貴金屬價(jià)格預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型研究

楊馨園　趙穎祺　吳曼　劉進(jìn)祿　徐捷　劉可　高翔

摘要：為研究貴金屬價(jià)格的變化趨勢(shì)，以100g現(xiàn)貨黃金Au100g為例進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和建模。綜合考慮多重因素對(duì)貴金屬價(jià)格的影響，主要包括石油價(jià)格、通貨膨脹（具體體現(xiàn)在居民消費(fèi)物價(jià)指數(shù)、商品零售價(jià)格指數(shù)等）、人民幣美元匯率、股票市場(chǎng)（具體可以體現(xiàn)在道瓊斯指數(shù)、納斯達(dá)克指數(shù)、滬深指數(shù)等），整合07年以來(lái)近九年的Au100g價(jià)格日數(shù)據(jù)和月度數(shù)據(jù)以及各種影響因素的相關(guān)數(shù)據(jù)。利用馬爾科夫模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、偏最小二乘分析等多種數(shù)學(xué)模型，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從長(zhǎng)短期等多角度進(jìn)行充分的數(shù)據(jù)挖掘，進(jìn)而預(yù)測(cè)Au100g的價(jià)格，本文重點(diǎn)以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型展開(kāi)介紹。

關(guān)鍵詞：貴金屬價(jià)格預(yù)測(cè)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；馬爾科夫模型；偏最小二乘分析

中圖分類號(hào)：TF83 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2016）012-000-04

一、模型一：馬爾科夫模型

1.馬爾科夫模型基本介紹

馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建，即利用初始狀態(tài)的概率向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)推測(cè)預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)某一時(shí)間所處的狀態(tài)。S（k）=S（k-1）· P=S（0）·Pk，其中，P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。由模型可知，第K期的狀態(tài)概率取決于初始狀態(tài)概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的K次方。由此可見(jiàn)，若已知初始狀態(tài)概率向量S（0）及轉(zhuǎn)移矩陣P，則可求出預(yù)測(cè)對(duì)象在任一時(shí)間處于任一狀態(tài)的概率。

2.馬爾科夫模型的約束性[1]

運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)模型對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象在預(yù)測(cè)期間的約束條件為：

（1）每一個(gè)時(shí)期向下一個(gè)時(shí)期的轉(zhuǎn)移概率不變，均為一步轉(zhuǎn)移概率；

（2）預(yù)測(cè)期間狀態(tài)的個(gè)數(shù)不變；

（3）無(wú)后效性，即狀態(tài)的轉(zhuǎn)移僅與它前一期的狀態(tài)和取值有關(guān)，而與前一期以前所處的狀態(tài)和取值無(wú)關(guān)。符合上述約束條件的預(yù)測(cè)對(duì)象即構(gòu)成馬爾科夫過(guò)程，我們可對(duì)其建立預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

但值得注意的是，由于長(zhǎng)期來(lái)看轉(zhuǎn)移概率矩陣將發(fā)生變化，馬爾科夫預(yù)測(cè)法只適合于短期預(yù)測(cè)。在短期內(nèi)，如果貴金屬市場(chǎng)無(wú)特殊事件發(fā)生，運(yùn)行正常，那么貴金屬價(jià)格的變化過(guò)程可看作一個(gè)動(dòng)態(tài)的隨機(jī)過(guò)程，滿足馬爾科夫過(guò)程的條件，可以運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)法進(jìn)行價(jià)格的預(yù)測(cè)。

3.模型的建立與求解

步驟如下：

①根據(jù)歷史數(shù)據(jù)推算貴金屬價(jià)格的轉(zhuǎn)移率，算出轉(zhuǎn)移率的轉(zhuǎn)移矩陣；

②統(tǒng)計(jì)作為初始時(shí)刻點(diǎn)的貴金屬價(jià)格分布狀況；

③建立馬爾科夫模型，預(yù)測(cè)未來(lái)貴金屬價(jià)格供給狀況。

本文選取2015年6月-2016年2月共183個(gè)交易日的收盤價(jià)變動(dòng)情況為例，將黃金價(jià)格的增長(zhǎng)率劃分為5種狀態(tài)：快速增長(zhǎng)（價(jià)格增長(zhǎng)超過(guò)0.05%）、緩慢增長(zhǎng)、相對(duì)不變、緩慢下降、快速下降（價(jià)格下跌超過(guò)0.05%），分別記為狀態(tài)1、2、3、4、5。

由程序運(yùn)行結(jié)果知：出現(xiàn)各種狀態(tài)的次數(shù)矩陣如下：

又因?yàn)樽詈笠粋€(gè)交易日的大盤狀態(tài)為4，所以預(yù)測(cè)下一個(gè)交易日黃金價(jià)格處于狀態(tài)1、2、3、4、5的概率矩陣為[0 0.5278 0.0694 0.3889 0.0139]，即下一個(gè)交易日黃金價(jià)格緩慢增長(zhǎng)的可能性最大，概率為52.78%。進(jìn)而求出兩補(bǔ)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

