三角形分割成兩個等腰三角形的條件探究

安徽省合肥市第四十八中學　　陶興高　　何軍成　　(郵編：230061)

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三角形分割成兩個等腰三角形的條件探究

安徽省合肥市第四十八中學陶興高何軍成(郵編：230061)

“綜合與實踐”課是以具體問題為載體，學生經(jīng)歷設計解決問題方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，且在過程中不斷總結(jié)反思，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題，是幫助學生獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑．在“綜合與實踐”課上學生通過對有關(guān)問題的探討，結(jié)合已有的知識和生活經(jīng)驗，通過獨立思考或與他人合作，感悟數(shù)學各部分之間的聯(lián)系、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，從而激發(fā)數(shù)學學習的興趣，加深對所學數(shù)學內(nèi)容的了解，發(fā)展應用意識和能力．

下面筆者以一節(jié)“綜合與實踐”課，即“三角形分割成兩個等腰三角形的條件探究”為例，談談對“綜合與實踐”課的一些設想和思考．

1“三角形分割成兩個等腰三角形的條件探究”的教學主要過程

1.1情境創(chuàng)設

教師：同學們，我們學習三角形時，有時會遇到一些三角形，它們可以分割成兩個等腰三角形，有的卻不可以，一個三角形能否分割成兩個等腰三角形顯然與該三角形滿足的條件有關(guān)，本節(jié)課我們將通過動手畫圖、認真思考，并利用我們已有的知識來共同探究三角形能分割成兩個等腰三角形的條件．

1.2共同探究

環(huán)節(jié)1復習相關(guān)知識，初步體驗“分割”

教師：頂角為36°或108°的等腰三角形也叫做“黃金三角形”，你能求出黃金三角形的底角嗎？你是怎樣求的？

學生1：當頂角為36°時，這個“黃金三角形”的底角為72°，當頂角為108°時，這個“黃金三角形”的底角為36°．當已知頂角，可以根據(jù)利用三角形內(nèi)角和定理求出兩個底角的和，又因為“等腰三角形的兩個底角相等”，可求出底角的度數(shù)．

教師：很好，顯然在等腰三角形中，已知頂角的度數(shù)可以求出底角的度數(shù)，另外也可以已知底角的度數(shù)求出頂角的度數(shù)．

教師：如圖1所示，△ABC為黃金三角形，其中∠A=108°，∠B=∠C=36°，作底角∠ABC的角平分線BD，可將△ABC分割成兩三角形△ABD和△DBC，說一說這兩個三角形各角的度數(shù)？△ABD和△DBC是等腰三角形嗎？

學生3：△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∠ADB=108°；△DBC中，∠C=∠BDC=72°，∠DBC=36°.根據(jù)“等角對等邊”，它們都是等腰三角形.

教師：顯然圖1所示的“黃金三角形”是可以分割成兩個等腰三角形的，分割線就是底角平分線.

(說明：過三角形一個頂點作一直線，將該三角形分割成兩個三角形，頂點和對邊交點之間的線段，本文中稱之為“分割線”)

活動意圖本環(huán)節(jié)是通過介紹“黃金三角形”(也是等腰三角形)，鞏固等腰三角形的相關(guān)知識，即三角形的內(nèi)角和定理、“等邊對等角”和“等角對等邊”等．它們是本節(jié)數(shù)學活動課的知識基礎；通過了解頂角為36°的“黃金三角形”的分割，讓學生初步了解三角形分割成兩個等腰三角形的情形，感知如何“分割”，為接下來的嘗試“分割”作鋪墊．

環(huán)節(jié)2先嘗試“分割”，到會“分割”

教師：我們要探究出三角形分割成兩個等腰三角形的條件，先要會“分割”，下面來看如圖2所示，△ABC為“黃金三角形”，其中∠A=108°，∠B=∠C=36°，試將其分割成兩個等腰三角形？

(教師巡視課堂，觀察學生嘗試“分割”的過程，適時啟發(fā)、引導，鼓勵同學之間相互交流)

