隨機(jī)代數(shù)Riccati方程的向后誤差分析

肖玲莉, 邱本花,趙　冰

(1.鄭州科技學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 450064; 2.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 45000)

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隨機(jī)代數(shù)Riccati方程的向后誤差分析

肖玲莉1, 邱本花1,趙冰2

(1.鄭州科技學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 450064; 2.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 45000)

摘要：利用矩陣Kronecker 積的性質(zhì)和不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了隨機(jī)代數(shù)Riccati方程的向后誤差問題，給出了矩陣方程向后誤差的上界和下界，并利用隱函數(shù)定理，得出了向后誤差的一階近似估計(jì)，最后用數(shù)值算例驗(yàn)證了結(jié)果的精確性.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)代數(shù)Riccati方程；向后誤差；Kronecker 積；不動(dòng)點(diǎn)定理

0引言

在現(xiàn)代控制理論和其他工程領(lǐng)域，特別是在線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)、線性最優(yōu)濾波系統(tǒng)的分析、綜合和設(shè)計(jì)中,Riccati方程都起著非常關(guān)鍵的作用[1-5].對(duì)一般代數(shù)Riccati方程向后誤差的研究已有大量文獻(xiàn)[6-8]，但對(duì)隨機(jī)代數(shù)Riccati方程向后誤差的研究極少.本文主要對(duì)隨機(jī)代數(shù)Riccati方程進(jìn)行分析，估算出了該方程極大解的向后誤差的上下界.

考慮隨機(jī)代數(shù)Riccati方程(SARE):

ATX+XA+CTXC-(XB+CTXD)(R+DTXD)-1(BTX+DTXC)+Q=0，

(1)

其中R+DTXD>0，A,B,C,D,R,Q是常數(shù)矩陣，A,C∈Rn×n,B,D∈Rn×m，R∈Sm，Q∈Sn.

(2)

其中

定義方程的向后誤差為

(3)

其中Ax，Bx，Cx，Dx，Qx，Rx是大于0的參數(shù).

vec(XT)=∏vec(X),EYF=P?(FT?E)vec(Y)=vec(P).

1.1方程(2)的等價(jià)形式

方程(2)等價(jià)于

(4)

再利用矩陣關(guān)系式

(I+M-1N)-1=I-M-1(I+NM-1)-1N=I-(M+N)-1N,

(M+N)-1NM-1=M-1N(M+N)-1.

得

FTGF+(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF).

(5)

由于

結(jié)合(5)式，方程(4)可等價(jià)變形為

(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF)=-E,

即

FTΔRF+ΔQ-(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF)=-E.

(6)

其中

方程(6)等價(jià)于

L+LTΔC+FTΔDTL+LTΔDF+FTΔRF+ΔQ=-E+?(ΔX),

(7)

其中

由引理1知， 方程(7)可以寫成如下的非線性形式

T·g=-vecE+vec (?(ΔX)),

(8)

記

T=(AxT1,BxT2,CxT3,DxT4,QxT5,RxT6),

T3=I?LT+(LT?I)∏,T4=FT?LT+(LT?FT)∏,

T5=I?I,T6=FT?FT.

(9)

由(9)式中T的表達(dá)式可知T是行滿秩矩陣， 故矩陣T存在廣義逆， 即存在T?滿足T?T=TT?=I.

考慮方程

g=T?[-vecE+vec (?(ΔX))],

(10)

顯然滿足(10)的g也一定滿足方程(7). 因此， 若存在一個(gè)g*=

對(duì)(7)式兩邊取范數(shù)得

(11)

其中ρ，t定義如下

(12)

由于

(13)

且

‖S+GF‖≤ ‖ΔBTX+ΔDTL+ΔRF+DTXΔC+DTXΔDF‖+‖ΔDTXΔC‖+‖ΔDTXΔDF‖≤

r3‖g‖+r4‖g‖2,

(15)

其中

記

將(14)和(15)式代入(13)式， 得

結(jié)合(11)式， 得到

其中ρ，t由式(12)定義.

