構(gòu)造基本不等式求函數(shù)最值的八種策略

施貴軍

(貴州省息烽縣第一中學(xué)，551100)

構(gòu)造基本不等式求函數(shù)最值的八種策略

施貴軍

(貴州省息烽縣第一中學(xué)，551100)

(1)表達(dá)式中含變量的項(xiàng)均為正;(2)表達(dá)式中含變量的項(xiàng)之和或積為定值;(3)表達(dá)式中含變量的項(xiàng)可以相等，簡(jiǎn)稱“一正,二定,三相等”.搞清楚了這幾點(diǎn),在運(yùn)用基本不等式求解相關(guān)最值問題時(shí)就會(huì)少犯錯(cuò)誤.下面談一談運(yùn)用基本不等式求最值的解題策略.

策略1負(fù)化正構(gòu)造

如果含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù),可通過添加負(fù)號(hào),將變量轉(zhuǎn)化為正數(shù),再利用基本不等式求解.

解因?yàn)閤<0,所以-x>0,則

策略2常數(shù)代換構(gòu)造

在求二元或三元條件最值時(shí),若能觀察到已知條件中的“1”(或可化為“1”)與要求解的式子的關(guān)系(常數(shù)通?？勺?yōu)?)，并能靈活地進(jìn)行代換,則可快速求解.

解因?yàn)閤+y+z=2,所以

策略3添項(xiàng)構(gòu)造

策略4拆項(xiàng)構(gòu)造

除了添項(xiàng)構(gòu)造,有時(shí)為了創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件,需要將一些項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?拆分成多項(xiàng)之和或分解為多個(gè)因子之積,使得和或積為常數(shù).通常情況下,為了使等號(hào)成立,遵循“平均拆分”原則.

例6已知ab>0,且ab2=2,求ab+b2+3的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=1時(shí)取等號(hào),所以ab+b2+3的最小值是6.

例7已知0

分析這是一個(gè)求三次函數(shù)在開區(qū)間(0,1)上的最值問題,一般用導(dǎo)數(shù)解決,通過觀察構(gòu)造基本不等式求解方法更好,速度更快.

解因?yàn)?

策略5配湊構(gòu)造

用基本不等式求最值時(shí),根據(jù)所求式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常通過配湊方法把所求式的某些因子同乘以或同除以某一正數(shù),使含變量的各因子之和(積)為定值且能夠相等.

策略6平方構(gòu)造

解題中常會(huì)遇到帶有二次根號(hào)的函數(shù)最值求解,若觀察到被開方數(shù)和為定值,則可采用平方湊和為定值解決.

分析本題解法較多,可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或用導(dǎo)數(shù)求解,也可用基本不等式求解.

策略7換元構(gòu)造

對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的式子,通過變形可以整體上換元構(gòu)造基本不等式求解,此法多用于多元函數(shù)最值的求解.

分析這是一個(gè)二元最值問題,且題設(shè)中沒有給出x,y的關(guān)系,經(jīng)過適當(dāng)變形可用基本不等式求解.有三種變形途徑:(1)分子分母同時(shí)除以xy;(2)分子分母同時(shí)除以x2;(3)分子分母同時(shí)除以y2.采用第三種途徑更好.

策略8引入?yún)?shù)構(gòu)造

參數(shù)具有橋梁的作用,引入?yún)?shù)是為了把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的討論.如果上述幾種策略無法或不容易構(gòu)造基本不等式,則可考慮引入?yún)?shù).

例11求函數(shù)y=x(x+3)(5-x)(0

分析和例7一樣,這是一個(gè)三次函數(shù)求最值問題,通常用導(dǎo)數(shù)求解,能否構(gòu)造基本不等式解決呢?例7中我們構(gòu)造了x+x+(2-2x)=2(常數(shù)),但本例中x+x+3+5-x不是常數(shù),而且不易觀察出如何配湊系數(shù),若要構(gòu)造基本不等式求解,可用待定系數(shù)法調(diào)整系數(shù).

解設(shè)aby=ax·(x+3)·b(5-x)(其中a>0,b>0,a,b為待定系數(shù)).

又設(shè)ax+(x+3)+b(5-x)=(a+1-b)x+(3+5b)為常數(shù),則

a-b+1=0.

①

又由取等號(hào)的條件ax=x+3=b(5-x)，得

②

由①，②，解得

當(dāng)且僅當(dāng)2x=x+3=3(5-x),即x=3時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)最大值為36.

實(shí)際上，對(duì)于這種類型的三次函數(shù)最值問題,只要能夠保證通過配湊系數(shù)使各項(xiàng)之和為定值且能夠取等號(hào),均可利用基本不等式求解，無需采用導(dǎo)數(shù).

總之,在使用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)一定要注意基本不等式成立的條件(一“正”,二“定”,三“相等”)；一定要多思考,多嘗試,多研究，這樣才會(huì)有更深入的認(rèn)識(shí).