關(guān)于正矩陣性質(zhì)的幾個(gè)不等式及Holder、Minkowski不等式的推廣與發(fā)展

劉珍儒

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

關(guān)于正矩陣性質(zhì)的幾個(gè)不等式及Holder、Minkowski不等式的推廣與發(fā)展

劉珍儒

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：推廣得到了關(guān)于正矩陣性質(zhì)的幾個(gè)不等式，借此推廣發(fā)展了經(jīng)典的Holder、Minkowski不等式，并利用這些成果給出了恒正可積函數(shù)列的廣義Holder及廣義Minkowski積分不等式.

關(guān)鍵詞：正矩陣； 矩陣的冪平均； 冪不等式

1基本概念

定義2設(shè)A為m×n階矩陣.若A中各元素均為正數(shù)，即稱A為正矩陣.本文中考慮的矩陣皆指正矩陣，不再重述.

矩陣各行(或各列)的平均系數(shù)，簡(jiǎn)稱為行(或列)權(quán)系數(shù).本文限定：同一矩陣各行取相同的行權(quán)系數(shù)，各列取相同的列權(quán)系數(shù).

定義3對(duì)矩陣A各行的S次冪平均值，按矩陣A列權(quán)系數(shù)，作t次冪平均后的所得值，簡(jiǎn)稱A的“行S次冪平均的列t次冪平均”.記為lt[Hs(A)].

類似，對(duì)A各列的t次冪平均值，按A的行權(quán)系數(shù)，作S次冪平均后所得值，簡(jiǎn)稱矩陣A的“列t次冪平均的行S次冪平均”.記為Hs[lt(A)].

(1)

(2)

矩陣A的行算術(shù)平均的列幾何平均，記為

矩陣A列幾何平均的行算術(shù)平均.記為

矩陣A的行r次冪平均的列幾何平均，記為

2有關(guān)正矩陣性質(zhì)的幾個(gè)不等式

定理1設(shè)A=(aij)m×n為正矩陣，則有

A的行算術(shù)平均的幾何平均值≥其列幾何平均的行算術(shù)平均.即L0[H1(A)]≥H1[L0(A)].亦即

(3)

定理2設(shè)A=(aij)m×n為正矩陣，r為非零實(shí)數(shù)，則

(i)若r>0時(shí)，有

(4)

即L0[Hr(A)]≥Hr[L0(A)]

(ii)r<0時(shí)，則不等式(4)反向，即

(5)

或Hr[L0(A)]≥L0[Hr(A)](r<0)

(6)

故

{Hr[L0(A)]/L0[Hr(A)]}r=

從而

推論1當(dāng)r=1時(shí)，不等式(4)即為不等式(3).

證明設(shè)

令A(yù)1的行、列權(quán)系數(shù)分別為q1,q2,…，qn和p1,p2，…，pm,pm+1.

由不等式L0[Hr(A1)]≥Hr[L0(A1)]和L0[Hr(A)]≥Hr[L0(A)]所得不等式相同，且同為不等式(4).

定理3設(shè)A=(aij)m×n為正矩陣，s、t為實(shí)數(shù).

(i)若s>t>0，則有

(7)

即Lt[Hs(A)]≥Hs[Lt(A)].

(ii)若0>t>s,則有(7)式的反向不等式，即

(8)

即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)].

證明利用矩陣A作矩陣Bk

其中，k=1，2，…,m，pi、pk為A的列權(quán)系數(shù).

將不等式(3)用于矩陣Bk，則有

L0[H1(BK)]≥H1[L0(BK)]

(9)

而

L0[H1(BK)]=

H1[L0(BK)]=

將以上兩式代入(9)式兩端，即得

(10)

在不等式(10)兩邊，分別關(guān)于k從1至m作和，化簡(jiǎn)后則有

(11)

(12)

在(12)式兩邊同作1/t將乘冪(只取正主值)

(1)當(dāng)s>t>0時(shí)，因1/t>0,則(7)成立.

(2)當(dāng)0>t>s時(shí)，因1/t<0,故1/t將乘冪后，不等式反向，則(8)成立.

即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)](0>t>s)

證訖.

順便指出：不等式(4) 與(5)和不等式(7)與(8)都分別是同一不等式參數(shù)的分段表示.

不等式(或等式)兩邊取同極限所得不等式(或等式)，簡(jiǎn)稱為原不等式(或等式)的極限形式.

定理4(i)不等式(4)是不等式(7)中S=r，當(dāng)t→0+時(shí)的極限形式.

(ii)不等式(5)是不等式(8)中s=r，當(dāng)t→0-時(shí)的極限形式.

證明(i)、令s=r,t→0+，在不等式(7)兩邊同取極限，即

(13)

(14)

(15)

將(14)、(15)代入(13)式，得(4)成立.即不等式(4)是不等式(7)的極限形式.

同法可證(ii).

3廣義Holder與Minkowski積分不等式

令{fi(x)}m表示函數(shù)列f1(x),f2(x),…，fm(x).

(1)若r>0，有

(16)

即函數(shù)列{fi(x)}m的r次積分冪平均的幾何平均≥函數(shù)列{fi(x)}m的幾何平均的r次積分冪平均.

(2)設(shè)s、t為實(shí)數(shù)，若s>t>0，則有

(17)

即函數(shù)列{fi(x)}m的S次積分冪平均的t次冪平均≥函數(shù)列{fi(x)}m的t次冪平均的S次積分冪平均.

若0>t>s，則有

(18)

(19)

令n→+∞,即Δx→0,在(19)兩邊同取極限，即

由根據(jù)極限性質(zhì)，即有

利用定積分定義，即得

(20)

推論3(1)令(20)式中r=1,則有

(21)

即{fi(x)}m積分的幾何平均≥{fi(x)}m幾何平均的積分.

(2)令(17)中S=r，t=1，即得

(22)

即函數(shù)列{fi(x)}m的r次積分冪平均的算術(shù)平均≥函數(shù)列{fi(x)}的算術(shù)平均的r次積分冪平均.

(3)令(17)式中S=1，t=r，即有

(23)

下例證明了冪平均和積分冪平均的重要性質(zhì).

(s>t>0)

(24)

(s>t>0)

(25)

將不等式(3)用于矩陣A4，則L0[H1(A4)]≥H1[L0(A4)]化為

化簡(jiǎn)得

參考文獻(xiàn):

[1]劉珍儒.正矩陣的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988,15(2):113-116.

[2]劉珍儒.關(guān)于幾類平均的幾個(gè)不等式[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,20(4):90-96.

[3]史濟(jì)懷.平均[M].北京：人民教育出版社，1964.

[4]《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：人民教育出版社,1979.

(編輯：劉寶江)

Several inequalities on properties of positive matrix and the extension for Holder,Minkowski inequalities

LIU Zhen-ru

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:This paper obtained several inequalities on the nature of the positive matrix, thereby promoting the classical Holder and Minkowski inequality, it gives the generalized Holder-Minkowski integral inequality for Hengzheng integrable function

Key words:positive matrix; matrix power means; power inequality

收稿日期：2015-03-08

作者簡(jiǎn)介：劉珍儒，男，liuqiang335@sina.com

文章編號(hào)：1672-6197(2016)05-0069-05