實(shí)踐出真知運(yùn)用育素養(yǎng)
——“不可思議的結(jié)果”教學(xué)案例及評(píng)析

◇設(shè)計(jì)、評(píng)析/汪學(xué)軍 執(zhí)教/張茜

實(shí)踐出真知運(yùn)用育素養(yǎng)
——“不可思議的結(jié)果”教學(xué)案例及評(píng)析

◇設(shè)計(jì)、評(píng)析/汪學(xué)軍 執(zhí)教/張茜

一提出問題

師：上課前，老師給大家發(fā)了一張報(bào)紙。假設(shè)一張紙的面積足夠大。它的厚度是0.1毫米，如果將這張紙對(duì)折30次，將有多厚呢？

評(píng)析：本節(jié)課的主要目標(biāo)是制訂解決問題的方案，所以開門見山呈現(xiàn)問題，而不是基于情境讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)提出問題”。

二理解問題

師：有多厚呢？誰來猜一猜？

生：它的厚度將會(huì)是3厘米。

生：6厘米。

生：我認(rèn)為是4厘米。

師：也可以用手比畫一下。

生:我覺得是5厘米。

生:原來是0.1毫米的話，乘以60，就是6毫米。（其他學(xué)生小聲發(fā)出異議，停頓了一會(huì)兒）應(yīng)該是6厘米。

評(píng)析：“猜一猜”活動(dòng)引發(fā)了學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的沖突，激發(fā)了學(xué)生研究的需要，也使折30次到底是怎樣的運(yùn)算凸現(xiàn)出來。

三確定方案

師：同學(xué)們的答案都不一樣，哪個(gè)答案是正確的，你打算怎樣驗(yàn)證？

（學(xué)生沒有反應(yīng)）

師：你打算第一步做什么？第二步做什么？

（還是沒有學(xué)生舉手，教師直接點(diǎn)了一個(gè)學(xué)生）

生1:先拿一張紙，對(duì)折幾次，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，就知道對(duì)折30次的厚度是多少了。

（其他學(xué)生疑惑地看著生1）

師：你還能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？

（教師本來希望學(xué)生說測(cè)量的，顯然沒有想到學(xué)生會(huì)這么回答）

師：哦，請(qǐng)坐！還有沒有不同的想法？

生2：用0.1乘2，再乘2，一直乘30次就行了。

（生2說完后，此種方法并沒有引起其他學(xué)生的注意和共鳴）

師：還有不同的想法嗎？

生3：對(duì)折30次，然后再來測(cè)量。

（師板書：1.對(duì)折30次。2.測(cè)量）

評(píng)析：在最合理、最好的方案沒有得到同學(xué)的理解和認(rèn)可時(shí)，教師從學(xué)生認(rèn)可但行不通的方案入手，順應(yīng)了學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)，曲折迂回的教學(xué)策略有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

