基于不完美維修庫存生產下設備定期預防維修策略

劉永迅　呂文元

摘 要：文章針對生產線上庫存生產的隨機故障設備，制定一個新定期預防維修策略。在該策略中假設設備的壽命，預防維修時間都是服從隨機分布，同時假定設備故障事后維修為不完美維修，其設備壽命服從準更新過程。然后結合該策略構建數學模型，通過計算最小化預防維修周期內設備維修成本、庫存成本和短缺成本的總和，獲得反映該策略的兩個決定性變量目標庫存量和定期預防維修周期的最優(yōu)值。

關鍵詞：定期預防維修；隨機故障；不完美維修

中圖分類號：F253 文獻標識碼：A

Abstract： The paper derived out a new regular preventive maintenance strategy for randomly failure inventory production unit of line production system. Suppose in the policy life of the equipment， preventive maintenance time are subject to a random distribution， while assuming that the equipment failure corrective maintenance is not perfect repair， equipment life follows its quasi-renewal process. The optimum values of the decision variables S and T， which decide of this strategy， are obtained by trading off the maintenance cost， the inventory holding cost， and the shortage cost such as their sum is minimum.

Key words： preventive maintenance； randomly failing； imperfect maintenance

0 引 言

很多文獻表明預防維修可以有效地延長隨機故障設備壽命和減少生產成本[1-3]。在提倡最小化庫存與周轉次數的just-in-time生產環(huán)境下，預防維修的效果日漸凸顯，其影響越來越大[4]。目前預防維修的研究已取得很多階段性的成果，Zhao研究了一個執(zhí)行周期性預防維修的設備，假定每一次預防維修之后設備開始新的失效過程，并用退化率來表示不完全維修的影響，其為一個變量，最后推導出了設備生命周期內的可使用率、成本函數，并獲得了最佳的維修次數和時間間隔[5]。韓幫軍等提出了等效役齡的概念，建立了預防性維修周期故障率的遞推關系，并以故障時間符合威布爾分布的設備為例，構建可靠度約束條件下有限時間區(qū)間的預防性維修策略的優(yōu)化模型，反映系統(tǒng)在特定時間段內預防性維修活動的控制方法考慮設備的可靠性與成本之間的相互約束關系[6-7]。

然而這些策略大部分圍繞解決單設備的維修次數和預防維修間隔問題。對于兩隨機故障設備之間存在依賴關系這樣的生產環(huán)境，不清楚在何時如何去制定預防維修計劃[8]，因為在執(zhí)行預防維修或故障維修時需要設備停止生產，這樣會使得其依賴設備由于所需求的生產材料不足而影響整條生產線的產能，從而造成非常大的損失。因此如何將生產與維修結合制定，也是目前維修領域需要考慮的問題。

本文考慮針對提倡just-in-time環(huán)境的生產線上隨機故障設備，結合緩沖庫存策略制定一個新的預防維修計劃。在提出的策略中，預防維修固定在T，2T，3T…時刻執(zhí)行，在每個T間隔周期開始，設備以最大的生產速度α來積累庫存S，直至達到目標庫存量。該目標庫存量需要保證在設備由于隨機故障或定期執(zhí)行預防維修而停機生產的時間內，能夠滿足下游設備的生產原料的固定需求，使得整條組裝線可以持續(xù)以固定的速度β運行。針對該策略，構建一個數學模型，在模型中設備壽命，故障維修時間以及預防維修時間都是服從隨機分布的，且假定每次的定期預防維修周期都是設備的一次更新過程。同時基于現實維修能力的限制，假定定期預防維修周期內設備故障事后維修是不完美的維修，服從更新理論，也就是設備每次發(fā)生故障之后，設備的壽命退化為故障發(fā)生前設備狀態(tài)的a倍（0

1 模型假設

1.1 基本假設

為了模型簡化和研究的方便，在構建模型之前做如下的假設：

（1）設備壽命和維修時間的概率分布是已知的；

（2）一旦機器發(fā)生故障可以馬上反應并修理；

（3）每次維修操作執(zhí)行之后，設備恢復到最新的狀態(tài)；

（4）假設執(zhí)行完維修操作之后機器可以馬上投入生產，同時假定在構建目標庫存量之前設備不會發(fā)生隨機故障；

（5）允許機器有足夠的能力以速度α快速的生產出大小為S的緩沖庫存；

（6）假定所有維修成本和庫存成本都是已知的。

1.2 符號定義

全文中，如下符號會被用到：

2 數學模型

制定生產維修策略的目標就是降低總的生產單元維修成本。依據定義的策略，本文的目標就是在于尋找最優(yōu)的預防維修周期T和庫存大小S，從而使得在這個維修策略下，整個生產過程的每單位時間內總維修成本最低。下面通過分析來建立成本的數學表達式。圖1表示周期T內緩沖庫存的變化。