教師：為實現(xiàn)上述活動的目標，實際上是找出什么？

學生4：找出分割線，且這條分割線將原三角形分割成兩個分別有兩個角相等的三角形．

教師：非常好，有同學找出分割線了嗎？

學生5：我的分割線是AD，(給出圖3)，其中△ABD中，∠B=∠BAD=36°，∠ADB=108°；在△ADC中，∠C=36°，∠CAD=∠ADC=72°．

學生6：我的分割線AD位置不同，(給出圖4)其中△ABD中，∠B=36°，∠BAD=∠ADB=72°；△ADC中，∠C=∠CAD=36°，∠ADC=108°．

教師：兩位同學的結(jié)果都是對的，根據(jù)等腰三角形的軸對稱性可知，它們可看作為同一種情形．哪位同學能說一說你是怎樣找的？

學生7：我是分情況討論，首先過頂點A作分割線AD，使得AB=AD或AB=BD或AD=BD，即△ABD為等腰三角形，再通過計算角的度數(shù)來判斷△ADC是否為等腰三角形，如果是，則可以確定這個三角形能被分割成兩個等腰三角形；再分別過B、C作分割線，用同樣的方法進行嘗試．

教師：好，你很細心、認真，利用分情況討論來進行嘗試分割，看來我們對于一個三角形要討論幾次？

學生8：9次，但是有些情況不存在，可以不需要討論下去，例如過頂點A的分割線AD，如果AD=AB，則C與D重合；過頂點B的分割線BE，如果AB=AM，則M與C重合；如果BA=BM，則∠BMA=∠BAC=108°，則△ABM的內(nèi)角和大于180°；如果AM=BM，則∠ABM=∠BAC=108°，則△ABM的內(nèi)角和大于180°；過頂點C作分割線，根據(jù)軸對稱性，情形與過頂點B作分割線一樣．

教師：看來同學們在嘗試分割的過程中探討和交流得很深入、很全面，大家基本上掌握了分割的方法．例如嘗試分割△ABC，先過頂點A作分割線，具體操作過程如下圖所示，再分別過B、C作分割線，以相同方法分析．

教師：剛才的探究讓我們知道了怎樣找出分割線，將三角形分割成兩個等腰三角形．下面我們來試著將如圖5所示的△DEF(∠D=60°，∠E=40°，∠F=80°)分割成兩個等腰三角形？

……

(具體操作探究過程與上例大致相同，此處不再贅述)

活動意圖本環(huán)節(jié)是對兩個具體三角形進行分割，第一個是頂角為108°“黃金三角形”，因為該三角形是特殊的等腰三角形，對其進行嘗試分割，過程較為簡單，學生容易取得成功，從而能激發(fā)學生進一步探究的欲望，同時也獲取了將三角形分割兩個等腰三角形的一般程序和方法，積累操作經(jīng)驗．第二個三角形為不等邊三角形，對它的分割則是鞏固剛剛獲得的方法，并進一步增強分割三角形的操作體驗．

環(huán)節(jié)3猜想能“分割”的條件，并證明

教師：下圖是剛才出現(xiàn)的能分割成兩個等腰三角形的三個三角形，仔細觀察，你能猜想出三角形分割成兩個等腰三角形的條件嗎？

學生9：我的猜想是“當三角形中有一個角是另一個角的2倍時，這個三角形能夠分割成兩個等腰三角形，此時的分割線過第三個頂點”．

教師：很好，你會證明嗎？

學生10：會，(結(jié)合所畫圖)設∠B為α，∠C為2α，AD為分割線，且令AD=BD(△ABD為等腰三角形)，則有∠BAD=∠B=α，所以∠ADC=∠BAD+∠B=2α，所以∠BDC=∠C=2α，所以△BDC也是等腰三角形．

教師：太好了，有猜想，有證明．你在什么時候就有這樣的猜想了？

學生11：在畫圖嘗試分割時，就有這樣的猜想．

教師：看來同學們在嘗試分割時不僅認真操作，而且還認真思考．是不是“只要三角形中有一個角是另一個角的2倍時，這個三角形就一定能夠分割成兩個等腰三角形”呢？

學生12：還要加一個條件，2倍角必須是銳角，因為如果2倍角是直角或鈍角時，不可能作為等腰三角形的底角．

教師：分析的很有道理，這樣我們就得到結(jié)論1“當三角形中有一個角是另一個角的2倍，且2倍角為銳角時，這個三角形能夠分割成兩個等腰三角形，此時的分割線過三個頂點”．還有其他的猜想嗎？并能證明嗎？