師：拿出我們的報(bào)紙，折一折，量一量。

（生開始對(duì)折，折了七八次，就發(fā)現(xiàn)對(duì)折不了）

師：既然對(duì)折不了30次，我們也就無法測(cè)量。也就是說我們這個(gè)解決問題的步驟實(shí)現(xiàn)不了。那么該怎么修改呢？

生1:先對(duì)折10次，然后再測(cè)量，最后乘3。

師：為什么乘3呢？

生1：因?yàn)槲覀儗?duì)折不了30次，我們是對(duì)折0次，30除以10等于3，所以要乘以3。

生2:我覺得應(yīng)該對(duì)折5次。因?yàn)槲覄倓傉鄣臅r(shí)候，最多只能折7次，折不了10次，所以我選擇對(duì)折5次。

生1:我同意生2的意見。

師：對(duì)折5次后，你打算怎么做？

生2:再用尺子測(cè)量，測(cè)量的厚度乘6，就是對(duì)折30次的厚度。

師：為什么要乘6？

生2：因?yàn)檎?0次的厚度是折5次的6倍，所以要乘6。

生3：老師，我想對(duì)折3次，再乘10。

師：剛才三名同學(xué)都說要將30這個(gè)次數(shù)減少。看來我們第一步就是對(duì)折較少的次數(shù)，那么對(duì)折幾次呢？

生：3次、5次、6次都可以。

師：接著呢？

生：測(cè)量。

生：乘以倍數(shù)。

師：無論是對(duì)折3次、5次，還是6次，都要找與30次之間的關(guān)系。

（生回答，教師相機(jī)板書后，接著教師指著新擬定的解決問題步驟說：這就是我們修改后的解決問題的步驟，你們同意嗎）

（師板書：1.對(duì)折較少的次數(shù)。2.測(cè)量。3.找與0次的關(guān)系。4.計(jì)算）

評(píng)析：什么樣的解決問題的方案是有價(jià)值的？面對(duì)一個(gè)問題，能夠順利地?cái)M訂出解決問題的步驟固然是可喜的。如果從積累解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來講，讓學(xué)生經(jīng)歷方案“失敗——反思——修改”的過程更有價(jià)值。

四實(shí)施方案

師：老師還有一個(gè)問題想問問大家，我們?nèi)绾窝芯繉?duì)折5次和對(duì)折30次之間的厚度的關(guān)系？是直接量，還是用張數(shù)來分析？

生1：用張數(shù)分析。

生2：用量來分析。

生3：用張數(shù)來分析，測(cè)量有誤差，再說也對(duì)折不了30次。

師：你打算如何記錄對(duì)折后的張數(shù)？

生1：先寫對(duì)折1次，再寫多少張；接著寫對(duì)折2次，再寫多少張……就這樣一直記錄下去。

師：其實(shí)你是打算用表格記錄，對(duì)嗎？

師：像這樣用表格記錄的方法，有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（出示表1和活動(dòng)要求）

表1

活動(dòng)要求：1.請(qǐng)同學(xué)們將每次對(duì)折后的張數(shù)填到表格中。2.觀察表格，每次對(duì)折后的張數(shù)有什么規(guī)律嗎？

（學(xué)生拿出教師提供的記錄單，一邊折，一邊觀察和記錄。等學(xué)生活動(dòng)完了，教師請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)）

生1:對(duì)折1次的張數(shù)是2，對(duì)折2次的張數(shù)是4……對(duì)折6次的張數(shù)是64。

（生說完，教師用幻燈片出示下面的表格，如表2，接著問生1：最后一個(gè)64你是折出來的嗎）

表2

生1:不是，是算出來的。

師：你怎么算的？

生1:第一次是2，第二次是4，第三次是8。2 乘2等于4，4乘2等于8，后面是8乘2等于16，16乘2等于32。每次乘2就等于下一次的張數(shù)。所以，對(duì)折6次的張數(shù)就是32乘2得64。

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為呢？

生2：張數(shù)是依次乘2，也就是前一次的張數(shù)乘2就是后一次的張數(shù)。

（師板書：前一次的張數(shù)×2=后一次的張數(shù)）

師：下面不再折紙，你能不能找到對(duì)折30次后的張數(shù)？

[師出示對(duì)折7～30次的表格（仿表，略）后，說：請(qǐng)繼續(xù)寫下去]

（生拿出計(jì)算器開始計(jì)算，并填在表格中）

師：對(duì)折30次后，一共是多少張呢？

（生數(shù)了數(shù)數(shù)，才回答道：十億七千三百七十四萬一千八百二十四張）

師：看到這個(gè)結(jié)果，你覺得——

生：太不可思議了！

（教師板書課題：不可思議的結(jié)果）

師：一張紙才0.1毫米厚，1073741824張紙到底有多厚呢？趕快在你的答題卡中寫出來。

[等學(xué)生換算完后，教師展示一個(gè)學(xué)生的答題卡：1073741824×0.1=107374182.4（毫米）= 107374.1824（米）]