預(yù)測(cè)下一個(gè)交易日黃金價(jià)格處于狀態(tài)1、2、3、4、5的概率矩陣為[0.0057 0.4997 0.0710 0.4078 0.0158]，即再下一個(gè)交易日黃金價(jià)格仍然是緩慢增長(zhǎng)的可能性最大，概率為49.97%。但是可以看出價(jià)格處于四種狀態(tài)的概率越來(lái)越接近，預(yù)測(cè)結(jié)果越來(lái)越不明顯，所以表明馬爾科夫模型只適用于做短期預(yù)測(cè)。

由求解結(jié)果與實(shí)際金價(jià)對(duì)比可知，運(yùn)用馬爾科夫方法構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型對(duì)貴金屬價(jià)格的預(yù)測(cè)顯示出一定的成功率。當(dāng)然，也應(yīng)該指出這種概率預(yù)測(cè)方法得出的結(jié)果只是表明了預(yù)測(cè)對(duì)象將來(lái)將以某一概率趨向于某種狀態(tài)，而不是絕對(duì)處于這種狀態(tài)，也并不能完全得到貴金屬價(jià)格的具體數(shù)值。由于貴金屬市場(chǎng)的波動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，貴金屬價(jià)格的變化受到了多種因素的影響，因而包括馬爾科夫預(yù)測(cè)法在內(nèi)的任何一種預(yù)測(cè)方法都不可能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出貴金屬價(jià)格每日的變化。雖然運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)法對(duì)金價(jià)作短期預(yù)測(cè)只能取得一定的效果，但其新的預(yù)測(cè)思路也頗具借鑒意義。

二、模型二：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基本介紹

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由具有適應(yīng)性的簡(jiǎn)單單元組成的廣泛并行互連的網(wǎng)絡(luò)，它的組織能夠模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)對(duì)真實(shí)世界物體所作出的交互反應(yīng)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是訓(xùn)練方式為誤差反向傳播，激勵(lì)函數(shù)為S-sigmoid函數(shù)，即為：f（x）=1/（1+exp（-x））。BP網(wǎng)絡(luò)模型處理信息的基本原理是：輸入信號(hào)通過(guò)中間節(jié)點(diǎn)（隱層點(diǎn)）作用于輸出節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)非線形變換，產(chǎn)生輸出信號(hào)，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的每個(gè)樣本包括輸入向量和期望輸出量，網(wǎng)絡(luò)輸出值與期望輸出值之間的偏差，通過(guò)調(diào)整輸入節(jié)點(diǎn)與隱層節(jié)點(diǎn)的聯(lián)接強(qiáng)度取值和隱層節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)接強(qiáng)度以及閾值，使誤差沿梯度方向下降，經(jīng)過(guò)反復(fù)學(xué)習(xí)訓(xùn)練，確定與最小誤差相對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（權(quán)值和閾值），訓(xùn)練即告停止。此時(shí)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即能對(duì)類似樣本的輸入信息，自行處理輸出誤差最小的經(jīng)過(guò)非線形轉(zhuǎn)換的信息。

BP網(wǎng)絡(luò)模型包括其輸入輸出模型、作用函數(shù)模型、誤差計(jì)算模型和自學(xué)習(xí)模型[2]。

節(jié)點(diǎn)輸出模型

f-非線形作用函數(shù)；q-神經(jīng)單元閾值；

作用函數(shù)模型

誤差計(jì)算模型

誤差計(jì)算模型是反映神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期望輸出與計(jì)算輸出之間誤差大小的函數(shù)，本文所采取的是殘差計(jì)算方式：

其中，表示 i節(jié)點(diǎn)的期望輸出值；表示i節(jié)點(diǎn)計(jì)算輸出值。

學(xué)習(xí)（權(quán)值更正）模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程，即連接下層節(jié)點(diǎn)和上層節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)重拒陣的設(shè)定和誤差修正過(guò)程。BP網(wǎng)絡(luò)有導(dǎo)師學(xué)習(xí)方式-需要設(shè)定期望值和無(wú)導(dǎo)師學(xué)習(xí)方式-只需輸入模式之分。自學(xué)習(xí)模型

表示學(xué)習(xí)因子；表示輸出節(jié)點(diǎn)i的計(jì)算誤差；表示輸出節(jié)點(diǎn)j的計(jì)算輸出；表示動(dòng)量因子。

過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與一般的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大的不同在于，某一時(shí)刻的系統(tǒng)輸入量不止是當(dāng)前時(shí)刻的輸入量，而且還包含之前某段時(shí)間的輸入量，輸入層節(jié)點(diǎn)用于接受時(shí)變的輸入函數(shù)，個(gè)時(shí)變輸入函數(shù)的空間加權(quán)聚合、時(shí)間累積聚合以及激勵(lì)運(yùn)算，并將運(yùn)算結(jié)果輸出至輸出層；輸出層也不僅接受來(lái)自隱層神經(jīng)元的激勵(lì)計(jì)算結(jié)果，而且直接接受來(lái)自輸入層的時(shí)變輸入函數(shù)信號(hào)，并將接受到的信號(hào)在進(jìn)行完空間加權(quán)聚合及時(shí)間累積聚合的運(yùn)算后完成系統(tǒng)的激勵(lì)輸出。

