淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透與學(xué)生能力的培養(yǎng)

云南省宣威市第七中學(xué)校 王開良

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象，它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想方法，就是在解決代數(shù)問題時，揭示出隱含在它內(nèi)部的幾何背景，啟發(fā)思維，找到解題途徑。那么在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，如何培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力呢？

一、重視“形”的滲透，引導(dǎo)學(xué)生成“圖”在胸

數(shù)形結(jié)合的思想方法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，貫穿始終。學(xué)生要能熟練的掌握和運(yùn)用，并上升為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。首先我們得幫助學(xué)生“裝”圖，并成圖在胸。學(xué)生胸?zé)o點(diǎn)墨便作不出好文章，同樣在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若學(xué)生胸中無圖，又怎能數(shù)形結(jié)合！更談不上提升數(shù)學(xué)能力。所以我們教師在教學(xué)中要潛移默化地滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，讓學(xué)生心中充滿“形”，才能作出大文章。

二、重視 “形”的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識

數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)、研究和掌握運(yùn)用，讓它真正成為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的利器?；钣脭?shù)形結(jié)合思想能使學(xué)的抽象思維和形象思維結(jié)合起來，從而形成一種解題的思想意識?？v觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，我們要讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合思想的妙用與奇效。下面我們例舉數(shù)形結(jié)合思想方法的各種運(yùn)用。

1.利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問題

例．【2003全國理】設(shè)函數(shù)f（x）＝｛若f(x0)>1,則x0)的取值范圍是（ ）。

A、（-1，1）

B、（－1，＋∞ ）

C、（-，－2）（0，+）

D、（-，－1）（1，+）

分析:本題主要考查函數(shù)的基本知識，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及考生借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

一般解法：解得x＜-1或x＞1（難解、易錯）。 解法2（數(shù)形結(jié)合）：如圖1，在同一坐標(biāo)系中，

作出函數(shù)y=f(x）的圖象和直線y=l，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點(diǎn)，因?yàn)閒(x)>1由圖得 x＜-1 或 x＞1。

2.利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程解的個數(shù)問題

例．方程 lgx=sinx的實(shí)數(shù)根的個數(shù)是( )。

A 1 個 B 2個C 3個 D 4個

分析：本題用代數(shù)的方法求解該方程

是很困難的，故考慮用數(shù)形結(jié)合法，方程的解是函數(shù)y=lgx與y=sinx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在同一坐標(biāo)系里作出兩函數(shù)的圖像，如右圖，看出兩個圖象有三個交點(diǎn)，故方程有三個解故選C。

3.利用數(shù)形結(jié)合思想代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線斜率問題

例.【1990年全國理】如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是（ ）則 y=xk 代入方程由判別式大于等于零得解。采用數(shù)形結(jié)合思想方法來做，可以立竿見影：方程 (x?2 )2+y2=3

分析：代數(shù)方法很繁瑣：令表示坐標(biāo)平面上以為（2，0）圓心，為半徑的圓（如上圖）。而則表示圓上的點(diǎn)（x,y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率，如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖知當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，口算即得最大值為，故選D。

4.利用數(shù)形結(jié)合思想解求參數(shù)取值范圍問題

1.若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和-3之間，求k的取值范圍。

分析：一元二次方程根的分布從“形”的角度很難理解，但采用數(shù)形結(jié)合思想來做則很直觀，令f(x)=x2+2kx+3k=0則其圖像與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是原方程的根。由下圖可知要使方程兩根分布在-1和3之間，只需

同時成立，解得：

?1

三、注重“反思、總結(jié)”的作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，我們在教學(xué)中不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識、技巧、方法，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思、總結(jié)，提煉數(shù)學(xué)思想。其實(shí)技巧只是解決問題的特殊手段，方法是解決一類問題的共同手段，而思想是方法的升華。所以最高層的是數(shù)學(xué)思想，所以我要引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真反思、總結(jié)把學(xué)生學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)能力提升到一個更高的層面。如果學(xué)生不會反思、總結(jié)解題的方法、技巧、以及所用的思想方法，那他們一定學(xué)不好數(shù)學(xué)，永遠(yuǎn)是模仿，或掌握的是解題技能，方法，而無法領(lǐng)悟到解覺數(shù)學(xué)問題最深層的精靈——數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合思想方法是高中數(shù)學(xué)中最重要是數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用廣泛，貫穿整個高中紅數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。那么數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透、運(yùn)用、總結(jié)、提煉、升華顯得尤為重要。它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、運(yùn)用中的作用在我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生的詩中得以充分印證：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。所以我們在教學(xué)中一定要加大引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、反思的力度，讓數(shù)形結(jié)合思想方法在學(xué)生頭腦中生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果。

總之，在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)與形的結(jié)合，一方面是通過數(shù)量關(guān)系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)，像解析幾何、立體幾何（向量法）這些知識就是建立在這種思想方法的基礎(chǔ)上。用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問題，成為現(xiàn)在數(shù)學(xué)的先驅(qū)。幾何問題代數(shù)化，這乃是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。我們說“數(shù)形結(jié)合”是發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)越性，而不是幾何取代代數(shù)；另一方面是利用幾何圖形的直觀，揭示數(shù)量關(guān)系中許多深刻的特性。數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個基本方法，深刻理解這一觀點(diǎn)，并在我們的教學(xué)中注重滲透，靈活運(yùn)用，強(qiáng)化訓(xùn)練，反思總結(jié)，注意提煉升華，形成解題思維，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，有利于夠迅速提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。