學生13：我的猜想是“當三角形中有一個角是另一個角的3倍時，這個三角形能夠分割成兩個等腰三角形，此時分割線過3倍角的頂點”．

教師：好，沒有其他條件的補充，那么怎樣證明？

學生14：(結(jié)合所畫圖)設∠B為α，∠ACB為3α，CD為分割線，且令CD=BD(△BDC為等腰三角形)，則有∠DCB=∠B=α，所以∠ADC=∠DCB+∠B=2α，∠ACD=∠ACB-∠DCB=2α，所以∠ADC=∠ACD=2α，所以△ADC也是等腰三角形．

教師：這樣我們得到結(jié)論2“當三角形中有一個角是另一個角的3倍時，這個三角形能夠分割成兩個等腰三角形，此時分割線過3倍角的頂點”．同學們還有其他的猜想或發(fā)現(xiàn)嗎？

……(學生吃驚、疑惑)

教師：圖6、圖7和圖8中的三個三角形，它們的分割線在兩個等腰三角形中，分別作為什么身份出現(xiàn)？

學生15：分割線有時在兩個等腰三角形中均為腰，有時為其中一個的底，為另一個的腰．(此時出示圖6、圖7和圖8中各分割線的身份說明)

教師：那么有可能存在一個三角形，能分割成兩個等腰三角形，且分割線均為兩個等腰三角形的底嗎？

學生16：不存在，(結(jié)合所畫圖)假設△ABD和△ADC為等腰三角形，分割線AD均為二者的底，則∠BDA=∠BAD，∠CDA=∠CAD，又因為∠BDA+∠CDA=180°，所以∠BAD+∠CAD=180°，則三角形內(nèi)角和大于180°，這顯然不可能．

教師：很好，利用反證法來證明．還有其他情形嗎？

學生17：我發(fā)現(xiàn)還有一種情況，分割線同時為兩個等腰三角形的腰，但是它們的頂角頂點是同一點，這與已經(jīng)分析過的分割線同時是兩個等腰三角形的腰，但是它們的頂角頂點不是同一點這情形不一樣，(結(jié)合所畫圖)△ABD和△ADC均為等腰三角形，其中DA=DB，CA=CD(點D同為兩個等腰三角形的頂角頂點)，設∠B為α，∠C為β，則∠B=∠BAD=α，∠C=∠CAD=β，又因為∠B+∠C+∠CAB=180°，所以∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=2α+2β=180°，即α+β=90°，所以我發(fā)現(xiàn)所有直角三角形都能分割成兩個等腰三角形，此時分割線過直角頂點(結(jié)論3)．

(教室響起了熱烈的掌聲)

教師：老師也由衷為你喝彩，欣賞你會觀察，會發(fā)現(xiàn)，并會分析問題和解決問題．下面我們來總結(jié)一下我們的探究結(jié)果：

根據(jù)“分割線的出現(xiàn)時身份”可知，它只有四種可能：分割線均作為腰，它的兩個端點分別為頂角頂點；分割線均作為腰，它的某一端點同時作為頂角頂點；既作為腰，又作為底；同時作為底．四種情形我們都已探究過，所以我們今天這節(jié)課“三角形分割成兩個等腰三角形的條件”的探究已經(jīng)結(jié)束……

圖形能分割的條件其中一個角是另一個角的2倍,其中2倍是銳角其中一個角是另一個角的3倍直角三角形分割線的位置過第三個角的頂點過3倍角的頂點過直角頂點分割線出現(xiàn)時的身份均作為腰,分割線的兩個端點分別為頂角頂點既作為腰,又作為底均作為腰,分割線的某一端點同時作為頂角頂點

活動意圖通過展示上一環(huán)節(jié)出現(xiàn)的能分割成兩個等腰三角形的三個三角形，引導學生仔細觀察，回憶“分割”操作的過程，利用操作過程中的經(jīng)驗和感悟，提出“猜想”，并證明、歸納得到結(jié)論1和結(jié)論2；通過提問“能分割成兩個等腰三角形的三個三角形，它們的分割線在兩個等腰三角形中，分別作為什么身份出現(xiàn)？”引導學生觀察、對比和思考，發(fā)現(xiàn)還有另外兩種情況(情況一：分割線是兩個等腰三角形的底；情況二：分割線同時作為兩個等腰三角形的腰，分割線的某一端點同時作為兩個等腰三角形頂角頂點)，并進行分析、證明，獲得結(jié)論3．從通過“嘗試分割”收獲操作感悟來探究條件，到“假設能分割，分割線可能具有的身份”來探究條件，方式發(fā)生了改變，難度增加，但卻讓學生清楚，我們已經(jīng)探究出全部情形.另外這樣設計有助于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，有助于培養(yǎng)學生邏輯思維的嚴密性和完善性．

