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    變式串、解法串讓數(shù)學(xué)課堂展開(kāi)思維的翅膀

    2016-07-15 07:45湯愛(ài)堯楊子林
    學(xué)周刊 2016年11期
    關(guān)鍵詞:問(wèn)題串高效課堂

    湯愛(ài)堯 楊子林

    摘 要:?jiǎn)栴}串、變式串是對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個(gè)個(gè)呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問(wèn)題。它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。對(duì)此,數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該解放思想,鼓勵(lì)學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計(jì),充分參與課堂,從而真正提高課堂教學(xué)效率。

    關(guān)鍵詞:?jiǎn)栴}串;變式串;解法串;高效課堂

    中圖分類號(hào):G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1673-9132(2016)31-0124-02

    DOI:10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.31.080筆者所在學(xué)校是一所省級(jí)示范性高中,近年來(lái)學(xué)校大力開(kāi)展“誘思探究之高效課堂教學(xué)研究”的國(guó)家級(jí)重點(diǎn)課題研究。2011年11月下旬,全校開(kāi)展了一系列高效課題專題研討活動(dòng),筆者作為研究員,針對(duì)在章末復(fù)習(xí)課中如何體現(xiàn)新課標(biāo)要求,有效滲透新課程理念,轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)模式,提高課堂教學(xué)效率進(jìn)行了專題發(fā)言,并承擔(dān)了一節(jié)研討課。下面是筆者對(duì)本節(jié)課的實(shí)錄與反思。

    一、教學(xué)實(shí)錄

    教師:今天我們從課后作業(yè)中的一道題說(shuō)起,進(jìn)而探究一類圓錐曲線最值問(wèn)題的解法。

    題目:已知點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2+3x2=6上,求x2+y2的最大值與最小值。

    教師:同學(xué)們小組內(nèi)交流一下這道題的解法,看看能探討出多少種解法?看哪個(gè)小組的解法最都多?

    在平時(shí)的課堂教學(xué)中,我采用小組合作探究,小組間互評(píng)(即小組間相互攻擊:質(zhì)疑、糾錯(cuò)與完善,互評(píng)時(shí)可以口頭表述、板演、解題過(guò)程利用實(shí)物投影儀展示等方式)的學(xué)習(xí)方式教學(xué)。

    教師給出題目幾分鐘后便有小組1展示了如下分析:

    方法一:把x2+y2看作二元函數(shù),可以把二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題,即Z=x2+y2=x2+x2+2,因?yàn)镻(x,y)在橢圓2x2+3x2=6上,所以,因此函數(shù)的最大值為3,最小值為2。

    方法二:解決解析幾何問(wèn)題有兩種方法:代數(shù)法和幾何法。方法一是從代數(shù)角度出發(fā),利用函數(shù)思想解決問(wèn)題。本題還可以從幾何角度出發(fā),利用x2+y2的幾何意義來(lái)解決,x2+y2可以看做是點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方,而最大值和最小值分別在長(zhǎng)軸和短軸的頂點(diǎn)處取得。

    小組2(搶過(guò)話題):可以把Z=x2+y2成是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的方程,x2+y2的最值可以轉(zhuǎn)化為求該圓半徑的最大值與最小值。

    學(xué)生都露出了贊許的微笑。

    小組3(搶過(guò)話題):可以用三角換元。

    這時(shí)好多學(xué)生露出了疑惑的表情。這時(shí)我示意該同學(xué)停下,在課件上展示了以下幾個(gè)問(wèn)題:

    請(qǐng)同學(xué)們回顧:什么是換元法?換元法的實(shí)質(zhì)是什么?(換元法是初高中教材銜接的重要內(nèi)容,高一課堂上已進(jìn)行多次介紹與滲透)下面兩個(gè)問(wèn)題能不能用換元法解決?

