基于改進(jìn)線性二次型調(diào)節(jié)器的近地軌道編隊(duì)衛(wèi)星魯棒控制*

杏建軍，于　洋，王　祎，鄭黎明，陳子昂

(中南大學(xué) 航空航天學(xué)院， 湖南 長沙　410083)

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基于改進(jìn)線性二次型調(diào)節(jié)器的近地軌道編隊(duì)衛(wèi)星魯棒控制*

杏建軍，于洋，王祎，鄭黎明，陳子昂

(中南大學(xué) 航空航天學(xué)院， 湖南 長沙410083)

摘要：為解決編隊(duì)衛(wèi)星在近地空間復(fù)雜力學(xué)環(huán)境特別是地球非球形攝動(dòng)作用下構(gòu)型易發(fā)散的問題，給出一種基于改進(jìn)線性二次型調(diào)節(jié)器的編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型控制方法。該方法先估計(jì)近地空間編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)由未建模攝動(dòng)力引起的誤差最大有界范圍，再利用誤差最大有界范圍的二范數(shù)改進(jìn)經(jīng)典的線性二次型調(diào)節(jié)器控制方法，提高經(jīng)典線性二次型調(diào)節(jié)器控制器在控制編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型時(shí)的魯棒性。為評價(jià)改進(jìn)方法的有效性，給出了一種魯棒性強(qiáng)弱的量化評判標(biāo)準(zhǔn)。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的方法可以大大提高經(jīng)典線性二次型調(diào)節(jié)器方法的魯棒性，增強(qiáng)編隊(duì)衛(wèi)星控制方法對各種不確定項(xiàng)的抵御能力。

關(guān)鍵詞：編隊(duì)衛(wèi)星；J2攝動(dòng)；線性二次型控制；魯棒控制

編隊(duì)衛(wèi)星飛行技術(shù)是當(dāng)今航天領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)，它利用若干顆小衛(wèi)星替代傳統(tǒng)的大衛(wèi)星，具有費(fèi)用低、性能好、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。編隊(duì)衛(wèi)星飛行技術(shù)為對地觀測和宇宙探測等領(lǐng)域帶來了革命性的影響，為衛(wèi)星的應(yīng)用開辟了一個(gè)嶄新的空間，因此成為21世紀(jì)航天領(lǐng)域的戰(zhàn)略制高點(diǎn)。

編隊(duì)衛(wèi)星飛行技術(shù)的實(shí)現(xiàn)依賴于編隊(duì)衛(wèi)星的構(gòu)型。近地軌道編隊(duì)衛(wèi)星在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)受到空間各種復(fù)雜攝動(dòng)力的影響，導(dǎo)致其不按設(shè)計(jì)的構(gòu)型飛行，因此編隊(duì)衛(wèi)星的構(gòu)型保持是編隊(duì)衛(wèi)星成功應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)之一。國內(nèi)外眾多學(xué)者對此問題進(jìn)行了研究[1]。在線性控制器設(shè)計(jì)方面：Sparks[2]和Gurfil等[3]利用C-W方程設(shè)計(jì)了滿足圓參考軌道的線性二次型調(diào)節(jié)器(LinearQuadraticRegulator，LQR)控制律；Vaddi等[4]和Sengupta等[5]建立基于線性化的T-H方程對橢圓參考軌道的構(gòu)型控制進(jìn)行了研究；Tillerson和How[6]提出誤差盒的概念,將空間攝動(dòng)力考慮在構(gòu)型控制模型中,只有當(dāng)誤差積累達(dá)到設(shè)定條件時(shí)才啟用控制，有效地減少了能耗；Liu等[7]設(shè)計(jì)了一種使LQR模型魯棒的控制方法，增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾性。在非線性控制器設(shè)計(jì)方面：Queiroz等[8]利用非線性軌道動(dòng)力學(xué)方程描述編隊(duì)衛(wèi)星的相對運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)了非線性自適應(yīng)控制器；曹喜濱等[9]研究只利用星載設(shè)備而無須地面站的參與，能夠在主星機(jī)動(dòng)與控制、環(huán)境干擾未知的情況下完成對編隊(duì)系統(tǒng)自適應(yīng)控制的方法；Massey[10]提出了一種魯棒性較強(qiáng)的跟蹤控制方法,并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破鳎恍咏ㄜ姷萚11]用約束力控制法，通過修正有效地抑制了編隊(duì)衛(wèi)星初始化、參考衛(wèi)星軌道確定及相對動(dòng)力學(xué)建模等誤差的影響，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