考慮方程

整理變形得

(r22-μr4)x4+(tr4-μr3+2r1r2)x3+(tr3-ρtr4+ημ+r12)x2-(ηt+ρtr3)x+ρtη=0.

(16)

假設(shè)方程(16)的最小正實(shí)根為x*， 由不動(dòng)點(diǎn)定理可知， 至少存在一個(gè)g滿足(10)式， 且

‖g‖2≤x*.

假設(shè)存在矩陣ΔAmin,ΔBmin,ΔCmin,ΔDmin,ΔQmin和ΔRmin使得

這里x*是方程(16)的最小正實(shí)根.由(8)式知矩陣ΔAmin,ΔBmin,ΔCmin,ΔDmin,ΔQmin和ΔRmin滿足

Tgmin=-vec (E)+vec( ?(ΔX)),

(17)

其中g(shù)min=

令

T=W(Σ，0)ZT,

(18)

其中

Σ=diag(ξ1,ξ2,…,ξn2),ξ1≥ξ2≥…≥ξn2>0.

W和Z是正交矩陣. 將(18)式代入(17)式中， 得

(19)

其中

v=-Σ-1WTvec(E)+Σ-1WTvec(?(ΔX)).

(20)

結(jié)合(17)～(20)式， 得到

‖T?(vecE)‖2-‖T?‖2‖?(ΔX)‖F(xiàn)≥

(21)

由于x*是方程(16)的最小正實(shí)根， 故有

于是(21)式可簡(jiǎn)化為

綜上， 可以得到下述定理.

(22)

其中x*是方程(16)的最小正實(shí)根，ρ=‖T?(vecE)‖2，l(ρ)=2ρ-x*.

注 釋記函數(shù)

F(x,ρ)=(r22-μr4)x4+(tr4-μr3+2r1r2)x3+(tr3-ρtr4+ημ+r12)x2-(ηt+ρtr3)x+ρtη，

(23)

由于ρ=‖T?(vecE)‖2,且

2數(shù)值實(shí)驗(yàn)

令

方程( 1)的系數(shù)矩陣A,B,C,D,R分別為

A=-4I20+3U,B=2I20-3U,C=I20,D=I20+U,R=3U.

Ax=‖A‖F(xiàn)，Bx=‖B‖F(xiàn)，Cx=‖C‖F(xiàn)，Dx=‖D‖F(xiàn)，Qx=‖Q‖F(xiàn)，Rx=‖R‖F(xiàn).

表1　一套實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和相應(yīng)的模擬結(jié)果

3結(jié)論

參考文獻(xiàn)

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[9]HORN R A, JOHNSON C R. Topics in matrix analysis[M]. New York: Cambridge UP, 1991.

Backward Error Analysis on the Stochastic Algebraic Riccati Equation

XIAO Lingli1, QIU Benhua1, ZHAO Bing2

(1. Department of Basic Courses, Zhengzhou University for Science and Technology , Zhengzhou 450064, China;2.DepartmentofInformationEngineering,ZhongzhouUniversity,Zhengzhou450000,China)

Abstract:By using the properties of Kronecker product and the fixed point theorem, the normwise backward error of the stochastic algebraic Riccati equation is studied. The upper and lower bounds of the backward error are given, and the first-order approximate estimates of the backward error are obtained by using the implicit function theorem, finally the accuracy of the result is verified with a numerical example.

Key words:stochastic algebraic Riccati equation； backward error； Kronecker product； fixed point theorem

收稿日期：2015-12-16

基金項(xiàng)目：鄭州市科技局軟科學(xué)項(xiàng)目(20141153)：河南省基礎(chǔ)與前沿項(xiàng)目(152300410170)

作者簡(jiǎn)介：肖玲莉 ( 1990—)，女，河南信陽人，鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部教師.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.005

中圖分類號(hào)：O224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2016)02-0017-07