分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊曉葦 柏春松

摘要：在中學(xué)數(shù)學(xué)解題時(shí)，要經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想。分類討論思想體現(xiàn)是由整體到個(gè)體，一般到特殊的思想，它展示了問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)人的思維發(fā)展起著重要的作用。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；分類討論；解題

【分類號(hào)】G633.6

一 引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用分類討論思，可以培養(yǎng)學(xué)生全面解決問(wèn)題的能力。本文研究了分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，闡述了它的含義，并敘述了它的原則和意義。

二 正文

1概念

張學(xué)暉在《分類討論思想與數(shù)學(xué)解題》中提到：“分類討論思想是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，無(wú)法用同一種方法去解決，而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題，將這些小問(wèn)題一一加以解決，從而使問(wèn)題得到解決，這就是分類討論思想”[1] 。

分類討論思想是一種教學(xué)策略，它將所研究的對(duì)象由大化小、由整體化為部分、由一般化為特殊。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)碰到這樣一些情況，當(dāng)解答問(wèn)題到了某一步驟后，就無(wú)法再沿用單一的式子和方法繼續(xù)解答，原因在于此時(shí)所研究的問(wèn)題包括了多種情況。我們就把這個(gè)問(wèn)題分為幾個(gè)有限的小問(wèn)題，再把每一個(gè)小問(wèn)題分別解答出來(lái)，那么這種解決問(wèn)題的方法叫做分類討論的思想方法。

要想完整地解決問(wèn)題，就必須準(zhǔn)確地應(yīng)用分類討論思想。，而且在此基礎(chǔ)上，要使得分類保持在同一標(biāo)準(zhǔn)。分類討論思想方法就是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類和整合，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)后，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件，將大問(wèn)題化為小問(wèn)題，從而降低將問(wèn)題的求解難度。一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)用分類討論思想，首先需要明確討論的對(duì)象和討論的范圍，確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后，逐步討論，最后，總結(jié)概括，得出結(jié)論。

由于分類討論一般過(guò)程冗長(zhǎng)，敘述煩瑣，且極易造成失誤。因此，擺脫思維定勢(shì)，將問(wèn)題中的潛在條件挖掘出來(lái)是掌握透徹分類討論思想的要點(diǎn)。我們要盡可能地簡(jiǎn)化分類討論的步驟，使解題思路得到進(jìn)一步升華，使解題的途徑更加合理簡(jiǎn)捷。

2 原則

研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最常用的思想就是分類討論思想，分類討論思想的核心是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理分類。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分類討論思想的應(yīng)用是十分廣泛地。了解學(xué)生是否將數(shù)學(xué)知識(shí)掌握透徹，有一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，那就是能否正確地運(yùn)用分類討論法去解決問(wèn)題。那如何進(jìn)行分類討論呢？為了合理準(zhǔn)確地解題，分類必須要科學(xué)謹(jǐn)慎。在中學(xué)階段，分類討論思想的基本原則有同一性原則、互斥性原則、相稱性原則和層次性原則。

2.1 同一性原則

分類必須遵循某一特定的分類標(biāo)準(zhǔn)，也就是說(shuō)每次分類時(shí)，不能將多個(gè)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)同時(shí)使用，否則會(huì)導(dǎo)致分類的混亂。例如，把三角形分為銳角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、鈍角三角形，很明顯，以上對(duì)三角形的分類是不正確的，因?yàn)樗劝催呌职唇?，同時(shí)使用了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，造成分類的混亂。正確的分類是把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

2.2 互斥性原則

分類后的每個(gè)子項(xiàng)都應(yīng)當(dāng)互不相容，即每個(gè)子項(xiàng)要相互排斥。也就是說(shuō)分類后不能有一些事物既包含于這個(gè)子項(xiàng)，又包含于另一個(gè)子項(xiàng)，造成子項(xiàng)外延的重疊。例如，某班有9位女生參加書法和繪畫兩項(xiàng)比賽，其中6人參加書法比賽，5人參加繪畫比賽，若把女生分成書法和繪畫兩類，這就犯了子項(xiàng)相容的邏輯錯(cuò)誤。

2.3 相稱性原則

分類應(yīng)當(dāng)相稱，即分類后子項(xiàng)的外延之和應(yīng)該等于母項(xiàng)的外延，而不能出現(xiàn)分類后子項(xiàng)外延的遺漏。例如，某人把整數(shù)分為正整數(shù)和負(fù)整數(shù)兩類。這個(gè)分類不符合相稱性原則，因?yàn)槟疙?xiàng)的外延的大于子項(xiàng)外延的總和，事實(shí)上整數(shù)中還包括零。

2.4 層次性原則

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題只需一次性分類，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題則需多次分類。當(dāng)被討論的對(duì)象只需分類一次時(shí)，我們稱之為一次分類；而多次分類則是由于被討論對(duì)象比較復(fù)雜，需要把首次分類后的子項(xiàng)作為新的母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類，一直到滿足需要為止，從而解決整個(gè)問(wèn)題。例如，實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)又可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)則可以分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零等等。

值得一提的有很多可以用分類討論思想去解答的題目，它并不是孤立的。有時(shí)可以用這種分類標(biāo)準(zhǔn)，也可以用其他的分類標(biāo)準(zhǔn)，所以在應(yīng)用分類討論思想來(lái)解答題目時(shí)必須要按照相同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)進(jìn)行，做到不重復(fù)不遺漏。

3 應(yīng)用

在解決有關(guān)三角形問(wèn)題時(shí)，常常運(yùn)用分類討論思想。例如，已知兩邊的長(zhǎng)度，且圖形為等腰三角形，求該三角形的面積和周長(zhǎng)。在這個(gè)問(wèn)題中，并不明確哪條邊是底邊，哪條邊是腰，所以需要進(jìn)行分類討論。設(shè)其中一條邊是底邊，另一條是腰，然后求解。

在解決有關(guān)于集合問(wèn)題時(shí)，常常需要結(jié)合元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。例如，對(duì)于空集的特殊性，在解題時(shí)，若未指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，進(jìn)行分類討論。

在解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常常需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論。例如，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，需要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論。在解決不等式相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要絕對(duì)值進(jìn)行分類討論。

在解決有關(guān)圓問(wèn)題時(shí)，包括 、 、以及 之間的關(guān)系，特別是圓與圓之間的位置關(guān)系，常常需要運(yùn)用分類思想。

三 小結(jié)

通過(guò)本文的論述，我們了解了分類討論思想，很顯然，分類討論的思想方法可以幫助學(xué)生高效的解決問(wèn)題。在課堂討論中，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生主動(dòng)地使用分類討論法去解決問(wèn)題。值得注意的是，不能盲目地運(yùn)用分類討論思想，不能急于運(yùn)用。在運(yùn)用之前，需要深入分析題目，充分領(lǐng)會(huì)其中的含義，再合理運(yùn)用分類思想，確定正確的解題方法，避免出錯(cuò)或不必要的分類討論。

參考文獻(xiàn)

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