例談多變量問題的減元策略

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué)，210044)

例談多變量問題的減元策略

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué)，210044)

含有多個(gè)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的最值問題近幾年在高考中經(jīng)常出現(xiàn),而且難度較大,學(xué)生對(duì)此類問題感覺比較棘手．解決多元目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是通過減元把它變?yōu)閱巫兞康暮瘮?shù)問題或者雙變量的基本不等式問題．如何減元,具有較強(qiáng)的技巧性,常常需要根據(jù)題目的特點(diǎn),靈活選擇合適的消元方法．

一、直接法

所謂直接法,就是直接利用所給的幾個(gè)變量間的等量關(guān)系式，用其他變量表示其中一個(gè)變量，從而達(dá)到減元的目的．

解由已知得z=x2-3xy+4y2.

又∵x,y>0，

∴x+2y-z=-2y2+4y

=-2(y-1)2+2(y>0)

∴當(dāng)y=1,x=2時(shí),x+2y-z有最大值2，選C.

解由x-2y+3z=0，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.

二、換元法

解多元目標(biāo)函數(shù)問題時(shí),可以把含有兩個(gè)變量的某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)新的變量去代替它,從而使問題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理．

例4已知a>b>c,求證：

解設(shè)a-b=x,b-c=y，則

a-c=x+y.

因?yàn)閍>b>c，所以x>0,y>0.

問題轉(zhuǎn)化為：已知x>0,y>0,求證：

結(jié)論顯然成立.

三、利用除法

有些多元問題,所給已知條件和目標(biāo)都是含有多參數(shù)的齊次式,這種情況下利用等式或分式的基本性質(zhì)在等式或不等式兩邊或分式的分子和分母同除以其中一個(gè)變量然后換元就可以巧妙的起到減元的效果.

由b+c≥a且a,b,c均為正數(shù)，得

分析由題意，得

四、降位法

所謂降位法,就是在處理多元問題時(shí)將其中一個(gè)變量的地位“降低”,讓它作為字母系數(shù),這樣問題就有多元問題轉(zhuǎn)化為二元或一元的大家非常熟悉的方程或不等式的問題,從而順利解決．

例8(2014年浙江高考題)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a的最大值.

設(shè)b=x,c=y，則問題轉(zhuǎn)化為若方程組

有解，求a的取值范圍中的最大值.

于是問題歸結(jié)為：當(dāng)直線x+y=-a與圓x2+y2=1-a2有交點(diǎn)(相交或相切)時(shí)(如圖1),求a的取值范圍.

評(píng)注該題涉及到三個(gè)變量,用代數(shù)法處理有些棘手.我們首先設(shè)b=x,c=y,把a(bǔ)的地位由變量降為參系數(shù),這樣問題就轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的二元方程組有解的問題,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題,利用幾何法較容易的得到問題的解．

減元思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一.它既可以顯性的表現(xiàn)為具體的技能,如降冪、減少變量的個(gè)數(shù)等,又指導(dǎo)著思維的方向,如對(duì)題設(shè)或結(jié)論的簡(jiǎn)化意識(shí)等．在解題的動(dòng)態(tài)思維過程中,如能緊扣消元的數(shù)學(xué)思想,重視消元法的應(yīng)用,就會(huì)感受柳暗花明又一村的樂趣.