盡管國內(nèi)外許多學(xué)者已對編隊(duì)衛(wèi)星的構(gòu)型控制進(jìn)行了大量研究，但還存在有待改進(jìn)的地方。在線性控制器設(shè)計(jì)方面，雖然有方法簡單、易于執(zhí)行等優(yōu)點(diǎn)，但由于采用了線性化的模型，存在魯棒性不足的問題；在非線性控制器設(shè)計(jì)方面，雖然有數(shù)學(xué)模型精確、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但存在方法復(fù)雜、不易執(zhí)行的缺點(diǎn)。

1數(shù)學(xué)模型

1.1坐標(biāo)系的選取[12]

①地心赤道慣性坐標(biāo)系O-XYZ：簡稱慣性坐標(biāo)系，定義坐標(biāo)原點(diǎn)O為地心，X軸沿赤道面與黃道面的交線指向春分點(diǎn)，Z軸指向地球北極，Y軸由右手定則確定，垂直于X軸和Z軸所組成的平面。②相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz：也稱軌道坐標(biāo)系，定義坐標(biāo)原點(diǎn)o為參考星質(zhì)心，x軸由地心指向參考星的質(zhì)心，z軸沿衛(wèi)星軌道面正法線方向，y軸由右手定則確定，垂直于x軸和z軸所組成的平面。圖1給出了這兩坐標(biāo)系的示意圖。

圖1　坐標(biāo)系示意圖Fig.1　Coordinate system schematic diagram

1.2相對動(dòng)力學(xué)建模

為了盡可能真實(shí)地反映編隊(duì)衛(wèi)星在近地軌道的運(yùn)行情況，考慮近地軌道最主要的J2攝動(dòng)，采用地心赤道慣性坐標(biāo)系數(shù)值積分和坐標(biāo)變換的方式計(jì)算編隊(duì)衛(wèi)星之間的相對運(yùn)動(dòng)，用于編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型控制器的驗(yàn)證。同時(shí)由于近地空間力學(xué)環(huán)境的復(fù)雜性，諸多攝動(dòng)無法全都考慮在動(dòng)力學(xué)模型中，故為了保證模型的精確性，在動(dòng)力學(xué)模型中加入白噪聲代替未建模誤差。

在地心赤道慣性坐標(biāo)系中，J2攝動(dòng)條件下參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星的絕對運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

對式(1)積分分別得到參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的絕對運(yùn)動(dòng)參數(shù)，然后求差并轉(zhuǎn)換到相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中，得到J2攝動(dòng)條件下伴隨衛(wèi)星相對參考衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)：

(2)

(3)

1.3控制器設(shè)計(jì)

1.3.1經(jīng)典LQR控制器

在近地軌道編隊(duì)衛(wèi)星的線性控制系統(tǒng)中，應(yīng)用較成熟的是LQR控制器[13]。將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型寫成狀態(tài)空間形式為：

(4)

通過設(shè)計(jì)輸入量u，使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)：

(5)

為使性能指標(biāo)泛函值最小，控制輸入應(yīng)為：

(6)

式中，矩陣P滿足Riccati微分方程，即：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(7)

經(jīng)典LQR控制方法可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制律，并能兼顧系統(tǒng)的多項(xiàng)性能指標(biāo)，且方法簡單易于實(shí)現(xiàn)，因此應(yīng)用非常廣泛。但此方法僅適用于線性動(dòng)力學(xué)方程，對于復(fù)雜非線性系統(tǒng)魯棒性較差。

1.3.2改進(jìn)LQR控制器

針對近地編隊(duì)衛(wèi)星運(yùn)行的力學(xué)環(huán)境復(fù)雜、非線性強(qiáng)，傳統(tǒng)LQR控制器魯棒性不足的問題，在經(jīng)典LQR控制的基礎(chǔ)上，考慮未建模攝動(dòng)力的誤差，給出一種改進(jìn)的LQR控制器，提高其在近地編隊(duì)構(gòu)型控制中的魯棒性。

考慮如式(8)所示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

(8)

式中，ω(x)為未建模的攝動(dòng)力。

改進(jìn)LQR的魯棒控制是通過尋找反饋控制律u使系統(tǒng)在不確定干擾ω(x)作用下全局漸進(jìn)穩(wěn)定[14]。

將式(8)的動(dòng)力學(xué)方程寫成帶有不確定項(xiàng)的狀態(tài)空間表達(dá)式[15]為：

(9)

通過尋找反饋控制律[uv]T使系統(tǒng)滿足目標(biāo)函數(shù)：

且有：

(11)