其中：MT·β·MTTR的大小表示在周期T內設備進行故障維修的時間內組裝線的消耗庫存量的平均值。MT是預防維修周期T內設備可能發(fā)生故障次數的期望值。參考文獻[9]，基于擬更新理論，在假定設備壽命服從伽瑪分布Gammaα，β情況下，設備在0，t時間間隔內發(fā)生隨機故障次數表達式如下：

2.1 維修成本

周期T內維修成本包括故障維修和執(zhí)行一次預防維修的成本，表達式如下：

cm=C ·MT+C

2.2 庫存成本期望

由模型假設4和5，考慮MT·MTTR·β≤S≤αT，總庫存成本期望表達式如下：

其中：MTBF= MTBF

2.3 短缺成本期望

在這個模型中發(fā)生短缺的原因在于當某次預防維修時間太長，導致剩余的庫存量Q=S-MT·MTTR·β不能夠滿足維修期間組裝線的需要，因此短缺成本的表達式如下：

2.4 周期內的總成本期望

設備總成本的期望值包括維修成本，庫存成本和短缺成本。所以它的表達式如下：

將一個維修周期定義為兩次執(zhí)行預防維修操作之間的時間間隔，所以維修周期的平均時間長度為ET+T ，表達式如下：

其中：T 為一個隨機變量，表示預防維修操作所需要的時間。它和預防維修周期T是相互獨立的。F t表示為它的概率分布函數。

因此單元時間內總成本的期望CT表達式如下：

最后，通過建立如下非線性優(yōu)化問題來獲得最優(yōu)的決定變量周期T和庫存S：

下部分將運用枚舉法設計一個計算方案來求解上述非線性規(guī)劃問題以獲得最優(yōu)的解空間S ，T 。

3 數值計算

如下迭代計算步驟用來尋找在給定參數值f x，f x，f x，C ，C ，C ，C ，α，β，T 時維修策略最優(yōu)決定變量S ，T ，同時求得最小的生產總成本。迭代計算流程如圖2所示。

其中：T 必須取得足夠大，這樣能夠選擇到盡可能多的T值進行計算保證得到最佳表現的預防維修周期。

4 數值案例

下面通過一個數值例子來驗證本文策略的有效性。

4.1 數據模擬

雖然這些數據模擬得到的，但主要還是依據許多制造公司在實際操作所遇到的情況來設置，比如在現實中預防維修操作的平均時間遠比生產單元壽命要小，所以在本文中假設預防維修操作時間的平均值為0.04個月，而生產單元壽命的平均時間設置為0.6個月，符合實際的情況。

4.2 計算結果

如表1是使用R語言計算出來的結果：

由表1最后一列的結果顯示，最優(yōu)的策略決定變量為T=1.0和

S=1 858.1。按照這個維修策略，可以得到在周期T內每個設備的最小平均生產成本為15 121.8。

觀察表1中的數據，可以發(fā)現當T值逐漸增大到無窮時（此時也就相當于不對生產單元執(zhí)行預防維修操作），只有故障維修，此時最優(yōu)的庫存大小趨近于最小的庫存。這就意味著，緩沖庫存只需滿足由于隨機故障導致的需求即可。

5 總 結

本文針對組裝線的庫存生產隨機故障設備構建一個結合庫存生產系統(tǒng)的定期預防維修策略模型。在這個模型中假定設備的故障維修和預防維修時間服從隨機分布，同時考慮實際維修能力的限制，假定設備的故障維修為不完美維修。這個策略的關鍵在于兩個決定變量：定期預防維修的周期T和用于緩沖作用的庫存量S。這兩個決定變量的最優(yōu)值是通過最小化每單位時間內生產的總成本期望來得到的。關于這個工作有很多可擴展的地方。例如對這個模型考慮庫存產品會隨著時間而腐蝕的情況，或者考慮生產和需求的速度是可變的情況。

參考文獻：

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