4種TVD格式對調(diào)壓室水擊波的數(shù)值模擬

董　瑜，劉韓生，曹長沖

(1 西北農(nóng)林科技大學 水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100；2 中國長江電力股份有限公司,湖北 宜昌 443002)

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4種TVD格式對調(diào)壓室水擊波的數(shù)值模擬

董瑜1，劉韓生1，曹長沖2

(1 西北農(nóng)林科技大學 水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100；2 中國長江電力股份有限公司,湖北 宜昌 443002)

[摘要]【目的】 分析比較4種不同構(gòu)造形式TVD格式在捕捉水擊波時耗散性和壓制性數(shù)值性能的差異, 為帶調(diào)壓室水電站壓力管道水擊波過程模擬提供參考。【方法】 采用具有代表性的Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-MacCormark格式以及全離散TVD格式求解水擊控制方程，結(jié)合給定的調(diào)壓室系統(tǒng)水擊模型邊界條件，對某工程實例進行計算，并對數(shù)值模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行分析。【結(jié)果】 TVD格式可模擬調(diào)壓室系統(tǒng)水擊波的變化過程，最大水擊壓力與試驗數(shù)據(jù)相對誤差不超過1%，且間斷處能夠有效地捕捉激波振蕩；對比4種格式計算結(jié)果，在水擊波上升和振蕩過程中，Harten TVD格式的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)吻合最好?！窘Y(jié)論】 TVD格式計算精度較高，是模擬調(diào)壓室水擊現(xiàn)象行之有效的方法之一。

[關(guān)鍵詞]調(diào)壓室系統(tǒng)；水擊波；數(shù)值模擬；TVD格式；數(shù)值通量

調(diào)壓室是解決水電站水擊問題的常用手段，準確模擬其調(diào)壓過程十分重要。一直以來，特征線法[1]在水擊計算中應用非常廣泛，然而在遇到計算域內(nèi)非常數(shù)或非均衡克朗數(shù)時，該法需要進行修正或不能保證守恒[2]。Harten于1983年提出并構(gòu)造的TVD格式開創(chuàng)了雙曲型方程高分辨率格式研究的新紀元，其能夠準確地捕捉激波的位置，對間斷具有高分辨率[3]，國內(nèi)外學者在此研究的基礎(chǔ)上構(gòu)造了其他高精度無波動格式，并得到了廣泛的應用[4-6]。近年來，TVD格式已經(jīng)成功應用于空氣動力學[7]和潰壩水力學[8]研究中，但在水擊問題上的應用較少。黃逸軍等[9]應用TVD格式計算調(diào)壓室水擊并與常規(guī)差分方法Lax Friedrichs格式和MacCormark格式進行比較，證實了TVD方法的優(yōu)越性，但該研究僅使用一種格式計算，對其他TVD格式模擬水擊波的差異并未進行研究。為了明確其他TVD格式模擬水擊波的差異，本研究采用4種具有代表性的TVD格式對調(diào)壓室系統(tǒng)水擊壓力進行數(shù)值模擬比較，以期揭示不同構(gòu)造格式模擬水擊波的差異，并為水擊計算提供新方法。

1控制方程

考慮沿程水頭損失及管道傾斜的影響，一維水擊的控制方程組可以描述為：

(1)

(2)

式中：H為測壓管水頭，v為管道斷面流速，c為水擊波速，D為管道直徑，θ為管道傾斜度，λ為沿程水頭損失系數(shù)，t為時間，x為沿管道距離，g為重力加速度。

方程(1)、(2)守恒形式為[10]：

(3)

式中：U為守恒量向量，F(xiàn)為通量向量，S為非齊次向量。 向量U、F、S的表達式為，

(4)

(5)

(6)

2典型TVD格式

2.1修正通量TVD 格式

修正通量TVD格式即Harten TVD格式，是TVD格式中一種著名的高分辨率格式，得到了廣泛的應用。為了提高格式的計算精度，將原來三點格式擴大為五點格式，對數(shù)值通量進行修正，在光滑處抵消一階迎風格式產(chǎn)生的過大耗散。修正后的數(shù)值通量hi+1/2為[3]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Q(x)為耗散函數(shù)，滿足：

(13)

