一道原創(chuàng)幾何題的設(shè)計(jì)與解析

余學(xué)軍

【原創(chuàng)試題】矩形ABCD中，AB=6，AD=n，點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從A向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位的速度從C向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以BF為直徑的半圓O交BE于G，交EF于H，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

如圖1，當(dāng)∠BHG=30°時(shí)，填空：∠EBC= 度；AE長為 。

如圖2，當(dāng)n=13，并且AG與半圓O相切時(shí)，求t的值。

（3）如圖3，當(dāng)EF平分∠BED，并且△EGH面積等于3時(shí)，求n的值。

【參考答案】解：

（1）∠EBC=60°，AE=2 .

（2）解法一：連接OA交BG于M，

【難度值】0.35

【設(shè)計(jì)思路】本題在矩形的框架內(nèi)揉合了圓、等邊三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的相關(guān)知識，涉及到圓周角定理及推論、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、 勾股定理、三角形的面積公式、三角形中線的性質(zhì)、線段的和差關(guān)系等知識點(diǎn)。需要學(xué)生應(yīng)用分析、綜合、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想方法，著力于檢測學(xué)生的觀察、想象、推理、運(yùn)算等核心能力。

【專家點(diǎn)評】試題文字?jǐn)⑹龊啛捛冶硎銮宄?，圖形規(guī)范美觀但線條簡潔。提問角度合乎常規(guī)，解法多樣而且經(jīng)典。試題兼顧到基礎(chǔ)性和發(fā)展性，側(cè)重于選撥功能，主要考查學(xué)生的綜合素質(zhì)。第一問就圖形的一個(gè)局部提問，非常直觀，模糊了題干中的變量，僅需簡單轉(zhuǎn)化即可解決。第二問通過給n賦值，減少運(yùn)動(dòng)中的參變量，使問題變得單純，只需一條輔助線，就可找出相似，進(jìn)而解決問題。第三問放眼全局，在兩個(gè)變量之下，就圖形演變中的又一個(gè)巧妙時(shí)點(diǎn)，通過一個(gè)較為隱蔽的條件提問，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證，綜合運(yùn)用三角形和圓的多方面知識，結(jié)合轉(zhuǎn)化、方程的思想方法尋找破解之法。

本題的價(jià)值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層漸進(jìn)的精彩設(shè)問，更在于其本身突出的展示著“從特殊到一般”的思想策略。整個(gè)試題由簡單到復(fù)雜、由單一到綜合，梯度合理、拓展適度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，具有良好的效度和區(qū)分度。

【說明】本題于2016年4月在湖北省宜昌市教科院組織的原創(chuàng)命題大賽中獲獎(jiǎng)。