由一道概率考研題引發(fā)的思考和探究

孔令儀

摘 要： 由2015全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）中的第22題，引發(fā)了關(guān)于求解一類概率題的思考和探究.本文通過舉例說明在求解此類問題時，要在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，緊扣相關(guān)的基本概念及性質(zhì)將問題化繁為簡，才是解決此類復(fù)雜概率問題的捷徑，也是切實靈活掌握相關(guān)知識的行之有效的方法.

關(guān)鍵詞： 概率密度函數(shù) 獨立同分布 數(shù)學(xué)期望 幾何分布

1.一道概率考研題及其常規(guī)解法

為了便于說清問題，先給出這道概率考研題及其常規(guī)（常見）解法.

本題的問題1）是概率論的常見題型，方法也是基本固定的，不是本文討論的重點.問題2）是概率論中一種重要的題型，但對不同的問題，方法多種多樣，難易、繁簡程度相差很大.就問題2）來說，經(jīng)查閱相關(guān)資料[1]，[2]，發(fā)現(xiàn)與上面的解法大同小異，基本相同.此種解法，雖然用到的概率知識僅是數(shù)學(xué)期望的定義，但求解的過程比較繁瑣，用到的解題技巧較多，還要用到求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識.如果說再用這種方法求解方差D（Y）的話，計算就會變得更復(fù)雜、更繁瑣.

2.常規(guī)解法的不易引發(fā)的時刻和探究

從以上常規(guī)的求解方法可看出，此種解法計算量大且較復(fù)雜.現(xiàn)在將問題再推廣，將“直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止”改為“直到第n個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止”，如果還是用以上的常規(guī)解法，計算的復(fù)雜性和計算量就會急劇增加，變得非常復(fù)雜且困難.這顯然不是一種好方法.

經(jīng)過思考，我們發(fā)現(xiàn)如果結(jié)合概率論中已有的相關(guān)結(jié)果，緊扣題意并恰當(dāng)利用隨機變量數(shù)字特征（如數(shù)學(xué)期望、方差等）的性質(zhì)，此類題型的求解就是有章可循的，且求解過程簡單明了、計算量小，也便于推廣.下面將例題1的問題2）進行適當(dāng)推廣并求解，具體見以下例題2.

參考文獻(xiàn)：

[1]新東方在線.2015年考研數(shù)學(xué)一真題及答案[EB/OL].[2016-04-03].http：//kaoyan.eol.cn/shuxue_3976/20141229/t2014 1229_121944012.shtml.

[2]中公教育.2015考研數(shù)學(xué)（一）真題答案及解析[EB/OL].[2016-04-03].http：//learning.sohu.com/20141228/n407347641. shtml.

[3]孔告化，何銘，胡國雷.概率統(tǒng)計與隨機過程（修訂版）[M].北京：人民郵電出版社，2012.9.