具有年齡結構的霍亂傳染病模型的最優(yōu)控制

甘乃峰,谷曉沛

(1.鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007;2.鞍山師范學院 教育科學技術學院,遼寧 鞍山 114007)

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具有年齡結構的霍亂傳染病模型的最優(yōu)控制

甘乃峰1,谷曉沛2

(1.鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007;2.鞍山師范學院 教育科學技術學院,遼寧 鞍山 114007)

摘要建立了具有年齡結構的SIR霍亂傳染病模型，基于微分方程給出基本再生數R0的計算方法，利用最優(yōu)控制理論，對幼年個體施加控制，使染病者個體的數量最小化，并限制染病者和易感染者之間的轉化，最后給出數值例子.

關鍵詞年齡結構；傳染病模型；最優(yōu)控制

自從有人類歷史記載以來，霍亂作為一種傳染疾病已有上千年的歷史[1]，盡管當今世界的衛(wèi)生水平以及醫(yī)療水平有了極大的提高，但霍亂這種傳染疾病仍然在部分人口密集且醫(yī)療水平相對落后地區(qū)時有發(fā)生，它仍然是目前以及今后一段時間內全世界所面臨的一個重要挑戰(zhàn).

霍亂是一種細菌感染的胃腸消化道疾病，表現(xiàn)為腹瀉、嘔吐不止.人們食用含有超過一定閾值量的弧菌狀霍亂病菌食物就會感染此疾病.Harris[2]指出這個閾值不是統(tǒng)一的，并且確定它是比較復雜的問題，但可以肯定的是它與患者年齡是正相關的.疾病形成的時間需要1～5天，一旦一個個體被感染，排泄物就會含有病菌，進一步會感染他人，尤其是那些親密接觸者.

已有學者應用傳染病動力學模型對具有年齡結構的傳染病進行了系統(tǒng)的研究，取得了一系列的成果.文[3]研究了具有年齡結構的單種群模型在成年種群間傳染疾病的問題,建立了成年和幼年兩個年齡結構的SI傳染病模型,得到模型的唯一正平衡點局部漸近穩(wěn)定的充分條件.文[4]提出了具有年齡結構的SIS型傳染病的接種模型,對模型的動力學性態(tài)進行了分析,得到了地方病平衡解唯一存在的條件、平衡解穩(wěn)定的條件,還研究了接種率的大小對疾病流行的影響.文[5]研究了一類具有年齡結構的SIR型傳染病模型,證明了該模型當閾值R0<1時疾病消亡，當閾值R0>1時模型同時具有一致弱持續(xù)性質和強持續(xù)性質.文[6]針對不同的傳染病的傳播特點,建立了具有年齡和隔離措施的SEIQR模型、 具有年齡結構的手足口病模型和具有年齡結構和常數遷移率的SIR模型,使用傳染病動力學中的有關方法理論對模型進行了分析,得到了模型無病平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性和穩(wěn)定性條件.

1模型的建立

圖1　兩個年齡獨立SIR模型的關系描述

(1)

2基本再生數R0的計算

基本再生數R0，指一個病人在平均患病期內所傳染的人數.R0的計算，我們采用Van den Driessche and Watmough[7]的方法.

模型(1)的右側可表示成F-V形式，其中，

其中，F(xiàn)表示兩類感染群體中新增加的感染者.

為了簡化計算，可取β11=β12，β21=β22，αγS10S20(β11β22-β21β)=0，其中，α=f+e1+g1，γ=e2+g2,模型(1)中的再生數

文獻[2]、[8～10]給出了某地區(qū)霍亂傳染疾病中各參數取值，如表1.

表1　各參數及其量值

經上面的計算方法可得基本再生數R0≈1.54，因為R0>1，由此可斷定該地區(qū)霍亂將會流行.下面將討論疾病的最優(yōu)控制問題.

3最優(yōu)控制

(2)

根據最優(yōu)控制理論方法，首先選取目標函數為

(3)

我們的目的可以轉化為:按照模型(2),在控制集U中選取控制u(t)，使J(u)最小化.下面通過系統(tǒng)的哈密頓函數H，可得到系統(tǒng)最優(yōu)化和截斷函數存在的必要條件.哈密頓函數構造方法如下：

設

因為系統(tǒng)是有界的，從文[11]可知存在最優(yōu)控制，而且能夠求得伴隨方程和最優(yōu)控制的表達式.

截斷條件為

最優(yōu)控制為

該定理的證明與文[12]中證明類似，此處略.

4數值模擬

為了探尋最優(yōu)控制中各種權重參數的影響，A,B,C可取各種量值情況，控制變量取值范圍從0.1～0.9，按照上面的方法，每次得到的控制變量的最大值的結果相似，因此不妨取A=1,B=1,C=10，其它參數值參見表1，通過最優(yōu)控制方法計算可得，施加控制后，該地區(qū)每年霍亂都會爆發(fā)，但會迅速下降，感染個體的最大數量不會超過150人.

5結論

本文建立幼年個體和成年個體分別獨立的SIR霍亂傳染病模型，應用文[7]中的方法，給出基本再生數R0的計算，用來確定傳染疾病是否能夠傳播.若疾病傳播，則對幼年個體施加控制，建立一個控制模型.利用最優(yōu)控制理論，使染病者和易感者的數量最小化，移出者的數量最大化.

參考文獻

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[12] Suzanne lenhart,John T Workman.Optimal Control Applied to Biological Models[M].London:Chapman and Hall/CRC,2007.

(責任編輯：張冬冬)

Optimal control of an epidemic cholera model with age class structure

GAN Naifeng1，GU Xiaopei2

(1.School of Mathematics and Information Science,Anshan Normal University,Anshan Liaoning 114007,China;2.SchoolofEducationalScienceandTechnology,AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

AbstractIn this paper,an epidemic cholera model with age class structure is given.Using the system of ordinary differential equations,the general formula for R0is calculated.We use the optimal control strategies to minimize the susceptible and infected individuals and to maximize the number of recovered individuals,the interactions between susceptibles and infecteds are limited.Finally,the results of numerical results is given.

Key wordsage structure;epidemic model;optimal Control

收稿日期2016-02-20

作者簡介甘乃峰(1974-)，男，遼寧沈陽人，鞍山師范學院數學與信息科學學院講師，博士.研究方向：魯棒控制、算子理論.

中圖分類號O232

文獻標識碼A文章篇號1008-2441(2016)02-0004-06