生活中的一次函數(shù)

馬嬌

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生活中的一次函數(shù)

馬嬌

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，同學(xué)們?nèi)裟莒`活運用數(shù)學(xué)知識解決生活問題，不僅能提高對數(shù)學(xué)知識的掌握理解能力，更能提高對知識的綜合運用水平.

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在生活中，一次函數(shù)隨處可見：某人帶了100元錢，要去買3元一只的羽毛球，他買了x只羽毛球，剩下的錢數(shù)y=-3x+100，在這里-3是一次函數(shù)中k的值，它的實際意義是買一個羽毛球花了3元，100是一次函數(shù)中b的值，它的實際意義是該人共帶了100元.本文通過幾例生活中常見問題的分析，提供函數(shù)問題的處理方法，希望能幫助同學(xué)們更好地解決實際問題.

例（2010·江蘇無錫）某客船往返于A、B兩碼頭，在A、B間有旅游碼頭C.客船往返過程中，船在C、B處停留時間忽略不計，設(shè)客船離開碼頭A的距離s（千米）與航行的時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：

圖1

（1）船只從碼頭A→B，航行的速度為______千米/時；船只從碼頭B→A，航行的速度為______千米/時；

（2）過點C作CH∥t軸，分別交AD、DF于點G、H，設(shè)AC=x，GH=y，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若旅游碼頭C設(shè)在離A碼頭30千米處，一旅游團隊在旅游碼頭C分兩組行動，一組乘橡皮艇漂流而下，另一組乘船到達碼頭B后，立即返回.

①求船只往返C、B兩處所用的時間；

②兩組在途中相遇，求相遇時船只離旅游碼頭C有多遠.

【分析】根據(jù)本題提供的背景，不難看出是行程問題中的水流問題，同學(xué)們?nèi)裟芸焖俳Y(jié)合圖像中D（3，90）、F（7.5，0）的實際意義，便能順利求出順流的速度VA→B== 30（km/h），逆流的速度VB→A==20（km/ h），進而求出靜水中的速度25 km/h和水流速度5 km/h.

在大家解答問題（2）的過程中發(fā)現(xiàn)，有三種不同的解決策略，供大家交流.

方法1：函數(shù)解析法

【思路分析】利用題目給定的函數(shù)信息，將AC=x轉(zhuǎn)化成函數(shù)意義為客船從A駛向B離開A碼頭x km，客船從B返回A還距離A碼頭x km，GH表示客船在往返A(chǔ)、B兩碼頭的過程中離A碼頭還有x km要用的時間，因而GH表示兩個時間的差，只需求出表示AD、DF兩條直線的解析式，當(dāng)s=x后H與G兩點橫坐標(biāo)的差即為y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【解析】由題知：sAD=30t，sDF=-20t+150；

當(dāng)s=x時，tG=，tH=；

溫馨提示：函數(shù)圖像的呈現(xiàn)使我們可以直接利用圖像信息（圖像上有具體數(shù)值的點坐標(biāo)）求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合問題中的量的含義進行函數(shù)信息的轉(zhuǎn)化.利用函數(shù)解析式解決實際問題關(guān)鍵在于找到并理解圖像信息中的點的實際意義，正確與實際問題中的相關(guān)量進行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)解析式進行解答.這一方法培養(yǎng)了同學(xué)們的函數(shù)思想，在理解函數(shù)信息的基礎(chǔ)上巧妙與實際問題聯(lián)系，提升同學(xué)們的函數(shù)識圖能力，提高同學(xué)們解決函數(shù)問題的能力.

方法2：實際應(yīng)用法

【思路分析】將本問題實際化，CH∥t軸，說明GH表示的是時間，將GH轉(zhuǎn)化成客船從離A碼頭x km的地方出發(fā)到B碼頭后返回到剛才的出發(fā)地所用的時間，而AB間的距離為90 km，出發(fā)地離A碼頭x km，故往返所行進的距離為90-x，利用時間的計算公式求出兩端的時間和就可.

【解析】由（1）已知順流的速度VA→B==30（km/h），逆流的速度VB→A==20（km/h）；

【溫馨提示】函數(shù)問題的背景是實際生活情境，將函數(shù)問題實際化，利用實際問題的處理思路和方法，抓住實際生活問題中的公式，用實際生活背景方式解決.同學(xué)們對于行程問題很是熟悉，根據(jù)水流問題中的順流、逆流公式及行程問題中的線段分析方法，同學(xué)們能較快正確地利用速度、時間與路程之間的關(guān)系表示出題中線段的含義，進行解決.這一方法培養(yǎng)了同學(xué)們實際問題的處理能力，提升了大家的互化技能，突出了函數(shù)信息實際問題解決策略的運用.

方法3：幾何圖形法

【思路分析】不受題目給定的函數(shù)圖像誘導(dǎo)，把題目條件看作為幾何圖形，由CH∥t得到三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例列出關(guān)系式.

【解析】設(shè)CH交DE于P，則PE=AC= x，DP=90-x，∵CH∥t，∴△DGH∽△DAF，

【溫馨提示】將函數(shù)信息問題幾何圖形化，把函數(shù)圖像抽象成幾何圖形，抓住幾何圖形的性質(zhì)得到關(guān)系式列出等式得出結(jié)論.函數(shù)圖像幾何圖形化是解決函數(shù)信息題的一種好方法，由于在函數(shù)圖像中會出現(xiàn)一些與坐標(biāo)軸平行的線段，因而利用線段的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成幾何圖形中的全等、相似或直角三角形等相關(guān)知識加以解決.這一方法培養(yǎng)了大家的識圖能力，提升學(xué)生的圖形間互化的技能.

對于問題（3），同學(xué)們理解了問題（2）的三種不同的處理方法，運用實際應(yīng)用法或函數(shù)圖像解析法就可解決，本文介紹函數(shù)解析法供參閱.

如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)客船、橡皮艇離開碼頭C的距離s（千米）與航行的時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

圖2

SAB=-20t+100，SOC=5t，

由題知-20t+100=5t，t=4，

故S=5×4=20.

從上述兩例可以看出一次函數(shù)所描述的關(guān)系在生活中很多，利用一次函數(shù)可以更好地認(rèn)識生活中一些事物的規(guī)律.筆者在進行生活數(shù)學(xué)問題的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)在處理過程中只會解題，不會思考，不會類比，不會抓問題的關(guān)鍵，更不會主動提問，處理問題和靈活應(yīng)變的能力都很薄弱.因而希望同學(xué)們在解答數(shù)學(xué)問題時要抓住問題的癥結(jié)，充分挖掘題目中的信息與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，巧妙利用數(shù)學(xué)知識對實際生活中的問題進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進行有效解答，提升自己的綜合實力.

（作者單位：江蘇省無錫市陽山中學(xué)）