分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

山東省章丘市第四中學(xué) 高后運(yùn)

一、分類討論思想的本質(zhì)

分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”。

分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設(shè)條件的解題策略。

運(yùn)用分類討論的思想解題的基本步驟∶ 確定標(biāo)準(zhǔn)：確定討論對(duì)象和確定研究的區(qū)域；恰當(dāng)分類：對(duì)所討論的問題進(jìn)行合理的分類（分類時(shí)需要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級(jí)）；逐類討論：即對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決；歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論。

需要分類討論的幾種常見情況∶根據(jù)數(shù)學(xué)概念的定義、定理、公式、法則的實(shí)用范圍進(jìn)行分類；根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分類；根據(jù)圖形的位置形狀的變化分類；根據(jù)參數(shù)的變化分類。

二、分類討論的應(yīng)用

1.分類討論在集合、函數(shù)中的應(yīng)用

例1.設(shè)a∈R，函數(shù)f( x ) = a x2- 2 x - 2 a ，若不等式 f ( x)＞0的解集為A,又知集合求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【分析】由于a∈R，故應(yīng)從a = 0 ,a ＞ 0 ,a ＜ 0 三個(gè)方面進(jìn)行分類討論。

解：(1)當(dāng) a = 0 時(shí)， f ( x) = -2 x，則f( x)＞0，即為-2x＞0，∴x＜0.

此時(shí)A∩B≠Φ不合題意。

(2)當(dāng) a ≠ 0 時(shí)， f ( x ) = a x2- 2 x - 2a是二次函數(shù).令 f ( x)= 0 ,解得其兩根為：由此可知x1＜0,x2＞0,

① 當(dāng)a＞0時(shí) ，，A∩B≠Φ的充要條件是x2＜3，即解得

②當(dāng) a ＜ 0 時(shí)，

A∩B≠Φ的充要條件是x2＞1，，解得 a ＜-2.

綜上所述，使A∩B≠Φ成立的a的取值范圍是

【點(diǎn)撥】做到分類準(zhǔn)確也即要不重復(fù)不遺漏，做到這一點(diǎn)的建議：1.先找關(guān)鍵點(diǎn)，以關(guān)鍵點(diǎn)為分界從小到大依次分析; 2.對(duì)于多級(jí)分類，應(yīng)逐級(jí)討論，切忌跳級(jí)討論。

例2．解關(guān)于x的不等式(x - a ) (x - a2)＜ 0(a ∈ R).

【分析】方程(x - a ) (x - a2)=0的兩根為 a , a2,因而不等式的解集應(yīng)取決于a與a2的大小，可以對(duì)a與a2的大小進(jìn)行討論。

解：方程(x - a ) (x - a2)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 a , a2.∵ a2-a = a ( a -1),

∴當(dāng) a ＜0或 a＞1時(shí)，a2＞a,原不等式的解集為

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2＜a，原不等式的解集為

當(dāng) a =0或 a=1時(shí)，a2= a ,原不等式的解集為Φ.

綜上所述 a ＜0或 a＞1時(shí)，a2＞a,原不等式的解集為{x a ＜x＜a2}；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2＜a，原不等式的解集為{x a2＜x＜a}；

當(dāng) a =0或 a=1時(shí)，a2= a ,原不等式的解集為Φ.

【點(diǎn)撥】分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)型問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決問題的思想策略，對(duì)問題實(shí)行分類和整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加了一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將綜合型題目分解為基礎(chǔ)性題目，降低問題難度。

2.分類討論在數(shù)列中的應(yīng)用

例3.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和 Sn＞0 ( n =1,2,…).

（1）求q的取值范圍;

(2)設(shè),記{bn}的前n項(xiàng)和為 Tn，試比較 Sn和 Tn的大小.

【分析】在涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題時(shí)，需要對(duì)公比 q =1與 q≠1兩種情況進(jìn)行討論.

解：(1)∵ { a} 是等比數(shù)列，Sn＞0,可得a1=Sn＞0,q ≠0.

【點(diǎn)評(píng)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和需對(duì)公比 q =1與 q≠1兩種情況進(jìn)行討論；比較Tn、 Sn的大小時(shí)，需對(duì)差分解因式后，對(duì)每個(gè)因式的正負(fù)進(jìn)行討論。

3.分類討論在排列組合中的應(yīng)用

例4、有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（ ）。

A、1344種 B、1248種

C、1056種 D、960種

解∶由題意知中間行的兩張卡片的數(shù)字之和為5，因此中間行的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)為1,4或2,3.

若中間行兩個(gè)數(shù)字是1,4，則有種排法，如圖

此時(shí)A、B、C、D、E、F的數(shù)字有以下幾類：

(1) 若不含2,3,共有= 2 4種排法.

(2)若含有2,3中的一個(gè)，則有= 1 92 種，（是從2,3中選一個(gè)，是從5,6,7,8中選出3個(gè)，將選出的4個(gè)數(shù)字排在A、B、E、F處）.

(3)含有2,3中的兩個(gè)，此時(shí)2,3不能排在一行上，因此可先從2,3中選出1個(gè)，排在A、B中一處，有種，剩下的一個(gè)排在E、F中的一處有種，然后從5,6,7,8中選2個(gè)排在剩余的2個(gè)位置有種，因此共有=96種排法。

所以中間一行數(shù)字是1,4時(shí)，共有(24+192+96)=624（種）.當(dāng)中間一行是2,3時(shí)，也有624種.因此滿足要求的排法有624×2=1248種。

【點(diǎn)撥】排列、組合問題往往要用分類討論的思想來解。