2.過(guò)程BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型建立

由于黃金價(jià)格的自身時(shí)間序列預(yù)測(cè)，是根據(jù)之前某段時(shí)間的價(jià)格預(yù)測(cè)之后某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格，基于這一點(diǎn)思想，建立了過(guò)程BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由于對(duì)輸入量時(shí)間維度的階數(shù)最優(yōu)性的不確定，本文分別構(gòu)建了1-12階的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即當(dāng)前系統(tǒng)的輸入量分別為之前1-12個(gè)時(shí)刻的輸入值（黃金價(jià)格），以此來(lái)構(gòu)建1-12階的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。分別比較得到的12個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出與預(yù)期輸出的關(guān)系，選取其中誤差最小的階數(shù)，作為最優(yōu)過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)。

同時(shí)對(duì)于劃分好的輸入量，輸出量，選取其中的百分之九十進(jìn)行學(xué)習(xí)，并用剩余的百分之十進(jìn)行檢驗(yàn)，即可以防止學(xué)習(xí)不足，數(shù)據(jù)信息提取不完善，又可以做到防止過(guò)擬合，過(guò)度依賴于原數(shù)據(jù)而失去了對(duì)其他數(shù)據(jù)的處理能力。

輸入量和相應(yīng)輸出量數(shù)據(jù)提取。在進(jìn)行第階的過(guò)程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造時(shí)，輸入量的組數(shù)為 [N/k]（其中N為總黃金價(jià)格日數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)），其中第組輸入量為，輸出量分別為。

輸入量和相應(yīng)輸出量的歸一化處理。由于數(shù)據(jù)差異性基本都在同一數(shù)量級(jí)，為了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值不會(huì)特別受輸入量，本文所采取的歸一化方式為把最小值歸一化為0，把最大值歸一化為1，歸一化公式如下：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建。過(guò)程BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)選取為，輸入神經(jīng)元個(gè)數(shù)等于階數(shù)，共含有兩個(gè)隱含層，每個(gè)隱含層含有五個(gè)神經(jīng)元，輸出神經(jīng)元個(gè)數(shù)為1，基本結(jié)構(gòu)如下：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程按照梯度下降法進(jìn)行，以11階輸入為例，學(xué)習(xí)過(guò)程的相關(guān)圖像如下。

隨著迭代次數(shù)的殘差變化情況如下：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)參數(shù)值的變化示意圖如下：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練45代之后，訓(xùn)練數(shù)據(jù)、測(cè)試數(shù)據(jù)、檢驗(yàn)數(shù)據(jù)和全部數(shù)據(jù)分別與實(shí)際數(shù)據(jù)的相關(guān)性程度示意圖如下：

利用學(xué)習(xí)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，并根據(jù)誤差計(jì)算公式，計(jì)算分析每一階數(shù)的預(yù)測(cè)效果。

3.模型的求解

模型求解得到階數(shù)1-12的預(yù)測(cè)誤差如下：

在此給出具有代表性的兩幅預(yù)測(cè)圖像：

（即綜合誤差最大的2階圖像、綜合誤差最小的10階圖像）

最優(yōu)階數(shù)所對(duì)應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練結(jié)果如下：

三、模型三：偏最小二乘法

1.偏最小二乘法基本介紹[3]

偏最小二乘法的基本公式為：

偏最小二乘回歸≈主成分分析+典型相關(guān)分析+ 多元線性回歸分析[4]

偏最小二乘法的基礎(chǔ)是最小二乘法，在盡可能提取包含自變量更多信息的成分的基礎(chǔ)上，保證了提取成分和因變量的最大相關(guān)性，即偏愛(ài)與因變量有關(guān)的部分，所以稱其為偏最小二乘回歸。

2.模型的建立與求解

模擬黃金價(jià)格與各因素之間的關(guān)系，變?yōu)闃?gòu)造一個(gè)變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系。通過(guò)主成分分析的方法，在自變量中提取主要成分，在因變量中提取主要成分，并且讓（通過(guò)典型相關(guān)分析實(shí)現(xiàn)），然后進(jìn)行因變量，若精度滿足要求，即在本文中要求交叉有效性小于0.0985，則停止進(jìn)行下一個(gè)主成分的選取。否則再繼續(xù)選取第二主成分，然后進(jìn)行，直到滿足精度的要求。當(dāng)構(gòu)建完成，再得到因變量與自變量偏最小二乘方程[5]。

經(jīng)Matlab程序運(yùn)行后得到交叉有效性-0.1723以及主成分的系數(shù)矩陣，進(jìn)而得到因變量與自變量之間的偏最小二乘回歸方程：

易知三種方法的精確程度：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)>偏最小二乘分析>馬爾科夫模型。馬爾科夫模型精度最低，我們僅用該模型通過(guò)黃金價(jià)格的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)及大致浮動(dòng)范圍，無(wú)法加入相關(guān)因素的擾動(dòng)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)對(duì)真實(shí)世界物體所作出的交互反應(yīng)，因此其預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合度最高。偏最小二乘分析法則是通過(guò)純數(shù)理方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，相對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)缺少交互性。

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