    1. 已知x2+y2=1,求x+y的最大值與最小值。

    2. 已知x2+y2=4,求x+y的最大值與最小值。

    此時(shí),學(xué)生展開(kāi)了熱烈的討論。幾分鐘后,學(xué)生就統(tǒng)一了認(rèn)識(shí)。我選了兩位學(xué)生在草紙本上的解題過(guò)程利用實(shí)物投影儀進(jìn)行了展示。

    在這里我只選第1題的解題過(guò)程:設(shè)x=sin?琢,y=cos?琢,其中?琢∈R,則x+y=sin?琢+cos?琢=sin(?琢+?準(zhǔn)),所以x+y的最大值為,最小值為

    針對(duì)解題過(guò)程中角?琢的取值范圍,教師提出問(wèn)題:其中?琢∈R改為?琢或?琢∈0,?仔或?琢∈0,2?仔行不行?為什么?通過(guò)這個(gè)問(wèn)題使學(xué)生進(jìn)一步理解換元法的實(shí)質(zhì)是等量代換。

    同時(shí)請(qǐng)剛剛回答問(wèn)題的學(xué)生在黑板上展示解題過(guò)程:

    解:由2x2+3x2=6可得2+2=1,設(shè)

    cos?琢,=sin?琢,即x=cos?琢y=sin?琢,其中?琢∈R,則x2+y2=3cos2?琢+2sin2?琢=2+ cos2?琢

    所以x2+y2的最大值為3,最小值為2。

    教師:剛才的探究過(guò)程對(duì)大家一定很有啟發(fā),請(qǐng)問(wèn)那一個(gè)小組的同學(xué)可以將這道題稍作改變,編出幾道類似的最值問(wèn)題考考其他小組的同學(xué)?

    一聽(tīng)這話,學(xué)生的興致馬上提了起來(lái),展開(kāi)了討論。不一會(huì)便有小組躍躍欲試,舉手發(fā)言。等到大多數(shù)小組舉起了手,教師請(qǐng)小組發(fā)言人相繼到黑板上板演問(wèn)題,經(jīng)整理如下:

    1. 求x+3y的最大值與最小值。

    2. 求的最大值與最小值。

    3. 求xy的最大值與最小值。

    4. 求x2+y2-2x的最大值與最小值。

    5. 求點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的最大距離與最小距離。

    6. 求點(diǎn)P到直線x+y-10=0的最大距離與最小距離。

    7. 已知點(diǎn)P(x,y)在雙曲線2x2-3y2=6上,求8x2+y2的最小值。

    8. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,求PF1·PF2的最大值與最小值。

    9. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,則點(diǎn)P在何處時(shí)∠F1PF2最大?△F1PF2面積最大?最大值分別是多少?若橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A1,A2,則點(diǎn)P在何處時(shí)∠A1PA2最大?

    在第9題解決完后,教師設(shè)問(wèn):請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下,求二元函數(shù)最值的方法有哪些?

    1. 二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題。

    2. 利用均值不等式。

    3. 利用三角換元。

    4. 利用數(shù)形結(jié)合。(1)利用線性規(guī)劃;(2)利用式子的幾何意義。

    在教師引導(dǎo)下,學(xué)生還歸納出橢圓中的幾個(gè)有關(guān)最大值與最小值的結(jié)論:(1)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大和最小的點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)上。(2)橢圓上的點(diǎn)到中心的距離的最大(最小)的點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)(短)軸的兩個(gè)端點(diǎn)上。(3)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,則點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)處時(shí)∠F1PF2最大、△F1PF2面積最大。(4)若橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A1,A2,則點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)處時(shí)∠A1PA2最大。

    復(fù)習(xí)課中的問(wèn)題串、變式串,是對(duì)某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個(gè)個(gè)呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問(wèn)題,它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。新課標(biāo)教材中的許多例、習(xí)題本身就是或“知識(shí)”上的或“思想方法”上的一系列變式串,更有許多例、習(xí)題通過(guò)變式引申出了一系列經(jīng)典高考試題、培訓(xùn)題,這需要教師精心挖掘和積累。教師平時(shí)應(yīng)對(duì)一些例題、習(xí)題細(xì)心把玩,研究題目的條件和結(jié)論,解決問(wèn)題時(shí)采用的策略和方法,并在此基礎(chǔ)上,或進(jìn)一步推廣、或增加條件、或減少條件、或改變條件或改變結(jié)論等,或從系列知識(shí)為背景、或以思想方法為主線推陳出新編制一些變式題目。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出:“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè)。”“一個(gè)專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師,能夠拿出一個(gè)有意但不復(fù)雜的問(wèn)題,去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這個(gè)問(wèn)題,就好像通過(guò)一道門(mén)戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域?!逼鋵?shí),教師更應(yīng)該解放思想,鼓勵(lì)學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計(jì),就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)學(xué)生居然有這么好的創(chuàng)造力,從而獲得意想不到的收獲。

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