一般取0.05≤δ≤0.5，保證格式的正耗散。

2.2反擴散通量TVD格式

Sweby[11]在Harten[3]研究的基礎(chǔ)上，采用附加反擴散通量構(gòu)造所需的TVD格式。該格式具有一定的通用性，只要反擴散通量滿足一定的條件即可構(gòu)造多種形式的格式，是目前大多數(shù)TVD計算采用的構(gòu)造方法，具有深遠的影響力。Sweby TVD格式的數(shù)值通量可寫成：

(14)

式中:ai+1/2為特征速度；φ(ri+1/2)為通量限制函數(shù)，本研究選用Superbee型，即：φ(ri+1/2)=max[0,min(2ri+1/2,1),min(ri+1/2,2)]，變量ri+1/2的表達式見式(12)。

2.3TVD-MacCormark格式

二階精度MacCormark格式是一類較經(jīng)典的差分格式，其采用MacCormark顯式格式的時空混合型二步預估校正分裂格式，添加TVD格式人工黏性項，可捕捉很多重要的流場結(jié)構(gòu)，在計算流體力學方面得到了廣泛的應用[12]。近幾年關(guān)于該格式研究頗多[6]，是一類典型的TVD方法。

TVD-MacCormark格式的預測步為：

(15)

TVD-MacCormark格式的校正步為：

(16)

(17)

(18)

(19)

函數(shù)G(ri)=0.5×C×[1-φ(ri)]，

(20)

式中：C為計算參數(shù)，Cr為庫朗數(shù)。

2.4全離散TVD格式

本研究采用具有TVD性質(zhì)的顯式多步Runge-Kutta時間離散方法求解微分方程，空間離散采用TVD格式，國外學者僅Wahba[13]采用這種全離散TVD格式計算水擊問題，因此研究該方法數(shù)值模擬水擊問題具有代表性。其表達式為：

(21)

將TVD格式用于水擊解耦的方程，其差分形式為：

(22)

3邊界條件

3.1上游邊界條件

管道的上游為阻抗式調(diào)壓室，其水位隨時間不斷變化。調(diào)壓室系統(tǒng)的基本方程為[14]：

(23)

(24)

式中：z為調(diào)壓室水面相對于基準面(水庫水面)的高度；L為上游引水隧洞的長度；g為重力加速度；t為時間；u為上游引水隧洞的水流流速；ζ為上游引水隧洞的水頭損失系數(shù)；hf為阻抗孔處的水頭損失；AT為上游引水隧洞的橫斷面積；AS為調(diào)壓室的橫斷面積；Q為水輪機的引用流量。本研究采用四階龍格庫塔法對調(diào)壓室系統(tǒng)基本方程進行求解。

3.2下游邊界條件

管道的下游為一可調(diào)控的閥門，根據(jù)孔口出流規(guī)律，有：

(25)

式中：vn、Hn分別為管道閥門末端n時刻流速和水頭；vm為閥門全開時管道中的流速；H0為閥門恒定流狀態(tài)下管道末端水頭；τn為n時刻閥門的相對開度，0<τn<1。

4工程算例

某水電站水庫正常水位為512.5 m，調(diào)壓室為阻抗式，壓力引水隧洞長2 715.213 m，過水洞徑6.0 m，調(diào)壓室內(nèi)徑為14.0 m，阻抗孔口直徑為2.94 m，底板高程為460.524 m。調(diào)壓室后接壓力埋管，內(nèi)徑為5.5 m，壓力鋼管主管長134.281 m，在進入主廠房約102 m處分為3條支管，支管內(nèi)徑為3.0 m。將3臺機組全部同時甩負荷運行作為計算工況，機組引用流量由27.6 m3/s逐步減少到0。下游出口為閥門邊界條件，設(shè)計提供的閥門關(guān)閉規(guī)律τ=1-1/(7t)[15]。