其中，v為解決不確定項(xiàng)的輔助擴(kuò)展控制量；

C=I-BB+=diag([1,0,1,0,1,0])

(12)

B+為矩陣B的廣義逆矩陣；F和D均為對角矩陣；α≥0,β≥0,ρ≥0，且

(13)

當(dāng)取α=ρ=0，β=1，且F=Q1，D=R1時(shí)，即轉(zhuǎn)換為式(5)所示的經(jīng)典LQR控制問題。

為使系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函值最小，控制輸入應(yīng)為：

(14)

式中，矩陣P同樣滿足式(7)的Riccati微分方程。因此，由式(10)可知，在改進(jìn)LQR控制方法中：

(15)

(16)

1.3.3J2攝動(dòng)對編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型影響的估計(jì)

考慮地球J2攝動(dòng)線性化的影響，得到J2攝動(dòng)修正的編隊(duì)衛(wèi)星相對動(dòng)力學(xué)方程[16]為：

(17)

將式(17)寫成狀態(tài)空間形式：

(18)

(19)

將式(19)進(jìn)行有界處理，得到上界：

(20)

1.4控制器魯棒性的量化評判標(biāo)準(zhǔn)

文獻(xiàn)[17]中給出了三種定量方法評判控制系統(tǒng)的魯棒性，并認(rèn)為第三種評判方法最準(zhǔn)確。因此，本文采用文獻(xiàn)[17]中的第三種方法比較經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR控制的魯棒性強(qiáng)弱。第三種量化評判標(biāo)準(zhǔn)為：

(21)

此評判標(biāo)準(zhǔn)的M值越大，說明系統(tǒng)的魯棒性越強(qiáng)，抗干擾能力也越強(qiáng)。該方法因考慮了每個(gè)特征值的臨界穩(wěn)定性，確保每一個(gè)特征值都不會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因而對于評判系統(tǒng)的魯棒性強(qiáng)弱更精確也更全面。

2仿真驗(yàn)證

2.1初始條件

采用C-W方程設(shè)計(jì)的水平圓編隊(duì)作為仿真算例。初始時(shí)刻參考星和伴隨星在地心赤道慣性坐標(biāo)系下總的位置和速度如表1所示。

在經(jīng)典LQR控制中，由式(4)～(7)得：

A1=A，B1=B

Q1=diag([n6,0,n6,0,n6,0])，

R1=diag([n4,n4,n4])

在改進(jìn)LQR的魯棒控制中，取α=β=ρ=1，由式(9)～(20)可得：

A2=A

F=diag([n6,0,n6,0,n6,0])

R2=diag([n4,n4,n4,1,1,1,1,1,1)]

其中：仿真時(shí)間均取20 000s；J2=0.001 082 629 989 052；r=7 000 000m； μ=3.986 004 418×1014m3/s2；Re=6 378 137m。

2.2仿真結(jié)果

2.2.1不考慮其他攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果比較

首先只考慮J2攝動(dòng)，不考慮其他攝動(dòng)，即式(1)中白噪聲為0。分別考慮編隊(duì)衛(wèi)星在無控、經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR控制三種情況下，與基于C-W方程設(shè)計(jì)的理想水平圓相比，伴隨衛(wèi)星的位置誤差曲線及推進(jìn)劑消耗曲線如圖2所示。

表1　參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星的初始位置和速度

由圖2(a)可知，只考慮J2攝動(dòng)，系統(tǒng)無控時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差曲線逐漸發(fā)散，在20 000s時(shí)就已基本達(dá)到了1500m，說明若系統(tǒng)不加控制，位置誤差會(huì)無限制地增大，不可能精確地保持C-W方程設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)型。

由圖2(b)可知，只考慮J2攝動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)采用經(jīng)典LQR控制時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差保持收斂，且基本收斂在0.3m范圍內(nèi)。

由圖2(c)可知，只考慮J2攝動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)采用改進(jìn)LQR的魯棒控制時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差保持收斂，基本收斂在0.06m范圍內(nèi)。

再由圖2(d)可知,無白噪聲時(shí)經(jīng)典LQR和改進(jìn)LQR的推進(jìn)劑消耗曲線重合，在20 000s時(shí)推進(jìn)劑消耗均在5.76m/s左右。

不考慮其他攝動(dòng)，系統(tǒng)無控制、經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR魯棒控制三種情況的推進(jìn)劑消耗ΔV如表2所示。

