舊時(shí)王謝堂前燕　飛入尋常百姓家*
——談曲線系構(gòu)造的一種方法

●張曉東　王志和

(奉賢中學(xué)　上?！?01499)

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舊時(shí)王謝堂前燕飛入尋常百姓家*
——談曲線系構(gòu)造的一種方法

●張曉東王志和

(奉賢中學(xué)上海201499)

摘要：構(gòu)造曲線系解題感覺很深?yuàn)W，其實(shí)如果方法規(guī)律總結(jié)得好，就能使得深?yuàn)W的問題淺顯易懂.文章把直線上升為曲線，構(gòu)造曲線系解題.

關(guān)鍵詞：曲線系；構(gòu)造；四邊形

構(gòu)造曲線系解題，在一些數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)書上容易見到.但解法感覺有點(diǎn)深?yuàn)W，正如人們所說，好像在一堆磚塊中突然鉆出一只老鼠，不知從何而來.筆者總結(jié)了一類曲線系構(gòu)造的規(guī)律，按此規(guī)律，可以輕而易舉地構(gòu)造曲線系.正如古代詩人劉禹錫所說：“舊時(shí)王謝堂前燕，飛入尋常百姓家.”

首先給出2個(gè)約定：如圖1所示的凹四邊形ABCD稱為曲線的內(nèi)接凹四邊形，AB與CD是一組對邊，BC與AD是另一組對邊.如圖2所示的四邊形APPB稱為曲線的內(nèi)接(退化)四邊形，PA與PB是一組對邊，AB與過點(diǎn)P的切線是一組對邊，記為四邊形APPB.

接著，設(shè)出一組對邊的方程，構(gòu)造出曲線系，在曲線系中選取適當(dāng)?shù)摩耍怪霈F(xiàn)已知一邊的方程，進(jìn)而便得到要用的直線方程了.

這種方法不但有規(guī)律可循，而且可以減輕很多計(jì)算量.

例1如圖3，過拋物線C1:y2=2px(其中p>0)的頂點(diǎn)作互相垂直的直線l1,l2，其中l(wèi)1與C1交于點(diǎn)P，l2與C1交于點(diǎn)Q，求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).

圖3　　　　　　　　　圖4

即

亦即

已知此直線系中含有直線l1，l2,還包含過點(diǎn)O的拋物線切線及對邊PQ，其切線是x=0.為了產(chǎn)生因式x-0，令λ=1，則

1)求橢圓的方程；

2)若k1k2=2，探究：直線AB是否過定點(diǎn)？

2)考查橢圓的內(nèi)接退化四邊形APPB，設(shè)直線PA:y=k1x-2，PB:y=k2x-2，該四邊形還有1條邊的方程是過點(diǎn)P且與橢圓相切的直線，即y+2=0.設(shè)過點(diǎn)P,A,B的曲線系方程是

其中k1k2=2，即

亦即

令λ=-2，則

評注如果說例1還沒有顯示曲線系方法的威力，那么例2會讓我們感覺曲線系方法的神奇，這種方法要比韋達(dá)定理方法簡單易行，而且使得很多題目的解法近乎如出一轍.

圖5

例3如圖5，已知A,B是拋物線y2=2px(其中p>0)上異于原點(diǎn)的2個(gè)點(diǎn)，已知OA,OB的傾斜角是α,β，θ是一個(gè)定數(shù)，且α+β=θ,其中θ∈(0,π).當(dāng)α,β變動(dòng)時(shí)，求證:直線AB過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).

(2005年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(λ+1)y2-(k1+k2)xy+k1k2x2-2pλx=0.

k1k2(tanθ·2p+x)-tanθ·y+2p=0,

因此直線AB過定點(diǎn)(-2p,2pcotθ).

綜上所述，直線AB過定點(diǎn)(-2p,2pcotθ).

(2013年四川省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

即

亦即

圖6

評注這種方法會減少很多計(jì)算量.

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題改編)

證明考查橢圓內(nèi)接凹四邊形A1A2QP，其中一邊A1A2的方程是y=0，要求它的對邊PQ的方程.

即

亦即

為出現(xiàn)y-0這個(gè)因式，令λ=-a2t2，得

從而

評注本題是解析幾何中典型的“會做但算不出”的題目，用曲線系的方法可以很快得到答案.

圖7

(2011年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

即

亦即

為了出現(xiàn)因式y(tǒng)-0，令λ=-1，則上式為

得

令y=0，得

參考文獻(xiàn)

[1]蔡正文,廣隸.巧用曲線系方法解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015(8)：65-67.

修訂日期：*收文日期：2016-04-03；2016-05-10

作者簡介：張曉東(1981-)，男，山東泰安，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-35-04