發(fā)現(xiàn)隱形圓

劉志

在電影《哈利·波特》中，只要穿上隱形斗篷，就會消失得無影無蹤.在數(shù)學(xué)中，有一個圖形就像披上隱形斗篷一樣，很難被發(fā)現(xiàn).當(dāng)一條線段、三角形或四邊形運(yùn)動時，其中的某點(diǎn)隨之運(yùn)動，它的路徑可能形成一個圓（或圓的一部分）.在近兩年各地的中考試卷中，有一些運(yùn)動變化的好題，在所給的圖形中并沒有畫出圓，但是在思考分析問題中，如果能發(fā)現(xiàn)某個點(diǎn)的運(yùn)動路徑是一個圓，可謂是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，將會對問題的解決起到重要作用.

引例.（2015·浙江濱州）如圖，在直角<0的內(nèi)部有一滑動桿AB.當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動時，端點(diǎn)B會隨之自動地沿直線OB向左滑動.如果滑動桿從圖中AB處滑動到A′B′處，那么滑動桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是（ ）

A.直線的一部分 B.圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

【分析】如圖1，根據(jù)題意和圖形可知△AOB始終是直角三角形，點(diǎn)C為斜邊上的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點(diǎn)為定點(diǎn)，OC為定長，所以它始終是圓的一部分.故選B.

從這個問題可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個點(diǎn)在運(yùn)動變化中，如果始終到一個定點(diǎn)的距離等于定長，那么這個點(diǎn)的軌跡就是一個圓.

一、借助于圓，求兩點(diǎn)之間距離

例1.（2014·山東煙臺）在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（2）、（3）顯然成立.

（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD=90°，因此點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時CP的長度最小.

【略解】前面3個小題省略.

（4）如圖2：

由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD=90°，

∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，

設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時CP的長度最小，

在Rt△ODC中，OC= = = ，

∴CP=OC-OP= -1.

【點(diǎn)評】在這個問題中，E、F兩點(diǎn)運(yùn)動——直線AE、DF運(yùn)動——直線AE、DF的交點(diǎn)P運(yùn)動，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是一段圓弧，即點(diǎn)P在點(diǎn)D到O之間的圓弧上運(yùn)動，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短，連接CQ交圓弧于P，此時CP最小.從中進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，如果點(diǎn)P在運(yùn)動中始終保持∠APB=90°，那么點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的圓弧.

二、借助于圓，求點(diǎn)到直線的距離

例2.（2015·廣東梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD E ，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0<α≤180°），記直線BD 與CE 的交點(diǎn)為P.

（1）如圖3，當(dāng)α=90°時，線段BD 的長等于？搖？搖 ？搖？搖，線段CE 的長等于？搖？搖 ？搖？搖（直接填寫結(jié)果）.

（2）如圖4，當(dāng)α=135°時，求證：BD =CE ，且BD ⊥CE .

（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長為？搖？搖 ？搖？搖；②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為？搖？搖 ？搖？搖.（直接填寫結(jié)果）

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD 的長和CE 的長.

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠D AB=∠E AC=135°，進(jìn)而求出△D AB≌△E AC（SAS），即可得出答案.

（3）①直接利用直角三角形的性質(zhì)得出PM= BC得出答案即可；

②首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，則D ，E 在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD 所在直線與⊙A相切時，直線BD 與CE 的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD PE 是正方形，進(jìn)而求出PG的長.

【略解】

（3）解：①如圖5，∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點(diǎn)為M，

∴PM= BC，

即PM= =2 ，

②如圖6，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，

∵D ，E 在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD 與CE 的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD PE 是正方形，PD =2，

則BD = =2 ，

故∠ABP=30°，則PB=2+2 ，

故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ .

【點(diǎn)評】其實(shí)，在本題中，隱藏著兩個圓，一個是以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓，D、E在這個圓上運(yùn)動；而動點(diǎn)P始終保持∠CPB=90°，所以P在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動，要使P到直線AB的距離最大，只有BP和⊙A相切.本題還可以進(jìn)一步思考，如果Rt△ADE旋轉(zhuǎn)到180°停止，求點(diǎn)P的路徑長.

在數(shù)學(xué)問題中，雖然動點(diǎn)形成的圓是隱形的，但只要我們具備一雙慧眼，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)和定長，該動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長，一定能讓這個隱形圓現(xiàn)身.