左右極限定理適用范圍的應用

丁艷風　何?。ㄠ嵵萆_經(jīng)貿(mào)管理學院共同學科部，河南鄭州451191）

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左右極限定理適用范圍的應用

丁艷風何俊
（鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院共同學科部，河南鄭州451191）

摘要：求函數(shù)在某點處的極限，判斷函數(shù)在某點處的連續(xù)性、可導性、求間斷點并分類等時，都需要通過求極限來判斷。而所有這些都有一個共性的問題擺在大家的面前：就是不知何時求左右極限，何時不用求左右極限。針對這樣的疑惑，我們給出解除疑惑的關(guān)鍵：都需要用到一個起著關(guān)鍵作用的知識點:左右極限的適用范圍，針對這些知識點及關(guān)鍵需要注意的地方我們做以下幾點說明。

關(guān)鍵詞：極限；連續(xù)；可導性；適用范圍

何俊（1980-），河北邯鄲人，鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院共同學科部，副教授，主要從事數(shù)學教育，應用數(shù)學及灰色系統(tǒng)理論等方向研究。

Abstract:In order to calculate the limit of a function at a point，judge continuity and derivabilityof the function at a point and calculate the discontinuity point and its classification，limit should be calculated first.All of these have a common problem，that is，when to calculate the limit and when not to.As for such doubts，the key to solve these problems is all of these issues need to use a key point of knowledge，that is，scope of the right and left limit.In view of the knowledge point and the key，several problems should be paid attention to，which will be described in the paper.

Keywords:limit；continuity；derivability；scope

引言

極限是微積分的工具，在每一章節(jié)里都少不了求極限。在微積分的微分部分，有一個始終困擾學生的一個問題就是：對于函數(shù)趨于某點x0處的極限，什么時候需要求左右極限，什么時候不需要求左右極限，針對這樣的困惑我們就微積分中常出現(xiàn)的、學生容易出錯的地方來做一下簡單說明。

一、左右極限定理

求函數(shù)在某一點處的極限有三種情況，第一種情況是x從x0的左邊趨于x0，記為第二種情況是x從x0的右邊趨于x0，記為x→x0，第三種情況就是x從x0的左右兩邊趨于x0，記為x→x0。前面兩種情況初學者很容易理解，但是對于第三種情況，有些題目需要考慮左右極限才能求出結(jié)果，有些題目不需要考慮左右極限就可以直接求出。面對這種情況新學者一下子區(qū)分不開，就會出現(xiàn)我們剛開始說的情況。因為在這種情況下，相應的有下面的左右極限定理：

1.左右極限定理：

2.左右極限定理的使用范圍：（1）左右極限定理主要用于求分段函數(shù)在分段點處，且在分段點處左右兩側(cè)表達式不同時的極限；

為了幫助學生理解這一點，我們最好舉個例子：

這個函數(shù)雖然是分段函數(shù)，但是在分段點x=1處函數(shù)左右兩邊的表達式一樣，從而就不用考慮左右極限了而是直接利用函數(shù)的性質(zhì)就可以求出

（2）左右極限定理主要用于求含有絕對值（或開偶次方根）的函數(shù)在使絕對值為零處的極限。

此點有學生不容易理解的地方：在使絕對值為零處，為此我們可以舉例如下：

此極限含有絕對值，且當x→3時|x-3|的值為零，所以求這類極限就要考慮左右極限。因為x從3的左右兩邊趨于3時，兩種情況去絕對值后的函數(shù)表達式不同了。

同樣也含有絕對值，但是當x→1時|x-2|的值不為零，所以求這樣的極限就不需要考慮求左右極限。

下文例如4、例如5這兩個極限都滿足條件（3），所以要通過求左右極限來判斷此極限是否存在。

解：

從而極限不存在。

在講完此定理的同時一定要給學生詳細的講解一下左右極限定理的適用范圍，只有把這幾個適用范圍記清楚了，在求函數(shù)趨于某點x0時的極限就不容易出錯了。并同時指出這幾點一定要記好，因為接下來后續(xù)幾章都要用到。

二、左右極限定理適用范圍在連續(xù)性中的應用

（一）判斷函數(shù)在x0處的連續(xù)性

函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)的定義：設函數(shù)f（x）在點x0處有定義，如果

則稱函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)。

由連續(xù)的定義知：判斷函數(shù)在某點處是否連續(xù)，（1）首先得看看函數(shù)在這點處是否有定義；（2）其次若有定義再看看極限是否存在；（3）最后若極限存在再判斷極限值是否等于函數(shù)值。一般題目中條件（1）一定滿足，最重要的一步就是條件（2），而這一點就是求函數(shù)在某點處的極限是否存在，恰就是這一點是學生最容易出錯，最不易理解的一點：何時求左右極限，何時不用求左右極限，原因就是對左右極限定理的適用范圍這一點掌握的不好，這時我們不妨強調(diào)一下。舉例如下：

