與正多邊形有關(guān)的幾個極值問題

陳開文 張馨怡

[摘 要] 本文試圖通過研究與正多邊形有關(guān)的幾個面積最大問題來給出“經(jīng)典的等周問題”的一個直觀易懂的證明.

[關(guān)鍵詞] 等周問題；面積最大問題；正多邊形；逼近；直觀證明

問題和主要結(jié)果

最大或最小問題在理論上和實(shí)際生活中都是很重要的問題. “在所有給定周長的閉曲線中，什么閉曲線圍的面積最大？”這是自古希臘以來的兩千多年，人們一直感興趣的經(jīng)典問題，古希臘數(shù)學(xué)家就猜測“圓周圍的面積最大”，但它的嚴(yán)格證明直到二十世紀(jì)初才陸續(xù)給出，通常要用到積分，尤其要用到Fourier級數(shù)及Wirtinger等周不等式.

本文通過研究與多邊形有關(guān)的極值問題，我們試圖用簡單直觀的方法來研究等周問題，我們先來證明以下三個與多邊形有關(guān)的有趣定理：

定理1 在給定圓周上選取N≥3個點(diǎn)連成N邊形，則正N邊形圍成的面積最大.

定理2 在周長給定的所有N邊形中，正N邊形圍的面積最大.

定理3 給定平面正多形的周長l，則正多邊形的邊數(shù)越多，相應(yīng)圍的圖形面積越大.

然后再證明等周定理：

定理4 在周長L給定的所有閉曲線中，圓周圍的面積最大，最大面積為.

幾個重要引理

在周長給定的所有的閉曲線中，不打結(jié)的凸的閉曲線顯然圍的面積更大，我們可以在凸的不打結(jié)閉曲線上任選n個點(diǎn)連成n邊形，由于閉曲線是凸的，所以當(dāng)分割的點(diǎn)增加時，多邊形的邊數(shù)和面積都同時增加，當(dāng)多邊形的最長邊趨于0時，多邊形圍的面積趨近于閉曲線圍的面積，且多邊形的周長趨近于閉曲線的周長. 現(xiàn)在周長固定的假設(shè)下形變閉曲線，相應(yīng)的嵌入在閉曲線內(nèi)的多邊形也隨之形變. 由定理2知道，給定周長的所有n邊形中，正n邊形圍的面積最大；由定理3知，n越大，正n邊形圍的面積也越大；當(dāng)正n邊形逼近圓周，正n邊形圍的面積逼近圓的面積，它是最大面積.

所以我們的形變過程實(shí)際上是形變閉曲線使嵌入其內(nèi)的多邊形變?yōu)檫厰?shù)越來越多的正多邊形以增加所圍面積的過程.

設(shè)圓的周長為L，則圓內(nèi)接正n邊形所圍的面積Sn的極限為，事實(shí)上：當(dāng)n→+∞時，正n邊形的周長l→L（圓的周長），又由=1，所以，圓內(nèi)接正n邊形所圍面積的極限為：，此即圓的面積.