高中數(shù)學(xué)中分類討論思想的探究

李冬明

【摘要】分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置.要掌握這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，需要搞清楚兩個問題，即為什么要討論，怎樣討論.

【關(guān)鍵詞】分類討論；數(shù)學(xué)思想

分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答，實質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.要用好分類討論的思想解決問題必須注意以下幾個方面.

一、弄清分類討論的原因

（1）由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對值的定義，不等式的定義，二次函數(shù)的定義，直線與平面所成的角，直線的傾斜角，兩條異面直線所成的角等問題.

（2）由數(shù)學(xué)運算引起的分類討論：如導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號，除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求等問題.

（3）由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的前n項和公式等問題.

（4）由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如含參數(shù)的方程、不等式，含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、值域（最值）等問題.

（5）由圖形不確定引起的分類討論：如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關(guān)系等問題.

（6）其他根據(jù)實際問題具體分析而引起的分類討論：如排列組合，概率等實際問題.

二、確定分類討論依據(jù)

實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無規(guī)定.但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗.常見的情形略舉以下幾例：

1.依據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論

例1 已知集合A和集合B各含有10個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：①CA∪B且C中含有3個元素；② C∩A≠.

解析 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素.并由含A中元素的個數(shù)1、2、3，而將取法分三種.

點評 當(dāng)已知條件不能確定圖形的位置時，在求解或證明過程中，則需根據(jù)可能出現(xiàn)的圖形位置進(jìn)行分類.此類問題在立體幾何和解析幾何中較為常見.

三、把握分類討論應(yīng)遵循的原則和步驟

1.原則：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，其中最重要的一條是“不漏不重”.

2.基本步驟：（1）分類轉(zhuǎn)化，結(jié)合已知所涉及的知識點，找到合理的分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）依次求解，在每一類所滿足的條件下，逐類求解；（3）匯總作答，匯總分類結(jié)果，得出結(jié)論.

四、分類討論應(yīng)注意的問題

在運用分類討論解題時，我們要明確分類的原因是什么？對象是什么？分幾個類別？不僅要掌握分類的原則，而且要把握分類的時機(jī)，重視分類的合理性與完整性.

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具很大的幫助.如果能很好地掌握這種分類討論思想，再聯(lián)系數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想等解題思想方法，則必可在解決高中數(shù)學(xué)中一些綜合性難題的時候，達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題目的.