斷后得到的結(jié)果一致。

綜上所述：與單透鏡不同，組合透鏡系統(tǒng)的垂軸放大率β總不能作為系統(tǒng)成像虛實(shí)的判斷依據(jù)。在分析原因的基礎(chǔ)上，我們提出了一個(gè)新的判斷方法：即利用最后一個(gè)透鏡的像方主面到像的距離X的正負(fù)來(lái)作出判斷，如果X>0，成實(shí)像，如果X<0，成虛像。

參考文獻(xiàn)

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