例說一類遞推數(shù)列問題的求解方法

黃建榮

(江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué)，225411)

例說一類遞推數(shù)列問題的求解方法

黃建榮

(江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué)，225411)

在數(shù)學(xué)競(jìng)賽或高考中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)形如an+1=λan+kqn+c的數(shù)列問題.這種題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，變化較多，學(xué)生往往思維堵塞，難以理清頭緒，找不到解題的切入點(diǎn).解決這類題目主要思想方法是化歸思想，即將其轉(zhuǎn)化為常見的等差或等比數(shù)列，但是由于其錯(cuò)綜復(fù)雜，使得轉(zhuǎn)化比較困難.現(xiàn)通過例題對(duì)它的三種特殊類型進(jìn)行解析.

一、形如an+1=λan+kqn(c=0,λ≠q)

例1已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正，a1=2,an+1=2an+3·5n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析本題的解法是利用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列.

解設(shè)an+1+k·5n+1=2(an+k·5n),

則an+1=2an+2k·5n-k·5n+1

=2an+(2k-5k)·5n

=2an-3k·5n,

比較系數(shù)得k=-1.

∴an+1-5n+1=2(an-5n)(n≥1),

∴an-5n是以a1-5=-3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴an-5n=-3×2n-1,

∴an=5n-3×2n-1.

評(píng)注本題在求解中注意到λ≠q這個(gè)因素，通過待定系數(shù)法構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列.要注意的是在用待定系數(shù)法設(shè)定的等式中左邊5的冪指數(shù)是n+1,右邊5的冪指數(shù)是n,與相應(yīng)項(xiàng)的下標(biāo)一致，2是原遞推關(guān)系中an的系數(shù)λ.

例2已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn滿足：2Sn=an+1-2n+1+1,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解在2Sn=an+1-2n+1+1中，令n=1,得2S1=a2-22+1,即a2=2a1+3.

令n=2，得2S2=a3-23+1,即a3=6a1+13.

∵a1,a2+5,a3成等差數(shù)列，

∴2(a2+5)=a1+a3,

∴4a1+16=a1+6a1+13,

∴a1=1,a2=5.

∵2Sn=an+1-2n+1+1,

∴2Sn+1=an+2-2n+2+1.

兩式相減，得2an+1=an+2-an+1-2n+1,

∴an+2=3an+1+2n+1.

(*)

設(shè)an+2+k·2n+2=3(an+1+k·2n+1),則

an+2=3an+1+k·2n+1,

與(* )比較得k=1，

∴an+2+2n+2=3(an+1+2n+1)(n≥1).

又a2+22=9,a1+21=3,

∴a2+22=3(a1+21),

∴a2+2n是以a1+21=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

∴an+2n=3×3n-1=3n,

∴an=3n-2n.

二、形如an+1=λan+kqn(c=0,λ=q)

例3已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正，a1=2,an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析在本題的遞推關(guān)系中，λ=q,解題時(shí)可以在等式兩邊同除以qn,構(gòu)造一個(gè)新的等差數(shù)列.

解∵an=2an-1+2n+1,

等式同邊同時(shí)除以2n,得

∴an=(2n-1)·2n.

評(píng)注注意本題中λ=q，等式兩邊同時(shí)除以qn(有時(shí)也可以是qn-1,qn+1)，譬如這一題也可以這樣解：

∵an=2an-1+2n+1,

等號(hào)兩邊同時(shí)除以2n+1,得

例4已知數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=4an+2,n∈N*,a1=1.

(1)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an+1-2an,求證{bn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)an.

解(1)∵Sn+1=4an+2,

∴Sn+2=4an+1+2.

兩式相減，得

Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,

即an+2=4an+1-4an,

∴an+2-2an+1=2(an+1-2an)(n≥1),

即bn+1=2bn.

∵S2=4a1+2,∴1+a2=4+2,

∴a2=5,

∴b1=a2-2a1=3,

∴{bn}是等比數(shù)列.

(2){bn}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴bn=3×2n-1,∴an+1-2an=3×2n-1,

∴an+1=2an+3×2n-1.

等式兩邊同時(shí)除以2n+1,得

三、形如an+1=λan+kqn+c(c≠0,λ=q)

例5數(shù)列{an}滿足an+1=2an+2n-1(n∈N*),a1=2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

分析注意本題中c≠0,λ=q，先將常數(shù)-1放入數(shù)列中，構(gòu)成一個(gè)新的遞推公式，得到形如bn+1=λbn+qn(λ=q)的遞推關(guān)系；再根據(jù)λ=q情形的處理方法，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列.

解由an+1=2an+2n-1,設(shè)

an+1+m=2(an+m)+2n,

則an+1=2an+2n+m，

與原遞推關(guān)系比較，得m=-1，

∴an+1-1=2(an-1)+2n(n≥1).

等式兩邊同時(shí)除以2n+1,得

∴an=n·2n-1+1.

點(diǎn)評(píng)本題分兩步，第一步處理常數(shù)-1，第二步等式兩邊同時(shí)除以2n+1，構(gòu)造新的等差數(shù)列.

例6數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27.

(1)求a1,a2的值；

解(1)∵an=2an-1+2n+1,

令n=2,得a2=2a1+4+1=2a1+5.

令n=3,得

a3=2a2+9=2(2a1+5)+9

=4a1+19=27.

∴a1=2,a2=9.

(2)設(shè)an+m=2(an-1+m)+2n,

則an=2an-1+m+2n,∴m=1，

∴an+1=2(an-1+1)+2n.

等式兩邊同時(shí)除以2n,得