2點評

《數(shù)學課程標準(2011年版)》指出：數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的主要標志.幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果.“綜合與實踐”是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體.本節(jié)課的教學圍繞“三角形能分割成兩個等腰三角形的條件探究”這一問題核心，開展了一系列數(shù)學活動.在整個探究過程中，真正體現(xiàn)出實踐活動為手段，具體問題為載體，積累數(shù)學活動經(jīng)驗為目的的教學特點與形式．在學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗方面，這節(jié)課具體體現(xiàn)了以下幾點：

2.1在“操作”與“思考 ”中，積累活動操作的經(jīng)驗

經(jīng)驗離不開活動，數(shù)學活動是經(jīng)驗產(chǎn)生的源泉，因此離開了數(shù)學活動，就根本不會形成有意義的數(shù)學活動經(jīng)驗，只有親身經(jīng)歷體驗了才能形成經(jīng)驗．本節(jié)課，學生首先通過觀察頂角為36°的“黃金三角形”的分割情形，初步體會分割，接著讓學生從簡單而易操作的頂角為108°的“黃金三角形”進行實踐(動手畫)、觀察分析(動眼看)、計算(動筆算)、思考(動腦想)，得到將三角形分割成兩個等腰三角形的一般程序和方法，再嘗試分割第二個三角形(三個內(nèi)角分別為40°、60°和80°)，進一步鞏固和加深前面的操作經(jīng)驗和體驗．這一系列具體操作和思考活動，讓學生會借助數(shù)據(jù)進行數(shù)學思考，積累了根據(jù)特例概括一般規(guī)律的經(jīng)驗，進一步提升了抽象、概括、判斷等思維能力．

2.2在“反思”中，積累解決問題的經(jīng)驗

我國著名數(shù)學教育家曹才翰先生曾經(jīng)提過“培養(yǎng)學生對學習過程進行反思的習慣，提高學生的思維自我評價水平，這是提高學習效率，培養(yǎng)數(shù)學學習能力的行之有效的方法”.本節(jié)課要解決的問題是探究三角形分割成兩個等腰三角形的條件，問題的解決是基于學生有兩點生成：第一，會利用上一環(huán)節(jié)嘗試“分割”的操作過程中所積累的經(jīng)驗和感悟，進行歸納反思，猜想出三角形能分割成兩個等腰三角形的可能具有的條件(結(jié)論1，結(jié)論2)；第二，對于“直角三角形能分割成兩個等腰三角形”(結(jié)論3)的探究，在沒有具體實例嘗試“分割”的經(jīng)歷的情況下，通過對比分割線出現(xiàn)時的身份不同，反思發(fā)現(xiàn)還可能有的情形，即“分割線均作為腰，它的其中一端點同時作為兩個等腰三角形頂角頂點”．在上述問題解決的過程中，學生不斷地進行歸納、對比、概括等活動，并據(jù)此提出猜想，證明猜想，并對猜想作必要的修改完善.這種對剛剛經(jīng)歷的活動過程(條件、步驟、方法等)的反思，有助于讓學生積累解決問題的經(jīng)驗.

2.3在“做數(shù)學”中，積累問題探究的經(jīng)驗

建構(gòu)主義指出：數(shù)學學習并非是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構(gòu)過程.也就是說數(shù)學知識必須基于個人對經(jīng)驗的操作、交流，通過反思來主動建構(gòu).教師應努力給學生搭建“自主學習”的平臺，從而有效地讓學生領(lǐng)悟數(shù)學思想和數(shù)學方法，啟發(fā)學生積極思維，引導學生自己探索、發(fā)現(xiàn)新知識，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.根據(jù)本節(jié)課所探究的問題的特點，教師合理設計數(shù)學活動環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷了“做數(shù)學”式的探究數(shù)學問題的過程：提出問題(探究三角形分割成兩個等腰三角形的條件)→分析問題(感受“分割”，嘗試“分割”)→解決問題(提出猜想，并予以證明，歸納結(jié)論).在探究過程中，學生可以體會：問題解決與什么元素有直接關(guān)聯(lián)，問題解決的關(guān)鍵是什么，問題解決的方法有哪些等等.顯然學生在以“做數(shù)學”的形式進行數(shù)學探究，不僅高效地解決了問題，同時還積累問題探究的經(jīng)驗.

(收稿日期：2016-03-15)