解析幾何定點問題探究

江中偉

(廣東省大埔縣虎山中學(xué)，514299)

○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

解析幾何定點問題探究

江中偉

(廣東省大埔縣虎山中學(xué)，514299)

近幾年高考中常常出現(xiàn)有關(guān)解析幾何的定點問題. 解決這些問題的思維障礙在于:一是定點究竟在哪里;二是面對字母運(yùn)算不得要領(lǐng),難以找到合理的突破口而陷入繁雜的運(yùn)算. 本文試圖通過近幾年的高考(或模擬)試題的分析,對定點問題的常見類型和對應(yīng)的解題方法做逐一的介紹；通過這些方法的介紹,使得學(xué)生在運(yùn)算能力,簡化運(yùn)算的策略等方面有所提高.

一、直線恒過定點問題

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點A2,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),將y=kx+m代入橢圓方程，得

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

y1=kx1+m,y2=kx2+m.

∵以AB為直徑的圓過橢圓右頂點A2(2,0),

∴(x1-2,y1)·(x2-2,y2)

=(x1-2) (x2-2)+y1y2

=(x1-2) (x2-2)

+(kx1+m) (kx2+m)

=(k2+1)x1x2+(km-2) (x1+x2)

+m2+4

整理得 7m2+16km+4k2=0，

當(dāng)m=-2k時,直線l為y=k(x-2),恒過定點A2(2,0),不合題意舍去;

評注解決動直線恒過定點問題的一般思路是設(shè)出直線y=kx+m(k存在的情況)；然后利用條件建立k與m的關(guān)系借助于點斜式方程確定定點坐標(biāo).

例2(2013年陜西高考題)已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1) 求動圓圓心的軌跡C的方程;

(2) 已知點B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q, 若x軸是∠PBQ的角平分線, 證明直線l過定點.

解(1)y2=8x.(過程略)

(2) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b,與y2=8x聯(lián)立可得k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0).設(shè)P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),若x軸是∠PBQ的平分線,則

即k=-b.

故直線l的方程為y=k(x-1),直線過定點(1,0).

二.動圓恒過定點問題

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q. 試探究: 在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由．

4k2-m2+3=0，

(*)

由x=4與y=kx+m,得

xQ=4,yQ=4k+m.

假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件,由圖形對稱性知,點M必在x軸上.

故存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

實際上,本題也可以先用特殊情況探路得出以PQ為直徑的圓過點M(1,0),再證明一般情況下也成立(同理有些直線恒過定點問題也可以用此法). 又如:

(1)求橢圓C1的方程;

(2)證明:無論點T運(yùn)動到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上一定點.

(2)設(shè)點T的坐標(biāo)為(x0,y0),圓C3的半徑為r.

∵點T是拋物線C2上的動點,

∵圓C3與y軸交于M,N兩點,且|MN|=4，

∴圓C3的方程為

(*)

此時圓C3的方程為

x2+y2=4.

分別把點(2,0)和(-2,0)代入方程(*)檢驗,可知點(2,0)恒符合方程(*),點(-2,0)不恒符合方程(*).

因此無論點T運(yùn)動到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上的定點(2,0).

評注本題的求解充分運(yùn)用了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,其優(yōu)越性體現(xiàn)在定點的確定指明了探究的方向,從而將動態(tài)探索的問題轉(zhuǎn)化為定點證明(檢驗)的問題,大大降低了問題的難度.