評(píng)析：不少老師反映綜合與實(shí)踐活動(dòng)難以落實(shí)有以下兩個(gè)原因：一是學(xué)習(xí)材料難準(zhǔn)備；二是知識(shí)難度大，活動(dòng)過程繁雜。本節(jié)課，首先學(xué)習(xí)材料只需要廢報(bào)紙、計(jì)算器、作業(yè)紙，很好準(zhǔn)備。其次，問題的主干文字少，簡(jiǎn)單明了。知識(shí)點(diǎn)只需小數(shù)的乘法、單位換算和估算，都不難。再次，這節(jié)課的過程清晰簡(jiǎn)單，沒有在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題各環(huán)節(jié)同時(shí)設(shè)置高難度的問題，而是選擇一個(gè)側(cè)重點(diǎn)。最后，整個(gè)探究的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷了模型的建立過程和運(yùn)用模型解決問題的過程，發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。

五活動(dòng)結(jié)論

師：107374.1824米到底有多厚呢？你們知道嗎？

（生搖搖頭）

師：世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，它的高度是8844.43米。估一估，對(duì)折30次的紙的厚度大約是幾個(gè)珠穆朗瑪峰的高度？

生1：大約是11個(gè)珠穆朗瑪峰的高度，因?yàn)?0萬里面大約有10個(gè)，7374差不多又是1個(gè)，所以至少有11個(gè)珠穆朗瑪峰那么高！

生2:大約是12個(gè)，把107374.1824米看作108000米，把8844.43米看作9000米，108000÷ 9000=12。所以對(duì)折30次的紙的厚度大約是12個(gè)珠穆朗瑪峰那么高！

師：同學(xué)們，無論是11個(gè)，還是12個(gè)，想想我們?cè)瓉砉烙?jì)的3厘米、5厘米、6厘米，這樣的結(jié)果——

生：太不可思議了。

評(píng)析：將數(shù)量與一個(gè)具體形象的事物進(jìn)行比較，使數(shù)學(xué)結(jié)論在學(xué)生腦海里變得具體形象，在估計(jì)的過程中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

六反思評(píng)價(jià)

師：光知道不可思議可不行，我們一起來回憶一下，在我們研究過程中遇到了什么困難？我們?cè)趺唇鉀Q的？

生：對(duì)折不了30次，我們就對(duì)折較少的次數(shù)，再來找規(guī)律。

師：將對(duì)折30次變成對(duì)折6次，再來找規(guī)律，這種研究方法在數(shù)學(xué)里叫化繁為簡(jiǎn)。同學(xué)們?cè)倏纯矗鉀Q問題的步驟中，哪一步是找規(guī)律呢？

生：找與對(duì)折30次的關(guān)系就是找規(guī)律。

師：我們是怎樣找規(guī)律的？

生：列一個(gè)表格，記錄下來，再觀察，就發(fā)現(xiàn)了。

師：很好！這就是列表的策略。大家再想一想，第二步測(cè)量用了嗎？（學(xué)生都認(rèn)為沒有）我們用什么代替呢？

生：數(shù)張數(shù)。

師：所以我們解決問題的步驟還是四步。同學(xué)們，將來我們?cè)诮鉀Q問題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到一些意想不到的困難，我們要學(xué)會(huì)合理地調(diào)整解決問題的步驟和方法。

評(píng)析：對(duì)研究過程進(jìn)行回憶反思起到了這樣幾個(gè)作用。一是通過回憶解決問題方案在實(shí)踐操作中的落實(shí)過程，進(jìn)一步反思方案的合理性，為今后的研究性學(xué)習(xí)積累有益的經(jīng)驗(yàn)。二是回憶解決問題過程中策略的使用，為今后的合理應(yīng)用策略積累經(jīng)驗(yàn)。三是提煉活動(dòng)中的數(shù)學(xué)思想方法，能為運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（作者單位：湖北武漢市光谷九峰第一小學(xué)，武漢市光谷第九小學(xué)）