*1具有潛伏期感染的離散SEIR模型的動力學(xué)性態(tài)

馬　霞, 陳　娜

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008; 2.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 周口 466000)

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*1具有潛伏期感染的離散SEIR模型的動力學(xué)性態(tài)

馬霞1, 陳娜2

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008; 2.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 周口 466000)

〔摘要〕主要研究了一類考慮潛伏期和染病期都具有感染性的離散SEIR傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)．定義了基本再生數(shù),利用數(shù)學(xué)歸納法得到了模型解的非負性和有界性．通過構(gòu)造合理的Lyapunov 函數(shù)證明了平衡點的全局漸近穩(wěn)定性．最后通過數(shù)值模擬驗證了我們的理論結(jié)果．

〔關(guān)鍵詞〕離散SEIR傳染病模型;向后歐拉法;潛伏期感染;穩(wěn)定性;Lynapunov函數(shù)

0引言

在傳染病的研究中通過數(shù)學(xué)模型來模擬疾病的傳播,探討疾病流行的動力學(xué)行為,可以為疾病的預(yù)防和控制策略提供有效的服務(wù)[1]．對SIR,SIS,SIRS連續(xù)模型的研究已經(jīng)非常地成熟,這些傳染病模型對研究疾病的傳播規(guī)律和預(yù)測傳染病的發(fā)展趨勢起了非常重要的作用[2-4]．然而生活中有很多物種的數(shù)量是隨著離散時間變化的,并且單位時間內(nèi)傳染病傳播的速度比較慢,感染的人口也相對較少,此時各類種群的數(shù)量變化便不能看成連續(xù)時間變化的,考慮用離散的傳染病模型來描述則更為方便合適．

構(gòu)造離散傳染病模型由很多種方法,例如用倉室模型的假設(shè)來建立離散的傳染病模型,也可以直接對連續(xù)的傳染病模型使用歐拉差分方法進行離散化．雖然近年來對離散傳染病模型的研究越來越多,相對于連續(xù)模型,離散模型的研究方面的文獻還是很少的,理論還不太完備．文獻[5-10]對離散傳染病模型的動力學(xué)性態(tài)進行了研究,為更復(fù)雜的離散傳染病模型提供了理論依據(jù)和新的方法．連續(xù)SEIR傳染病模型的研究有很多,文獻[8]通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法研究了一類具有潛伏期感染的連續(xù)SEIR腮腺炎模型的全局動力學(xué)性質(zhì)．然而由于差分理論方法的不完備,對于離散SEIR模型的地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性的研究結(jié)果很少．我們將文獻[11]中構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法推廣到離散模型上,利用歐拉向后差分法建立了如下具有潛伏期感染的離散SEIR模型

(1)

文中主要研究該模型的平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,給出模型的一些假設(shè),解的非負性有界性以及主要的結(jié)論,并用數(shù)值模擬驗證了我們的理論結(jié)果．

1模型解的正性及有界性

對于模型(1),S(t),E(t),I(t),R(t)分別表示t時刻易感者、無癥狀的潛伏者、感染者和恢復(fù)者的數(shù)量．其中人口的輸入(出生和遷入)為Λ,μ是人口的自然死亡率,β是染病者傳染率,β1是潛伏者的傳染率,α是潛伏者的發(fā)病率,γ是病人的恢復(fù)率,δ是因病死亡率,這里參數(shù)都是非負常數(shù),βS(t+1)I(t+1)+β1S(t+1)E(t+1)表示單位時間內(nèi)易感者被感染成為潛伏者的人數(shù)．

根據(jù)生物學(xué)意義,模型(1)的初始條件為S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0.

定理1模型(1)關(guān)于初始條件S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解(S(t),E(t),I(t),R(t))都是正的且是最終有界的．

證明:由模型(1)可解得

(2)

由(2)式可看出只要E(t)確定,那么S(t),I(t),R(t)也就確定,首先證明如果E(1)>0,則有I(1)>0,

S(1)>0,R(1)>0．通過(2)式計算整理可得二次方程aE2(t+1)+bE(t+1)+c=0,其中,

當t=0時,由初始條件S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0可知,常數(shù)項c<0,又知a>0,因此,上述二次方程aE2(t+1)+bE(t+1)+c=0有唯一的正根E(1)>0,由模型的第一、三、四個方程可得S(1)>0,I(1)>0和R(1)>0．采用類似于上述的方法,可以得到S(2)>0,E(2)>0,I(2)>0和R(2)>0,最后用數(shù)學(xué)歸納法可得,對一切t∈Ζ+,都有S(t)>0,E(t)>0,I(t)>0和R(t)>0.

把模型(1)中的方程相加可得:

2平衡點的全局穩(wěn)定性

下面我們通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)來研究無病平衡點P0和正平衡點P*的全局漸近穩(wěn)定性．

定理2如果R0<1,模型(1)的無病平衡點P0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的．

定理3當R0>1時,模型(1)的正平衡點P*(S*,E*,I*,R*)是全局漸近穩(wěn)定的．

因此,由模型(1)可得

(2)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V1(t)=Ag(X(t))+Bg(Y(t))+Cg(Z(t)),這里,g(x)=x-1-lnx.由于lnx≤x-1對x>0是恒成立的,因此,

由方程(2)可得

當且僅當S(t+1)=S*,I(t+1)E*=I*E(t+1)時,ΔV1=0．否則,ΔV1<0．由于平衡點P*是集合{(S,E,I,R)∈Ω|ΔV1=0}唯一的最大不變集．因此,由Lassalle不變原理及極限理論[13]可知,正平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的．

3數(shù)值模擬

下面我們利用數(shù)值仿真實驗來驗證理論結(jié)果,在模型(1)中,取Λ=30,μ=0.006,α=0.01;γ=0.08,

β=0.000 01,β1=0.000 002,通過計算可得基本再生數(shù)R0=0.613<1,通過定理2可得無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的,疾病最終將會消除．選取不同的初始值來做數(shù)值模擬,數(shù)值仿真實驗的結(jié)果如圖1所示,固定其他參數(shù)值,變動β的值,當β=0.29時,R0=1.399>1,由定理3可得正平衡點P*(2 382,357,34,449)是全局漸近穩(wěn)定的．數(shù)值仿真實驗的結(jié)果如圖2所示．

圖1　當R0=0.613<1時,平衡點P0的全局漸近性態(tài)

圖2　當R0=2.107>1時,平衡點P*的全局漸近性態(tài)

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Dynamic Behavior of a Discrete SEIR Epidemic Model with Latent Infection

MA Xia1,CHEN Na2

(1.Science Department, Taiyuan Institute of Technology, Taiyuan 030008;2.Department of Mathematics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466000, China)

〔Abstract〕The dynamical behavior of discrete SEIR epidemic model with latent infection is studied. The basic reproductive number is defined, the nonnegativity and boundless of solutions are analyzed by inductive method. It is proved that the equilibrium is globally asymptotically stable by constructing reasonable Lyapunov function.Numerical simulations are done to show our theoretical results.

〔Key words〕discrete SEIR model; backward euler method; latent infection; stability; Lyapunov function

*收稿日期：2015-12-26

基金項目：太原工業(yè)學(xué)院科技處基金(2015LQ19).

作者簡介：馬霞(1990-),女,河南駐馬店人,碩士,太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系助教,主要從事傳染病動力學(xué)、生物數(shù)學(xué)研究.

〔文章編號〕1672-2027(2016)01-0019-04〔中圖分類號〕O175

〔文獻標識碼〕A