分別采用上述4種典型TVD格式對調(diào)壓室系統(tǒng)水擊進行數(shù)值模擬，并將計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)進行對比分析。圖1所示為閥門逐漸關(guān)閉過程中，閥門末端壓力水頭隨時間逐漸增大；閥門關(guān)閉后，管道內(nèi)出現(xiàn)劇烈的激波振蕩，閥門末端壓力逐漸減小，振蕩幅度變小，最后趨于穩(wěn)定狀態(tài)的過程。圖1表明，在閥門關(guān)閉過程中，TVD格式對管道內(nèi)水擊波均具有較高的計算模擬精度，計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)吻合的較好。當t=7 s時，閥門末端水擊壓力最大， Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-MacCormark格式以及全離散TVD格式計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)相對誤差分別為0.23%，0.18%，0.24%和0.51%；在激波振蕩強烈的區(qū)域，TVD格式能夠準確地捕捉間斷處的激波。

圖 1　4種TVD格式模擬計算的閥門末端斷面水擊壓力水頭線

從圖1可以看出， 4種TVD格式對水擊波的數(shù)值模擬結(jié)果差異較小，都具有計算精度高、激波捕捉能力強等優(yōu)點。相比較而言，采用Harten TVD格式模擬效果最佳，計算全過程與實測數(shù)據(jù)吻合最好，激波振蕩周期以及幅度計算誤差甚??；Sweby TVD格式激波壓制性較強，但在閥門壓力上升階段，其計算數(shù)值稍微偏大；TVD-MC格式計算結(jié)果出現(xiàn)微小數(shù)值振蕩，耗散性較大；全離散TVD格式計算誤差較大，且激波振蕩幅度較實測結(jié)果偏大。

5結(jié)論

本研究將Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-Mac-Cormark格式以及全離散TVD格式等4種高精度TVD格式應用于水擊方程組，并結(jié)合調(diào)壓室的水力邊界條件，數(shù)值模擬上游帶調(diào)壓室系統(tǒng)的水擊波問題。結(jié)合工程實例，比較分析計算結(jié)果表明：TVD格式數(shù)值模擬水擊問題具有計算精度高、激波捕捉能力強等優(yōu)點；由于格式的數(shù)值通量構(gòu)造方法的不同，在閥門逐漸關(guān)閉過程中，4種TVD格式捕捉水擊波的耗散性和激波壓制性數(shù)值性能存在一定差異，其中以Harten TVD格式的模擬效果最好。

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Numerical simulation of water hammer with four TVD schemes in surge chamber

DONG Yu1,LIU Han-sheng1,CAO Chang-chong2

(1CollegeofWaterResourcesandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniviversity,Yangling,Shaanxi712100,China；2ChinaYangtzePowerCo,Ltd,Yichang,Hubei443002,China)

Abstract:【Objective】 Four TVD schemes with different construction methods were presented to analyze and compare the numerical performances of dissipative and compressible features when capturing the water hammer wave,aiming to provide reference for simulating water hammer process of surge pressure pipeline in hydropower station.【Method】 Four typical TVD schemes including the modified Harten’s TVD scheme,Sweby’s TVD scheme,TVD-MacCormark scheme and fully discrete TVD scheme were used to solve the water hammer equation numerically.Combined with the given surge chamber system water hammer model boundary conditions,a practical engineering problem was calculated and numerical simulation results were compared with experimental data.【Result】 TVD schemes can numerically simulate the water hammer process of surge pressure.In contrast with the experimental data,the relative error of the maximum water hammer pressure was less than 1%,and TVD scheme had the ability to capture the shock wave discontinuous.Comparison of calculation results showed that the modified Harten’s TVD scheme was the best for simulating water hammer because it agreed well with the experimental data in the process of water hammer wave rise and oscillation.【Conclusion】 TVD schemes have high calculation precision and are effective methods to simulate water hammer of surge chamber.

Key words:surge chamber;water hammer;numerical simulation;TVD scheme;numerical flux

DOI：網(wǎng)絡(luò)出版時間:2016-03-1408:4510.13207/j.cnki.jnwafu.2016.04.030

[收稿日期]2014-07-11

[作者簡介]董瑜(1989-)，女，安徽碭山人，在讀碩士，主要從事計算流體數(shù)值模擬研究。E-mail:dongyuff@126.com[通信作者]劉韓生(1962-)，男，陜西韓城人，教授，博士，碩士生導師，主要從事高速水流研究。 E-mail:hanshengliu@126.com

[中圖分類號]TV131.4

[文獻標志碼]A

[文章編號]1671-9387(2016)04-0225-05

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20160314.0845.060.html