“小題”也需“大做”
——由一道習題引發(fā)的一節(jié)課

◇陳新福 陳 艷

“小題”也需“大做”
——由一道習題引發(fā)的一節(jié)課

◇陳新福 陳 艷

北師大版教材六年級上冊第一單元“圓”的“練習一”中，有這樣一道習題，如圖1所示：

圖1

我對這道習題進行有效開發(fā)，設計成了一節(jié)課，從而真正凸顯了這道習題的價值。

【教學過程】

一 多角度探究圓與正方形的關系

教師出示圖2①。

師：請觀察，這幅圖中圓與正方形的關系是怎樣的？

生：這個圓是正方形內(nèi)最大的圓。

生：圓的直徑等于正方形的邊長。

教師接著出示圖2②、圖2③。

圖2

師：想一想，正方形的邊長變大，正方形面積與圓面積會發(fā)生怎樣的變化？

生：正方形面積和圓面積也會變大。

在討論交流的基礎上，請學生完成下表。

圓面積/平方厘米圖2①正方形邊長/厘米2正方形面積/平方厘米圖2②圖2③我發(fā)現(xiàn)：46

師：通過討論，我們發(fā)現(xiàn)當正方形邊長（圓直徑）變大時，正方形面積（圓面積）也變大。那么，這個圓與正方形之間還存在什么關系呢？圓面積占正方形面積的幾分之幾？

生：計算出來的結(jié)果是一樣的。

師：通過計算來尋找關系，是一種很好的思路。再看圖3，如果圓的半徑用字母r表示,那么，圓面積是多少？

圖3

生：S圓=πr2。

師：那么圓外正方形的面積是多少呢？

生：S正=r2×4=4r2。

引導學生發(fā)現(xiàn)，圓面積÷正方形面積=πr2÷4r2=

師小結(jié)：因為π是一個常數(shù)，圓面積和正方形面積的關系就是一個固定的關系，即

師：這個固定關系除了用分數(shù)的形式來表示，還可以用什么形式表示？（引導學生用比的形式與百分數(shù)的形式表示）

二 進一步探究

教師出示下面的問題，請學生根據(jù)面積之間的關系解決問題，題目如下：

如圖4，正方形面積為20㎡，求圓的面積。

圖4

因為有前面的討論與交流，學生比較容易地就算出了圓的面積。

師：運用圓與正方形的面積比，能使復雜的問題簡單化。圖5中陰影部分的面積你會求嗎？

圖5

生：陰影部分面積就是正方形中最大的圓的面積。

師：在這個正方形中，你能設計出類似的與圓面積相等的其他圖案嗎？請畫出示意圖，并說明理由。

投影展示學生作品，如圖6所示：

圖6

同時組織學生討論如下的問題。

1.還有不同方案嗎？

2.這些圖案都符合要求嗎？哪些是你一眼就能看出符合要求的？并由此進行分類。

3.除了計算，還有什么辦法能說明面積相等？

4.我們把圓縮小可以畫出4個小圓，同理我們還可以畫出其他的圖形嗎？縮小為9個可不可以？16個呢？（如圖7）

（此環(huán)節(jié)嘗試讓學生用比的知識解釋圓半徑同比擴大或同比縮小后圓的面積和不變）

圖7

師：這些正方形內(nèi)圓的面積都相等，那么你們能否從圖中發(fā)現(xiàn)圓面積與半徑之間的變化關系呢？

（引導學生把圖7中后三個正方形中的圓分別與第一個進行比較）

生：反過來說，當半徑擴大若干倍時，圓的面積就擴大為這個倍數(shù)的平方。

師：說得真棒！那么圓與哪些圖形可能也存在固定的關系呢？請你課后再研究研究。

三 利用圓與正方形的關系解決問題

1.基于原題的練習。

（1）一張正方形紙的邊長為4厘米，把這張紙剪成一個最大的圓。剩下部分的面積是多少？

（2）一張正方形紙的面積是80平方厘米，把這張紙剪成一個最大的圓，這個圓的面積是多少平方厘米？

2.基于設計的練習。

（1）求陰影部分的面積（如圖8）。

圖8

（2）四張邊長都是12厘米的正方形鐵皮，分別按圖7剪下不同規(guī)格的圓片。哪張鐵皮剩下的廢料多？

（3）基于拓展的練習。

如圖9，我們在圓中畫一個最大的正方形。如果這個圓的半徑是r，圓的面積是多少？正方形的面積呢？圓的面積與正方形面積有什么關系？

圖9

（作者單位：浙江衢州市大成小學）