利用幾何畫(huà)板探索圓錐曲線試題題根的教學(xué)案例

江蘇省海門(mén)中學(xué)證大校區(qū)　　黃衛(wèi)平　　(郵編：226100)

?

利用幾何畫(huà)板探索圓錐曲線試題題根的教學(xué)案例

江蘇省海門(mén)中學(xué)證大校區(qū)黃衛(wèi)平(郵編：226100)

對(duì)于一個(gè)試題，削弱其條件，加強(qiáng)其結(jié)論，追根溯源得到一個(gè)更加普遍性意義的結(jié)論，這就是這個(gè)試題的題根．如果我們對(duì)一個(gè)試題疑似它有一個(gè)有價(jià)值的題根，就應(yīng)該大膽進(jìn)行猜測(cè)，探索論證其正確性．研究試題的題根，對(duì)教師而言，能夠有效提升業(yè)務(wù)素質(zhì)，對(duì)命制試卷具有題庫(kù)作用；對(duì)學(xué)生而言，培養(yǎng)研究探索精神和推理論證能力大有益處．在圓錐曲線問(wèn)題中，利用幾何畫(huà)板研究問(wèn)題的一般性，探索結(jié)論的正確性具有特殊的優(yōu)勢(shì)．

下面以一道2015年江蘇高考學(xué)科基地秘卷(數(shù)學(xué)第十套)(江蘇人民出版社)上的試題為例，和大家分享利用幾何畫(huà)板探索圓錐曲線試題題根的教學(xué)案例．

(1)求該橢圓的方程；

(2)求證：直線MN恒過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．

通過(guò)幾何畫(huà)板演示發(fā)現(xiàn)(如圖3)，結(jié)論是肯定的，下面進(jìn)行證明．

①

②

下面證明，當(dāng)PM、PN斜率都存在時(shí)，直線MN也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

設(shè)直線PM的方程為y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立，消去y,整理得

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,由韋達(dá)定理可知，

所以yM=kxM+(y0-kx0)

將上述繁分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并將分子分母分別按k進(jìn)行降冪排列，得到

探索2當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，這個(gè)定點(diǎn)Q的軌跡有什么特征？

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y),則

這就是點(diǎn)Q的軌跡方程，軌跡為橢圓，而且這個(gè)橢圓和已知橢圓以原點(diǎn)為中心位似．

探索3如果將條件中的“垂直”改為“其它角度”，結(jié)論又會(huì)如何？

我們以直線PM、PN相交成30°為例，通過(guò)幾何畫(huà)板演示發(fā)現(xiàn)，直線MN沒(méi)有過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，但是得到一個(gè)有趣的結(jié)論：直線MN形成一個(gè)包絡(luò)，這個(gè)包絡(luò)是橢圓(如圖4)．這個(gè)結(jié)論利用微分幾何知識(shí)可以證明，在此就不證明了．

我們將上面的探索結(jié)果系統(tǒng)整理成以下結(jié)論：

且這個(gè)橢圓和已知橢圓以原點(diǎn)為中心位似．

(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時(shí)，直線MN不過(guò)定點(diǎn)，但是直線MN形成一個(gè)橢圓包絡(luò)．

探索4對(duì)于雙曲線是否具有類(lèi)似結(jié)論？

由雙曲線方程的特點(diǎn)可知，將結(jié)論1中的b2改為-b2就可以得到如下結(jié)論：

(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時(shí)，直線MN不過(guò)定點(diǎn)，但是直線MN形成一個(gè)雙曲線包絡(luò)．

探索5對(duì)于拋物線是否也有上述類(lèi)似的結(jié)論呢？

通過(guò)幾何畫(huà)板演示發(fā)現(xiàn)，拋物線也有上述類(lèi)似的結(jié)論．

結(jié)論3設(shè)P(x0，y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作兩條直線PM、PN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)PM⊥PN時(shí)，直線MN恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q(x0+2p，-y0),若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)定點(diǎn)Q的軌跡為拋物線y2=2p(x-2p)(p>0),且這個(gè)拋物線是已知拋物線向右平移2p個(gè)單位所得．

(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時(shí)，直線MN不過(guò)定點(diǎn)，但是直線MN形成一個(gè)拋物線包絡(luò)．

證明如圖5，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2),

所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q(x0+2p，-y0).

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)定點(diǎn)Q點(diǎn)軌跡為拋物線y2=2p(x-2p)(p>0),且這個(gè)拋物線是已知拋物線向右平移2p個(gè)單位所得．

(2)這個(gè)結(jié)論利用微分幾何知識(shí)可以證明，在此就不證明了．

以上的探索過(guò)程層層深入，將原試題對(duì)特殊曲線、特殊位置的結(jié)論推廣到一般圓錐曲線、一般位置的結(jié)論，得到了具有更加廣泛意義的題根．現(xiàn)代信息技術(shù)、幾何畫(huà)板的使用，使圖形的變化更為直觀，給探索問(wèn)題提供方便，使課堂注入了新的活力，學(xué)生對(duì)這樣的課堂很有興趣，參與探索和研究的積極性很高，而且對(duì)橢圓和拋物線問(wèn)題的證明，分別采取了不同的合理方法．這樣的課堂應(yīng)該多加嘗試、研究．

(收稿日期：2016-03-12)