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    錯在哪里

    2019-09-05 01:42:48
    關(guān)鍵詞:錯因充分性單調(diào)

    1 安徽省安慶市第一中學(xué)

    洪汪寶(郵編:246004)

    (1)求橢圓C的方程;

    (ⅱ)求△ABQ面積的最大值.

    (ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

    得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-16=0,

    所以△=(8km)2-4×(4k2+1)(4m2-16)=16(16k2+4-m2)>0.

    當(dāng)且僅當(dāng)m2=16k2+4-m2,即m2=8k2+2,符合△>0,△ABQ面積的最大值為12.

    解答錯了!錯在哪里?

    得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,其判別式

    △′=(8km)2-4×(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)=-16(4k2+1)<0,

    那么△ABQ面積的最大值到底怎么求呢?

    正解同前得

    △′=(8km)2-4×(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)≥0,得m2≤4k2+1,

    本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積等多個知識點,對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高,特別強(qiáng)調(diào)利用韋達(dá)定理來解題時,一定要注意該定理所滿足的條件,另外應(yīng)用基本不等式求最值時要滿足三個條件“一正二定三相等”,缺一不可.

    2 甘肅省臨澤縣第一中學(xué)

    祁居攀(郵編:734200)

    導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的證明題一直以來都是以壓軸題出現(xiàn)在高考試題中,是高考中的熱點,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,學(xué)生在解答過程中一是找不到方法而無從下手,二是方法選擇不合適導(dǎo)致半途而廢,本文將學(xué)生做題中出現(xiàn)的錯誤加以分析,供讀者借鑒學(xué)習(xí)!

    題目已知函數(shù)f(x)=e2x-ex-ax,且f(x)≥0.

    (1)求a的值;

    (2)若f(x1)=f(x2),x1≠x2,求證:ex1+ex2>2.

    解析因為f(0)=0,且f(x)≥0恒成立,所以f(0)是f(x)的最小值,也是極小值,它的必要條件是f′(0)=0,得a=1

    以下證充分性:

    當(dāng)a=1時,f(x)=e2x-ex-x,則f′(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1),

    在(-∞,0)內(nèi)f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;在(0,+∞)內(nèi)f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

    故f(0)是f(x)的最小值,也是極小值.

    綜上得,a=1.

    第二問解答

    錯解1 由(1)知當(dāng)f(x1)=f(x2),x1≠x2時x1x2<0,不妨設(shè)x1<0

    由e2x1-ex1-x1=e2x2-ex2-x2,得(ex1-ex2)(ex1+ex2-1)=x1-x2,

    由x1<0x1-x2,即ex1-x1>ex2-x2,

    設(shè)g(x)=ex-x,只需證g(x1)>g(x2)恒成立,即證g(x)在R上單調(diào)遞增,

    由g′(x)=ex-1,得

    在(-∞,0)內(nèi),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;在(0,+∞)內(nèi),g ′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

    與已知所證相矛盾.

    解答錯了!錯在哪里?

    錯因分析由于兩變量x1、x2分布在了所構(gòu)造函數(shù)的兩個不同的單調(diào)區(qū)間,從而導(dǎo)致利用函數(shù)的單調(diào)性無法證明,也就是說一個不等式的證明,若構(gòu)造的函數(shù)不合適將不一定能得到正確的證明.

    正確解析由(1)知當(dāng)f(x1)=f(x2),x1≠x2時,x1x2<0,不妨設(shè)x1<0

    由e2x1-ex1-x1=e2x2-ex2-x2,得(ex1-ex2)(ex1+ex2-1)=x1-x2,

    設(shè)g(t)=(t-2)et+t+2,則g′(t)=(t-1)et+1,

    記h(t)=(t-1)et+1,則h′(t)=tet<0,

    所以g′(t)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,故g′(t)>g′(0)=0,

    所以g(t)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,故g(t)

    即(t-2)et+t+2<0,所以原命題ex1+ex2>2成立.

    錯解2 設(shè)t=ex>0,所以f(t)=t2-t-lnt,

    由f(x1)=f(x2),x1≠x2,則f(t1)=f(t2),t1≠t2,

    由x1<0

    要證ex1+ex2>2,即證t1+t2>2,即證t1>2-t2,

    因為t1<1

    由f(t1)-f(2-t2)=f(t2)-f(2-t2),(t2>1)

    令g(t)=f(t)-f(2-t),(t>1)

    則g′(t)=f′(t)+f′(2-t),(t>1)

    當(dāng)1

    當(dāng)t>2時,g′(t)>0,g(t)單調(diào)遞增.

    所以g(t)≥g(2)

    解到這里已經(jīng)無法利用函數(shù)的單調(diào)性確定f(t)與f(2-t)的大小.

    解答錯了!錯在哪里?

    錯因分析利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩變量的大小,則兩變量必須在同一區(qū)間內(nèi),否則將無法比較,本題由于0

    注意若把要證t1+t2>2,即證t1>2-t2改為證t2>2-t1情況會怎樣呢?

    正解解析接上面證明要證t1+t2>2,即證t2>2-t1,

    因為t1<11,2-t1>1.

    由f(t2)-f(2-t1)=f(t1)-f(2-t1),(0

    令g(t)=f(t)-f(2-t),(0

    則g′(t)=f′(t)+f′(2-t),(0

    故g(t)=f(t)-f(2-t),(0g(1)=0成立,即f(t)-f(2-t)>0.

    所以f(t2)-f(2-t1)=f(t1)-f(2-t1)>0,

    即f(t2)>f(2-t1)(下面證f(t)的單調(diào)性)

    所以在(0,1)內(nèi)f′(t)<0,f(t)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)f′(t)>0,f(t)單調(diào)遞增.

    所以在t2>1,2-t1>1時,由f(t2)>f(2-t1),得t2>2-t1.

    即證得t1+t2>2,原命題ex1+ex2>2成立.

    總結(jié)提升(1)利用推理法證明不等式時每一步推理都要等價,否則會出現(xiàn)必要性成立而充分性不成立的情況.

    (2)證明過程中所涉及的構(gòu)造函數(shù)要符合本題自變量所限制的條件,否則會出現(xiàn)一些錯誤的結(jié)論.

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