張梅
摘 要 通過具體例題,介紹求函數(shù)值域(最值)的常用方法。
關(guān)鍵詞 值域(最值)方法 函數(shù) 求解策略
中圖分類號(hào):G683.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A
1函數(shù)的值域(最值)的知識(shí)點(diǎn)
(1)函數(shù)的值域:函數(shù),(集合A是函數(shù)的定義域)。與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值,函數(shù)值的集合(函數(shù)的值域。
(2)最大值定義:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對(duì)于任意的,都有;(2)存在,使得。稱是函數(shù)的最大值。
(3)最小值定義:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,如果存在實(shí)數(shù)滿足:(1)對(duì)于任意的,都有;(2)存在,使得。稱是函數(shù)的最小值。
(4)一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值,且值域?yàn)椤?/p>
2函數(shù)的值域(最值)求解策略
函數(shù)的值域(最值)沒有通性解法,只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法,下面見方法。
2.1分析觀察法
對(duì)于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的函數(shù),可以通過基本初等函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域(最值)
例1:求下列函數(shù)的值域。
2.2分離常數(shù)法
對(duì)于形如的函數(shù),可采用分離常數(shù)法求值域(最值)。
例2:求函數(shù)的值域。
2.3反解x法
對(duì)于形如(或能夠轉(zhuǎn)化為)的函數(shù),可以采用反解x法求值域(最值)。
例3:求下列函數(shù)的值域。
2.4配方法
對(duì)于二次函數(shù)或能夠轉(zhuǎn)化為的函數(shù),可以通過配方法求函數(shù)的值域(最值)。
例4:求下列函數(shù)的值域。
函數(shù)圖像是對(duì)稱軸為的開口向下的拋物線,
2.5換元法
用新變量代替原來函數(shù)中的某部分對(duì)象,實(shí)現(xiàn)化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理超越式為代數(shù)式等,將比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域(最值)的函數(shù)進(jìn)行求解。
例5:求下列函數(shù)的值域。
當(dāng)即也即時(shí),有最小值;
當(dāng)即也即時(shí),有最大值。
值域?yàn)椤?/p>
點(diǎn)評(píng):換元法要注意考慮新元“t”的取值范圍。
2.6單調(diào)性法
對(duì)于能快速判斷單調(diào)性的函數(shù),可采用單調(diào)性法求值域(最值)。
例6:函數(shù)的值域?yàn)開_________。
解:函數(shù)的定義域?yàn)椋@然在其定義域上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最小值,故值域?yàn)椤?/p>
2.7判別式法
對(duì)于形如、、的函數(shù),我們可以將其轉(zhuǎn)化為的形式,再通過求得的范圍。但當(dāng)函數(shù)為指定的函數(shù)時(shí),用判別式法求出y的范圍后,應(yīng)將端點(diǎn)值代回到原函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn),避免發(fā)生錯(cuò)誤。
2.8數(shù)形結(jié)合法
通過聯(lián)想,構(gòu)造幾何模型,探求問題的簡(jiǎn)捷解法。對(duì)于形如的最值問題,我們一般可以轉(zhuǎn)化為的斜率問題;對(duì)于形如的最值問題,我們一般可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距問題;對(duì)于形如的最值問題,我們一般可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題。
2.9構(gòu)造輔助角法
由于正余弦函數(shù)都是有界函數(shù),值域?yàn)閇-1,1],通過構(gòu)造輔助角,利用函數(shù)的有界性,可求得(最值)。
2.10導(dǎo)數(shù)法
一般地,當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜而使用其它方法未能奏效時(shí),我們往往可以使用導(dǎo)數(shù)法來進(jìn)行求解。