因此，由圖2和表2可以看出，只考慮J2攝動(dòng)時(shí)，無控制系統(tǒng)的位置誤差隨時(shí)間逐漸發(fā)散，而經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR魯棒控制的位置誤差均收斂在很小的范圍內(nèi)，且改進(jìn)LQR的魯棒控制誤差收斂范圍明顯比經(jīng)典LQR控制收斂范圍小。這說明只考慮J2攝動(dòng)時(shí)，改進(jìn)的LQR控制方法在推進(jìn)劑消耗相同的情況下，較經(jīng)典的LQR控制方法控制精度更高。

(a) 無白噪聲時(shí)不加控制的位置誤差曲線(a) Uncontrolled position error with no white noise

(b) 無白噪聲時(shí)經(jīng)典LQR控制的位置誤差曲線(b) Classical LQR control position error with no white noise

(c) 無白噪聲時(shí)改進(jìn)LQR控制的位置誤差曲線(c) Improved LQR control position error with no white noise

(d) 無白噪聲時(shí)兩種控制方法的推進(jìn)劑消耗曲線(d) Propellant consumption of two controlmethods with no white noise圖2　無白噪聲時(shí)的位置誤差和推進(jìn)劑消耗曲線Fig.2　Position error and propellant consumptionwith no white noise

無控經(jīng)典LQR改進(jìn)LQRΔV/(m/s)05.7605.761

2.2.2考慮白噪聲時(shí)的仿真結(jié)果比較

考慮除J2攝動(dòng)外其他攝動(dòng)的影響，且認(rèn)為其他攝動(dòng)可由功率譜密度為10-4的白噪聲模擬。分別考慮編隊(duì)衛(wèi)星在無控、經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR控制三種情況下，與基于C-W方程設(shè)計(jì)的理想水平圓相比，伴隨衛(wèi)星的位置誤差曲線及推進(jìn)劑消耗曲線如圖3所示。

由圖3(a)可知，加入功率譜密度為10-4的白噪聲，系統(tǒng)無控時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差曲線逐漸發(fā)散，在20 000s時(shí)就已基本達(dá)到2.2×105m。這說明若系統(tǒng)不加控制，伴隨衛(wèi)星的位置誤差會(huì)無限制地增大，不可能精確地保持C-W方程設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)型。

由圖3(b)可知，加入功率譜密度為10-4的白噪聲，當(dāng)系統(tǒng)采用經(jīng)典LQR控制時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差仍保持收斂，但誤差范圍明顯增大，基本收斂在8m左右。

由圖3(c)可知，加入功率譜密度為10-4的白噪聲，當(dāng)系統(tǒng)采用改進(jìn)LQR的魯棒控制時(shí)，伴隨衛(wèi)星的位置誤差雖然增大，但仍保持在較小的收斂范圍內(nèi)，且基本收斂在0.6m左右。

再由圖3(d)可知，加入白噪聲后改進(jìn)LQR的推進(jìn)劑消耗曲線明顯高于經(jīng)典LQR的，在20 000s時(shí)推進(jìn)劑消耗分別達(dá)到了607.41m/s和281.10m/s。

加入功率譜密度為10-4的白噪聲，系統(tǒng)無控制、經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR的魯棒控制三種情況下的推進(jìn)劑消耗如表3所示。

因此，由圖3和表3可以看出，加入功率譜密度為10-4的白噪聲后，無控制的編隊(duì)已不按預(yù)定構(gòu)型運(yùn)行，經(jīng)典LQR控制和改進(jìn)LQR的魯棒控制誤差雖仍收斂，但前者誤差明顯增大，后者依舊保持較小的誤差范圍。同時(shí)，改進(jìn)LQR的魯棒控制較經(jīng)典LQR控制消耗的推進(jìn)劑更多，因?yàn)榍罢邔⑾到y(tǒng)的未建模攝動(dòng)考慮在內(nèi)，通過消耗燃料來控制構(gòu)型的精確性。

由此說明，加入功率譜密度為10-4的白噪聲后，經(jīng)典LQR控制的誤差會(huì)隨著白噪聲的增加而明顯增大，系統(tǒng)的魯棒性較弱，抗干擾能力較差；而改進(jìn)LQR的魯棒控制仍將誤差控制在很小的范圍內(nèi)，系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性，抗干擾能力較強(qiáng)，更利于編隊(duì)構(gòu)型的精確保持。

(a) 有白噪聲時(shí)不加控制的位置誤差曲線(a) Uncontrolled position error with white noise

(b) 有白噪聲時(shí)經(jīng)典LQR控制的位置誤差曲線(b) Classical LQR control position error with white noise

(c) 有白噪聲時(shí)改進(jìn)LQR控制的位置誤差曲線(c) Improved LQR control position error with white noise

