有關(guān)非線性有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性證明的討論

劉純英

【摘 要】本文主要探討了非線性有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性的定性性質(zhì)，并總結(jié)了有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性證明方法。

【關(guān)鍵詞】差分方程；全局漸近穩(wěn)定性；定性性質(zhì)

差分方程是與微分方程相平行的數(shù)學(xué)理論，差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律，就是針對(duì)需要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或者過程中的離散變量。根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系等建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系式，從而建立差分方程，然后通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質(zhì)，如平衡性、穩(wěn)定性、振動(dòng)性、周期性等。從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他的分析，得到原問題的解。近幾十年來，在生態(tài)學(xué)、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域的研究中已經(jīng)提出并運(yùn)用了大量的時(shí)滯微分方程模型來描述研究對(duì)象，對(duì)這些數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為的研究具有重要的實(shí)際意義和實(shí)際前景。

近來，高階有理型差分方程的定性性質(zhì)引起了大家的極大興趣，研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩(wěn)定性沒有固定的方法，對(duì)不同的問題所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一種有力的工具，尋找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩(wěn)定性還有待于進(jìn)一步探索。

比如文獻(xiàn)[3]，G.Ladas 建立方程：

對(duì)四階及以上階次的差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性進(jìn)行研究，這將對(duì)差分方程解的定性性質(zhì)的研究有極大的推動(dòng)作用。

由于全局漸近穩(wěn)定性關(guān)于平衡解的半環(huán)的分布規(guī)律的樣式繁多，由于在分析半環(huán)的過程非常復(fù)雜，因此，我們將用子序列分析法來研究一類高階有理差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性。一些結(jié)果被推廣。我們將通過建立輔助方程的方法，并且應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，研究一些高階有理差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性。

近年來，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了的大量的差分方程，這是因?yàn)橐粋€(gè)離散過程的自然模型或者一個(gè)連續(xù)過程的離散模擬都可以產(chǎn)生差分方程。后者主要出現(xiàn)在常微分方程與偏微分方程的數(shù)值求解中。從數(shù)學(xué)的角度來說，連續(xù)的結(jié)果與離散的結(jié)果是可以相互通達(dá)的。因此，把微分方程的結(jié)果離散化就可以得到相應(yīng)的差分方程的結(jié)果。由于微分方程解的定性和穩(wěn)定性的研究比較成熟，結(jié)果也比較多。因此，研究微分方程解的動(dòng)力學(xué)行為的一些理論，方法以及工具可以借用到研究差分方程的動(dòng)力學(xué)行為上。故差分方程解的定性和穩(wěn)定性理論也比較多。然而，差分方程與相應(yīng)的微分方程也存在許多差異，甚至是本質(zhì)上的差異。

例如，在1991年W.G.Kelley和A.C.Peterson發(fā)表的論文中，連續(xù)的Logistic方程：

的每個(gè)解都是單調(diào)的，但是，它的離散模擬：

xn+1=axn（1-xn），n>n0

在a=4時(shí)，卻有一個(gè)“混沌解”；S.Mohamad與K.Gopalsamy指出：盡管有許多數(shù)值方法去近似連續(xù)系統(tǒng)的解。但是，兩種系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)與相應(yīng)的離散系統(tǒng)）解的漸近行為是經(jīng)常不一致的。J.S.Yu和Z.C.Wang發(fā)現(xiàn)時(shí)滯微分方程與其離散類似在振動(dòng)性方面存在差異，此類差異不勝枚舉。差分方程與相應(yīng)微分方程之間差異，以及差分方程本身的廣泛應(yīng)用表明差分方程值得進(jìn)一步研究，也表明了其研究的現(xiàn)實(shí)意義非常重大。

有理型差分方程也被稱為有理遞歸序列，這種類型的差分方程看起來很簡(jiǎn)單而且它的性質(zhì)和一些猜想可以被計(jì)算機(jī)模擬，常常被人們誤認(rèn)為簡(jiǎn)單，然而事實(shí)上并非如此，遞歸差分方程是近年來研究的主題。

差分方程也經(jīng)常用于模擬生物學(xué)，電子學(xué)，生物學(xué)，工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程或時(shí)滯微分方程的離散模擬或數(shù)值求解。近年來，全局漸近穩(wěn)定性的定性性質(zhì)引起了大家的極大興趣，通過對(duì)有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性的研究，通過分析關(guān)于平衡解的半環(huán)的分布規(guī)律來確定平衡解的穩(wěn)定性，得到了此類有理差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性的一些充分條件。這些性質(zhì)在生態(tài)學(xué)，物理，化學(xué)，工程，醫(yī)學(xué)等諸多方面的研究中都有非常重要的應(yīng)用，因此，它的研究具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用前景。

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