三角代數(shù)上廣義雙導(dǎo)子的等價刻畫

劉莉君

(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 漢中 723000)

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三角代數(shù)上廣義雙導(dǎo)子的等價刻畫

劉莉君*

(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 漢中 723000)

摘要：設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù), 雙線性映射φ是U上的廣義雙導(dǎo)子.利用算子論的方法，給出了三角代數(shù)上關(guān)于廣義雙導(dǎo)子的定義，推導(dǎo)出三角代數(shù)上廣義雙導(dǎo)子的一系列相關(guān)性質(zhì)；根據(jù)三角代數(shù)的矩陣結(jié)構(gòu)，得到了三角代數(shù)上廣義雙導(dǎo)子的一種新的等價刻畫，從而推廣了關(guān)于三角代數(shù)上廣義雙導(dǎo)子的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：三角代數(shù); 雙導(dǎo)子; 廣義雙導(dǎo)子

1引言和定義

下面先給出本文將用到的幾個定義.

設(shè)A,B是交換環(huán)上的具有單位元的代數(shù),M既是左A-模又是右B-模(此時, 稱M是(A,B)-雙邊模).

定義1[8]如果

則稱M是(A,B)-忠實雙邊模.

容易看出其滿足矩陣加法、數(shù)乘與乘法運算, 故Tri(A,M,B)為一個代數(shù),稱為三角代數(shù).

定義2[2]881設(shè)是可交換環(huán)上的一個代數(shù),()為其中心.設(shè)φ:→是個映射.若對任意的α,β及x,y,有φ(αx+βy)-αφ(x)-βφ(y)(),則稱φ為上的模中心線性映射(簡稱模線性映射).

2主要結(jié)果

引理1[1]764設(shè)是環(huán)上的一個有單位元的代數(shù),若映射φ:→是一個廣義導(dǎo)子,則存在 T,S,使得φ(X)=TX+XS成立.

引理2[3]1588設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù),(U)為其中心,若雙線性映射θ是三角代數(shù)U上的一個雙導(dǎo)子,則存在(U),使得θ(x,y)=[x,y](?x,y),其中[x,y]=xy-yx.

證明不妨設(shè)f(x,y)=φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x)=0,則x[u,φ2(yu)-φ2(y)u]-y[u,φ4(xu)-φ4(x)u]=

x[uφ2(yu)-uφ2(y)u-φ2(yu)u+φ2(y)u2]-

y[uφ4(xu)-uφ4(x)u-φ4(xu)u+φ4(x)u2]=

(xφ2(y)-yφ4(x))u2-(xuφ2(y)+xφ2(yu)-

yuφ4(x)-yφ4(xu))u+xuφ2(yu)-yuφ4(xu)=

(φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x))u2-

(φ1(y)xu-φ3(x)yu+xuφ2(y)+xφ2(yu)-

yuφ4(x)-yφ4(xu)+φ1(yu)x-φ3(xu)y)u+

(φ1(yu)xu+xuφ2(yu)-φ3(xu)yu-yuφ4(xu))=

f(x,y)u2-[f(xu,y)+f(x,yu)]u+f(xu,yu)=0.

引理4設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù),(U)為其中心,映射φ是U上的一個模線性映射.如果[u,φ(yu)-φ(y)u]=0(?u,yU),則存在A(U)和映射ξ:U→,使得φ(u)=Au+ξ(u).

δ(αu+βv)-αδ(u)-βδ(v)=φ(αu+βv)-

φ(I)(αu+βv)-α(φ(u)-φ(I)u)-β(φ(v)-

φ(I)v)=φ(αu+βv)-αφ(u)-βφ(v).

可見，映射δ也是一個模線性映射.另一方面,用u+v代替u代入[δ(u),u]=0中,就有[δ(u+v),u+v]=0,即[δ(u),v]=[u,δ(v)].從而二元線性映射θ:(u,v)→[δ(u),v]是一個雙導(dǎo)子,即θ(u,v)=[δ(u),v],再根據(jù)引理2知θ(u,v)=[u,v]，則θ(u,v)=[δ(u),v]=[u,v],即[δ(u)-u,v]=0.故存在映射ξ:U→，使得ξ(u)=δ(u)-u,又因為δ(u)=φ(u)-φ(I)u,從而φ(u)=(I+φ(I))u+ξ(u),其中令A(yù)=I+φ(I)(U).綜上有φ(u)=Au+ξ(u).證畢.

