一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的耦合梁方程組的初邊值問題

段文梅,張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

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一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的耦合梁方程組的初邊值問題

段文梅,張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

摘要:研究了一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的耦合梁方程組的初邊值問題,運用Galerkin方法證明了方程組弱解和強解存在的唯一性，以及對初值的連續(xù)依賴性。

關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)阻尼；耦合;梁方程組;Galerkin法;初邊值問題

對于彈性梁的研究,由于其理論意義的應(yīng)用背景,受到了廣泛關(guān)注。BALL[1]研究了具有內(nèi)外阻尼的梁方程的橫向平面運動,建立了如下模型：

運用Galerkin法證明了該方程組解存在的唯一性問題；并且分別運用半離散和全離散時間Galerkin法,給出了該方程組解的穩(wěn)定性分析和誤差估計。其中，ψ(w1,w2,w3)={β+γ(|w1|2+|w2|2)}w3;p,q∈L∞(0,T;L2(Ω));p(x,t)和q(x,t)分別表示y軸和z軸方向所受到的力。筆者在前人的基礎(chǔ)上,研究了一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的耦合梁方程組,

(1)

(2)

初始條件

(3)

下的適定性問題。其中，

α1,α2,k,δ,γ,σ>0；β無限制。證明了方程組式(1)-式(3)弱解和強解的存在的唯一性，以及對初值的連續(xù)依賴性。

1預(yù)備知識和記號

首先設(shè)定一些符號,并且引入一些函數(shù)空間。

X為Banach空間,對于空間Lp(0,T;X),其范數(shù)定義如下

Hk(Ω)的內(nèi)積和范數(shù)定義如下,

式中：|·|表示由內(nèi)積

誘導(dǎo)的范數(shù)。

對于正整數(shù)r,函數(shù)空間Sr定義如下，

成立。

在證明本文主要結(jié)論的過程中,需要下面幾個重要引理。

引理2的詳細證明見文獻[2]。

引理3[2](Gronwall不等式)假設(shè)f∈L∞(0,T),K≥0,C0為常數(shù)。如果

那么，

f(t)≤C0eKt.

2主要結(jié)論

定理1如果u0,v0∈S1(Ω)；u1,v1∈L2(Ω)；p,q∈L∞(0,T;L2(Ω)),則方程組(1)-(3)存在唯一的弱解{u,v},且u,v∈L∞(0,T;S1(Ω))；ut,vt∈L∞(0,T;L2(Ω)).

證明:下面分5步進行證明。

1) 近似解{um,vm}的構(gòu)造。設(shè)，{φj}是S1(Ω)的一組規(guī)范正交基，考慮如下方程組

其中：

(8)

在S1(Ω)中 ，

(9)

在L2(Ω)中,

(10)

容易證得這些給定初值條件下的方程組在[0,T]的子區(qū)間[0,tm]存在唯一解。

2) 近似解{um,vm}的先驗估計。為了證明tm=T獨立于m,需要對u和v進行先驗估計。

因為

然后在[0,t]上積分,得

因為p,q∈L∞(0,T;L2(Ω)),所以

又因為α1,α2,δ,γ,k,σ>0,所以，

(11)

因為，可分賦范線性空間的一致有界線性，泛函序列中必存在一個弱*收斂的子序列,所以可抽取{um}和{vm}的子列{uμ}和{vμ}滿足下列性質(zhì)；

uμ→u,vμ→v，在L∞(0,T;S1(Ω))中弱*收斂；

因此,對式(6)和式(7)取極限可得,對于?φ∈S1,都有式(4)和式(5)成立。

4) {u,v}滿足初始條件。因為

uμ→u,vμ→v，在L∞(0,T;L2(Ω))中弱*收斂；

由引理1可得,uμ和vμ幾乎處處連續(xù),則對?φ∈L2(Ω),都有

因為

以及

所以,

由引理1和引理3可知,

接下來討論該問題解的正則性,即得到了該問題的強解。

定理2如果u0,v0∈S2(Ω);u1,v1∈S1(Ω);p,q∈L∞(0,T;L2(Ω)),則存在唯一函數(shù)對{u,v},u,v∈L∞(0,T;S2(Ω));ut,vt∈L∞(0,T;S1(Ω));utt,vtt∈L∞(0,T;L2(Ω)),且滿足,

以及初始條件

證明:證明過程與定理1類似。

設(shè)，{φj}是S2(Ω)的一組規(guī)范正交基，近似解{um,vm}的構(gòu)造如式(8)所示,滿足

1≤j≤m .

以及初始條件,在S2(Ω)中,

(14)

在S1(Ω)中,

(15)

式(12)和式(13)中的φj分別用uxxxxt和vxxxxt代替,然后將兩式相加,得

在[0,t]上積分得，

因此由式(11)可得，

(16)

如定理1的證明,同樣可證得存在唯一的{u,v}，滿足方程組(12)-(13)以及初始條件,并且u,v∈L∞(0,T;S2(Ω))；ut,vt∈L∞(0,T;S1(Ω))；utt,vtt∈L∞(0,T;L2(Ω)).

參考文獻：

[1]BALL J M.Stability theory for an extensible beam[J].Differential Equations,1973，14(3):399-418.

[2]BALL J M.Initial-boundary value problems for an extensible beam[J].Math Anal Appl，1973，42(1)：61-90.

[3]GEVECI T,CHRISTIE I.The convergence of a Galerkin approximation scheme for an extensible beam[J].Rairo Mathematical Modelling & Numerical Analysis Modelisation Methematique Et Analyse Numerique,1989,23(4):597-613.

[4]WOINOWSKY-KRIEGER S.The effect of axial force on the vibration of hinged bars[J].Appl Mech,1950,17(1):35-36.

[5]CHOO S M,CHUNG S K.Finite element galerkin solutions for the nonplanar scillatory beam equations[J].Appl Math Comp,2000,114:279-301.

(編輯：朱倩)

On the Initial-boundary Value Problem of the Coupled Beam Equations with Structural Damping

DUAN Wenmei,ZHANG Jianwen

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Abstract:This paper deals with the initial-boundary value problem of the coupled beam equations with structural damping. We prove the existence,uniqueness and continuous dependence upon data of weak solution and strong solution using Galerkin method.

Key words:coupled; structural damping; beam equation; Galerkin method; initial-boundary value problem

文章編號:1007-9432(2016)02-0270-05

*收稿日期：2015-04-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目：基于時滯慣性流形的非線性彈性殼結(jié)構(gòu)動力屈曲研究(11172194)；山西省自然科學(xué)基金資助項目(2015011006)

作者簡介：段文梅(1990-)，女，山西大同人，碩士生，主要從事無窮維動力系統(tǒng)研究，(E-mail)duanwenmei_tyut@163.com通訊作者：張建文，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事無窮維動力系統(tǒng)、非線性動力學(xué)研究，(E-mail)zhangjianwen@tyut.edu.com

中圖分類號:O175.27

文獻標識碼:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.02.028