(d) 有白噪聲時(shí)兩種控制方法的推進(jìn)劑消耗曲線(d) Propellant consumption of two control methodswith white noise圖3　有白噪聲時(shí)的位置誤差和推進(jìn)劑消耗曲線Fig.3　Position error and propellantconsumption with white noise

無控經(jīng)典LQR改進(jìn)LQRΔV/(m/s)0281.10607.41

2.2.3利用評判標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行魯棒性的驗(yàn)證

利用文獻(xiàn)[17]給出的評判標(biāo)準(zhǔn)，由式(21)分別求出經(jīng)典LQR控制方法和改進(jìn)LQR魯棒控制方法的M值(見表4)，驗(yàn)證所給出的改進(jìn)LQR控制方法的魯棒性。

表4　兩種方法的M值

由表4可知，對于同一編隊(duì)衛(wèi)星模型系統(tǒng)，改進(jìn)LQR魯棒控制的M值比經(jīng)典LQR控制的M值基本高一個(gè)數(shù)量級(jí)，說明所給出的改進(jìn)LQR控制方法的系統(tǒng)魯棒性明顯強(qiáng)于經(jīng)典LQR控制方法。又由圖3可得，在加入隨機(jī)擾動(dòng)后，兩種方法的魯棒性與此評判標(biāo)準(zhǔn)一致，從而驗(yàn)證了所給出的改進(jìn)LQR控制方法的有效性。

3結(jié)論

1)針對線性控制器魯棒性不足、非線性控制器模型復(fù)雜不易實(shí)現(xiàn)的問題，給出一種基于改進(jìn)LQR的魯棒控制方法，將線性控制器中的LQR控制器和系統(tǒng)魯棒性有機(jī)結(jié)合在一起，并把估計(jì)出的近地空間不確定性引起的最大有界范圍誤差加入編隊(duì)衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型中。該方法既繼承了經(jīng)典LQR控制器簡單易執(zhí)行的優(yōu)點(diǎn)，又在很大程度上提高了系統(tǒng)的魯棒性，因此可以提高近地復(fù)雜力學(xué)環(huán)境下編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型控制的魯棒性。

2)通過仿真比較加入白噪聲前后系統(tǒng)無控、經(jīng)典LQR控制及改進(jìn)LQR控制情況下伴隨衛(wèi)星的位置誤差和推進(jìn)劑消耗，結(jié)果說明所給出的改進(jìn)LQR控制器具有更好的魯棒性和抗干擾性，其能有效提高伴隨衛(wèi)星的位置精度。

3)評判系統(tǒng)給出的魯棒性強(qiáng)弱的量化標(biāo)準(zhǔn)與仿真結(jié)果一致，繼而驗(yàn)證了文中給出的改進(jìn)LQR控制方法的有效性，同時(shí)也為今后的魯棒性評判提供了方法。

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Robust control of low earth orbit satellites formation based on improved linear quadratic regulator

XING Jianjun, YU Yang, WANG Yi, ZHENG Liming, CHEN Ziang

(SchoolofAeronauticsandAstronautics,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China)

Abstract：Inordertosolvetheconfigurationdivergenceproblemsofformationsatellitesunderthecomplexmechanicsenvironmentinnear-earthspace,especiallyunderthenon-sphericalperturbationinfluence,aformationsatellitesconfigurationcontrolmethodbasedonimprovedLQR(linearquadraticregulator)waspresented.Themethodestimatedthemaximumboundedrangeoferrorcausedbyanun-modeledperturbativeforceinnear-earthspaceformationsatellitesconfigurationdesign,thenusedthe2-normofmaximumboundedrangetoimprovetheclassicalLQRmethodandimprovedtherobustnessofclassicalLQRcontrollerincontrollingformationsatellitesconfiguration.Inordertoevaluatetheeffectivenessofimprovedmethod,aquantitativecriterionforjudgingtherobustnesswasgiven.ThesimulationresultsshowthattheimprovedmethodcangreatlyimprovetherobustnessofclassicalLQRmethodandimprovetheresistanceabilityofformationsatellitescontrolmethodsforallkindsofuncertainty.

Keywords：satellitesformation;J2perturbation;linearquadraticregulatorcontrol;robustcontrol

doi:10.11887/j.cn.201603017

收稿日期：2015-05-26

基金項(xiàng)目：中國博士后基金資助項(xiàng)目(20080440217，200902666)

作者簡介：杏建軍(1975—)，男，甘肅蘭州人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E-mail:xjj@csu.edu.cn

中圖分類號(hào)：V412.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2016)03-100-07

http://journal.nudt.edu.cn