φ1(x)=xB-ξ1(x),φ2(x)=Ax+ξ1(x),

φ3(x)=xA-ξ2(x),φ4(x)=Bx+ξ2(x).

(1)

不妨設(shè)

(2)

將式(2)代入式(1),可得

xδ1(y)-yδ2(x)=0.

(3)

δ1(y)=yδ2(I),δ2(x)=xδ1(I).

(4)

zyδ2(x)-yδ2(zx)=0.

(5)

將式(4)代入式(5),可得[y,z]xδ1(I)=0,因為由假設(shè)知[y,z]x≠0,故 δ1(I)=0.綜上可知：δ2(x)=xδ1(I)=0.同理可得：δ1(y)=0.從而由式(2)可得

(6)

因此由引理4有

φ2(x)=Ax+ξ1(x), φ4(x)=Bx+ξ2(x).

(7)

另一方面,再將式(7)代入等式φ1(y)x+xφ2(y)-φ3(x)y-yφ4(x)=0,可得

(φ3(x)-xA+ξ2(x))y+(-φ1(y)+yB-ξ1(y))x=0.

1(x)y+2(y)x=0.

(8)

在式(8)中分別令x=I及y=I,可得

2(y)=-1(I)y,1(x)=-2(I)x.

(9)

2(y)xz-2(yz)x=0.

(10)

1(x)=φ3(x)-xA+ξ2(x)=0,

2(y)=-φ1(y)+yB-ξ1(y)=0,

即

φ1(x)=xB-ξ1(x),φ3(x)=xA-ξ2(x).

(11)

綜上由式(7)和式(11)可知,結(jié)論成立.證畢.

定理1設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù),(U)為其中心,若二元線性映射φ是三角代數(shù)U上的一個廣義雙導(dǎo)子, 則存在 A,B(U),使得φ(x,y)=xAy+yBx(?x,yU).

(12)

φ(x,αu+βv)=φ1(αu+βv)x+xφ2(αu+βv),

(13)

φ(x,αu+βv)=φ(x,αu)+φ(x,βv)=

αφ(x,u)+βφ(x,v)=

(αφ1(u)+βφ1(v))x+x(αφ2(u)+βφ2(v)).

(14)

結(jié)合式(13)和式(14)可得

φ1(αu+βv)x+xφ2(αu+βv)=

(αφ1(u)+βφ1(v))x+x(αφ2(u)+βφ2(v)),整理得

[φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)]x+

x[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)]=0.

(15)

特別地,令x=I,有

[φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)]+

[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)]=0，

即

φ1(αu+βv)-αφ1(u)-βφ1(v)=

-[φ2(αu+βv)-αφ2(u)-βφ2(v)].

(16)

從而由定義2知,映射φ1,φ2:U→U都是模線性映射.

φ(x,y)=φ3(x)y+yφ4(x).

(17)

類似于上述證明,同理可證:映射φ3,φ4:U→U都是模線性映射.從而,映射φ1,φ2,φ3,φ4都是三角代數(shù)U上的模線性映射.

(18)

將式(18)代入式(17),可得

φ(x,y)=φ3(x)y+yφ4(x)=

(xA-ξ2(x))y+y(Bx+ξ2(x))=xAy+yBx.

證畢.結(jié)論成立.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

The Equivalence of Generalized Biderivation of Triangular Algebra

LIULijun*

(SchoolofMathematicsandComputerScience,ShaanxiUniversityofTeachnology,Hanzhong723000,China)

Abstract：LetU=Tri(A,M,B)beatriangularalgebra.Abilinearmapφiscalledageneralizedbiderivationifitisageneralizedderivationwithrepecttobotharguments.Byusingofoperatortheorymethods,thedefinitionsofgeneralizedbiderivationaregave.Onthisbasis,therationalcharacterizationsofeverygeneralizedbiderivationontriangularalgebraarealsodiscussed.Accondingtothematrixstructureoftriangularalgebra,anewformofgeneralizedbiderivationisobtained,andsomeresultsofgeneralizedbiderivationintherelatedreferencesaregeneralized.

Keywords：triangularalgebra;biderivation;generalizedbiderivation

收稿日期：2015-05-18《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

基金項目：陜西省教育廳自然科學(xué)研究計劃項目(2013Jk0571)

*通訊作者:劉莉君,講師,Email:lljgsjys@163.com.

中圖分類號：O177.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-5463(2016)01-0123-03