基于學(xué)生視角的自然解法

張德超

“數(shù)學(xué)是自然的”，“數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的”這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中回歸自然。在日常的教學(xué)中，有些題目的答案對(duì)于學(xué)生來說很難想得到。筆者有一習(xí)慣，先做題再和答案比較，課堂上鼓勵(lì)學(xué)生分享他們自己的答案。有時(shí)覺得同學(xué)們的答案略微遜色，但也是“真情流露”，解法樸實(shí)、自然，更是沒有“代溝”。現(xiàn)就以（2014·重慶）第18題為例，談?wù)剰膶W(xué)生視角看自然解法。

學(xué)生是怎樣想到這樣解的呢？是觸類旁通還是靈機(jī)一動(dòng)？讓我們聽聽學(xué)生最真實(shí)的聲音。

學(xué)生1：記得以前做過用四點(diǎn)共圓解決線段長(zhǎng)度的問題，有想到老師說過兩個(gè)直角三角形共斜邊時(shí)這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)是共圓的，于是很容易用圓的有關(guān)性質(zhì)解決角相等的問題，這樣就可以證明，得到想要的結(jié)果。

學(xué)生2：根據(jù)題目條件可知，如果能證明就可以得到結(jié)果，又根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直和已知的垂直條件可以看出點(diǎn)O，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以

即可證明，得到OF=。

學(xué)生3：因?yàn)檎叫蔚奶厥庑?，本身非常?duì)稱，所以我思考能不能通過圖形的旋轉(zhuǎn)得到想要的結(jié)果。于是嘗試畫出圖形得到如右圖所示的情況，但是要以正確的方式進(jìn)行敘述才可以。過點(diǎn)O作OG垂直于OF交BE于點(diǎn)G，再證明全等就可以得到結(jié)論（這種全等三角形的證明是非常經(jīng)典的全等三角形中的一種）。當(dāng)時(shí)我做題時(shí)也是抱著嘗試的態(tài)度來解題，沒想到寫著寫著就看到了希望。

我們常常思考如何引導(dǎo)學(xué)生，沒想到這節(jié)課被學(xué)生引導(dǎo)。當(dāng)“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”的時(shí)候，是尷尬還是欣慰？本人一直是欣慰的。當(dāng)他們知識(shí)儲(chǔ)備不夠時(shí)老師引導(dǎo)著他們向前走；當(dāng)他們知識(shí)積累到一定程度時(shí)，能夠觸類旁通，從已有的經(jīng)驗(yàn)解決未知的問題時(shí)，老師陪著他們走，并且邊走邊給他們喝彩。學(xué)生的解題方法往往令老師感到驚奇，他們對(duì)方法不斷優(yōu)化的專研精神令人感動(dòng)。這樣看來，教師教學(xué)的過程，也是自身成長(zhǎng)的過程。如果教學(xué)只是老師的一言堂，那教學(xué)便無(wú)樂趣可言；如果所有的數(shù)學(xué)題都只有固定的解題方法，那數(shù)學(xué)便無(wú)進(jìn)步可言。

3、每個(gè)學(xué)生都有自己的最近發(fā)展區(qū)

學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程不同，知識(shí)基礎(chǔ)不同，最近發(fā)展區(qū)也會(huì)有所差別。比如有的學(xué)生善于構(gòu)造，有的學(xué)生長(zhǎng)于推理，因?yàn)槿伺c人的思維方式不同，在交流中碰撞互補(bǔ)，方顯數(shù)學(xué)變換無(wú)窮的魅力。最求自然解法正如曾國(guó)藩語(yǔ)：“天下之至拙，能勝天下之至巧”，在“拙”和“巧”之間，沒有絕對(duì)的分界線，好方法，得之自然，成之天然，適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的就是最好的。

綜上，筆者認(rèn)為，幾何題解法自然生成需要三個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）我學(xué)過什么：題中的條件，題中的條件、重要信息要與學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)（含基本圖形與結(jié)論）、基本技能、基本方法聯(lián)系起來，沒有聯(lián)系，就打不開思路。聯(lián)系是解法自然生成的起點(diǎn)；

（2）條件給我什么：一個(gè)思路的形成，可以從結(jié)論出發(fā)，采用分析法——“要求什么，需要求什么”，把問題問題落到一個(gè)具體的已知條件或事實(shí)，讓學(xué)生覺得合情合理。條件的分析是解法自然生成的拓路者；

通過這三個(gè)環(huán)節(jié)，使學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，喚醒過程經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷理性分析，構(gòu)建知識(shí)模型，最終促進(jìn)學(xué)生解法的自然生成。