這是一個判斷分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性的問題，根據(jù)連續(xù)的定義需先判斷極限是否存在，若存在，再判斷極限值是否等于函數(shù)值f（0）。很顯然分段函數(shù)在分段點x=0處左右兩邊表達式不同，從而由左右極限使用范圍（1）知道需要求左右極限。

此函數(shù)也為分段函數(shù)，在分段點的左右兩邊表達式相同，但是卻是適用范圍（3）中的情況，從而求極限也需要求左右極限。

（二）函數(shù)的間斷點及其分類

間斷點分為第一類間斷點和第二類間斷點，而這兩類間斷點的定義也是從極限入手的。

間斷點的定義：設x0為f（x）的間斷點。

（1）若f（x）在x0處的左右極限都存在，則稱x0為f（x）的第一類間斷點。特別地，當左右極限相等時，即存在時，稱間斷點x0為f（x）的可去間斷點；當左右極限不相等時，稱間斷點x0為f（x）的跳躍間斷點。

（2）若f（x）在x0處的左右極限至少有一個不存在，則稱x0為f（x）的第二類間斷點。特別地，當左右極限中至少有一個為無窮大時，稱x0為f（x）的無窮間斷點。

由定義給初學者的錯覺是判斷間斷點的類型都要考慮左右極限，只有通過左右極限才能判斷間斷點的類型。而實際上判斷間斷點的類型時用不用求左右極限全靠左右極限的適用范圍，而只有熟悉這三點，針對相關(guān)題目的特點就一目了然。

根據(jù)函數(shù)間斷點定義，可知初等函數(shù)的間斷點只可能出現(xiàn)在函數(shù)無定義的點處：分母為零處或真數(shù)為零處；分段函數(shù)的間斷點只可能出現(xiàn)在分界點處。相應的就有下面的例子。

例3：求下列函數(shù)的間斷點，并判斷間斷點的類型。

（1）為初等函數(shù)，很顯然間斷點只可能出現(xiàn)在使函數(shù)無定義處。x=1，x=2函數(shù)無定義，又在這兩點處不滿足左右極限的適用范圍，所以在求極限時就不用考慮左右極限，直接求極限即可。（2）為分段函數(shù)，間斷點只可能出現(xiàn)在分段點處，又在分段點左右兩邊函數(shù)表達式相同，不滿足左右極限定理的適用范圍，故在判斷間斷點的類型時也不用考慮左右極限。（3）也為分段函數(shù)，但在分段點左右兩邊函數(shù)的表達式不同，滿足左右極限定理的適用范圍，從而在判斷間斷點的類型時需要考慮左右極限。

解：（1）∵x=1，x=2時函數(shù)無定義，所以是間斷點。

所以x=1為第一類可去間斷點。

所以x=2為第二類無窮間斷點。

所以x=1為第一類可去間斷點。

則f（0-0）≠f（0+0），所以x=0為第一類跳躍間斷點。

三、左右極限定理在求導中的應用

求函數(shù)在x0處的導數(shù)一般情況下有兩種做法：一種是用定義求，另一種是求出導函數(shù)，再把x0帶入導函數(shù)即可。第二種方法很容易接受，難點在用導數(shù)定義求，特別是分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)，這一直以來是大家的難點。因為函數(shù)在某點處的導數(shù)的定義也是通過求極限得到的，而且相應的還有左右導數(shù)定理。面對著定義和左右導數(shù)定理，使初學者認為，若用定義判斷函數(shù)在點x0處是否可導，就必須求左右導數(shù)，從而增加了不必要的難度，還易出錯。針對這種情況，我們以分段函數(shù)為例，用導數(shù)定義判斷函數(shù)在點x0處的可導性。

所以f'-（0）=f'+（0），從而f（x）在x=0處可導，且f'（0）=1。

所以f（x）在x=0處可導，且f'（0）=0。

左右極限的概念和計算是微積分教學的重點和難點，這個部分內(nèi)容概念抽象，題型靈活多樣，需要及時歸納總結(jié)，只有深刻理解基本概念，掌握好左右極限的適用范圍，才不至于遇到題目時一籌莫展，而是很容易就找到解決問題的切入點和突破口。

參考文獻

［1］成立社.微積分［M］.鄭州：鄭州大學出版社，2007.

［2］趙樹嫄.微積分（第三版）［M］.北京：中國人民大學出版社，2007.

［3］統(tǒng)計大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

中圖分類號：G0174

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）12-0255-03

作者簡介：丁艷風（1979-），河南鄭州人，鄭州升達經(jīng)貿(mào)管理學院共同學科部，講師，主要從事數(shù)學教育，泛函分析算子理論等方向的研究。