淺談“問題式探究”教學(xué)

賀家軍+++李勇

【分類號】G633.3

“問題式探究”頻繁出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中，幾乎每一冊書都有，每一章都有，這足以說明“問題式探究”中教材中地位，同時也說明了“問題式探究”教學(xué)的重要性和必要性。

一、“問題式探究”教學(xué)主要探究什么.

1.1探究條件.

數(shù)學(xué)中的問題一般是由條件和結(jié)論組成。因此探究問題的條件是“問題式探究”教學(xué)的一個主要的探究對象。探究條件主要是針對一個結(jié)論，條件未知需探究，或條件增減需確定，或條件正誤需判斷。

如（必修5，P45）一般地，如果一個數(shù)列 的前 項和為 ，其中 ， ， 為常數(shù)，且 ，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

不難發(fā)現(xiàn)：當 時，這個數(shù)列一定是等差數(shù)列；當 時，這個數(shù)列不是等差數(shù)列。

此類問題的難點是如何應(yīng)用“執(zhí)果索因”.在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充要條件，應(yīng)引起注意.

1.2探究結(jié)論.

既然數(shù)學(xué)中的問題一般是由條件和結(jié)論組成，因此探究問題的結(jié)論是“問題式探究”教學(xué)的另一個主要的探究對象。探索結(jié)論是：根據(jù)給出的條件或設(shè)計方案，判斷設(shè)計的方案是否符合條件要求.此類問題的難點是“閱讀理解”這一環(huán)節(jié)，因此應(yīng)做到審得仔細、找得有法，推得有理、證得有力.

例（必修4，P138.B組第3題）觀察以下等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.

不難發(fā)現(xiàn)：上述等式反映的一般規(guī)律為： （其中 ），證明略.

例（必修5，P48.B組第4題）數(shù)列 的前 項和

，

探究一下，能否找到求 的一個公式，你能對這個問題作一些推廣嗎？

不難發(fā)現(xiàn)： .

推廣：已知數(shù)列 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 前 項和，則 .

1.3探究解法

數(shù)學(xué)中的問題一般是由條件和結(jié)論組成，因此探究由問題的條件推導(dǎo)問題的結(jié)論，即探究解法也是“問題式探究”教學(xué)的一個主要的探究對象.

例（選修2-1，P40.）例1已知橢圓的兩個焦點坐標分別是 ，并且經(jīng)過點 ，求它的標準方程.

解：因為橢圓的焦點在 軸上，所以設(shè)它的方程為 .

由橢圓的定義知 .

所以 .又因為 ，所以 .因此，所求橢圓的標準方程為 .

探究：你還能用其他方法求它的方程嗎？哪種方法簡單？你有什么體會？

通過探究解法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.

二、“問題式探究”教學(xué)主要的探究方法.

2.1歸納探究

歸納探究是由部分到整體、由個別到一般的探究；歸納探究的前提是部分的、個別的事實，因此歸納探究的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的（如教科書中所述的“費馬猜想”）.如（選修2-2，P71.例1）已知數(shù)列 的第1項 ，且 ，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.

解：當 時， ；當 時， ；當 時， ；當 時， .觀察可得，數(shù)列的前4項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù).由此猜想，這個數(shù)列的通項公式為 .

在進行歸納探究的時候，總是先為搜集一定的事實材料，有了個別性的、特殊性的事實作為前提，然后才能進行歸納探究，因此歸納探究要在觀察和實驗的基礎(chǔ)上進行。

歸納探究能發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，是作科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。

2.2類比探究

在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識出發(fā)，通過類比探究而提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)。例如數(shù)學(xué)家波利亞（Polya，1887—1985）曾指出：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題.”其實數(shù)學(xué)中還有很多的問題，如向量與數(shù)的類比，有限與無限的類比，不等與相等的類比，如（選修2-1，P41.例3）設(shè)點 的坐標分別是 .直線 相交于點 ，且它們的斜率之積是 ，求點 的軌跡方程，與（選修2-1，P55.探究）設(shè)點 的坐標分別是 .直線 相交于點 ，且它們的斜率之積是 ，求點 的軌跡方程.并由點 的軌跡方程判斷軌跡的形狀與（選修2-1，P80.第10題）已知 的兩個頂點 的坐標分別是 ，且 所在直線的斜率之積是 ，試求頂點 的軌跡與（選修2-1，P81.第5題）已知點 的坐標分別是 .直線 相交于點 ，且它們的斜率之和是 ，求點 的軌跡方程.

通過類比探究也能發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論.類比探究是作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段.

三、“問題式探究”教學(xué)的意義

首先、學(xué)生地位改變了.“問題式探究”教學(xué)以學(xué)生為主體，不僅重視對學(xué)生知識的傳授，而且注重學(xué)生的全面發(fā)展。在教學(xué)過程中不緊尊重學(xué)生的思想感情，還看到了學(xué)生的能動性和創(chuàng)造性.

其次、“問題式探究”教學(xué)既重視過程又重視結(jié)果.“問題式探究”教學(xué)既重視學(xué)生掌握知識本身，還重視學(xué)生掌握獲取知識的方法，并且在操作中超越教材，發(fā)展學(xué)生的思維和創(chuàng)新能力.改變了傳統(tǒng)教學(xué)中只重視結(jié)果而不重視過程，排斥學(xué)生式的思考和個性，促進了教學(xué)變革.

再次、“問題式探究”教學(xué)重視科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).情感發(fā)展不僅是教學(xué)的重要手段和提高學(xué)生認知水平的有效途徑，也是學(xué)生綜合素質(zhì)的有機組成部分.“問題式探究”教學(xué)重視學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng)，重視學(xué)生作為主體最重要的感受、情感、價值和潛能.將“問題式探究”教學(xué)引入課堂，有利于改變傳統(tǒng)教學(xué)方式中只重視學(xué)生認知不重情感，將學(xué)生視為認知工具的局面，促進教學(xué)方式的變革.