基于改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器設(shè)計(jì)

李 鋒，邱陳輝，徐祖強(qiáng)

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003）

0 引 言

基于LMS算法的時(shí)域自適應(yīng)濾波器被廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲吶、地震學(xué)和生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域，主要分成系統(tǒng)辨識(shí)、逆模型，預(yù)測(cè)，干擾消除四大類別［1，2］。雖然已經(jīng)有前人對(duì)基于FPGA芯片和LMS算法的自適應(yīng)濾波器做了研究探討，但是機(jī)械地將理論算法映射到系統(tǒng)芯片上，或者采用Simulink搭建模塊群再使用DSP Builder轉(zhuǎn)換成VHDL/Verilog程序來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器都不是最佳方案，前者不能充分發(fā)揮理論算法的真正優(yōu)勢(shì)，后者導(dǎo)致程序的極大冗余性，顯然對(duì)自適應(yīng)濾波器的處理速度和FPGA的資源利用率是不利的。本文首先回顧自適應(yīng)濾波結(jié)構(gòu)和算法，然后提出改進(jìn)的DLMS算法，并使用MATLAB對(duì)其進(jìn)行仿真驗(yàn)證，接著在FPGA上選用FIR直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該自適應(yīng)濾波器，并且采用流水線技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最后將其與先前的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行對(duì)比給出結(jié)論。

1 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)和算法

嚴(yán)格意義上講，自適應(yīng)濾波器是時(shí)變的、非線性的，但若濾波器輸出端濾波、平滑或預(yù)測(cè)的量是它的輸入觀測(cè)量的線性函數(shù)，我們往往認(rèn)為該濾波器是線性的。線性自適應(yīng)濾波器的實(shí)現(xiàn)分成結(jié)構(gòu)和算法兩部分。前者根據(jù)自適應(yīng)濾波器的脈沖響應(yīng)是否有限長(zhǎng)可以分為有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（FIR）和無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（IIR）結(jié)構(gòu)，F(xiàn)IR結(jié)構(gòu)由于只具有前向路徑而更受青睞，它又可以細(xì)分為直接型、轉(zhuǎn)置型、網(wǎng)格型和脈動(dòng)陣列型［1］。本文采用最直觀的、應(yīng)用最廣泛的FIR直接型結(jié)構(gòu)。

Bernard Widrow等人于1960年提出的LMS算法由最速下降法推導(dǎo)出來，基于維納濾波理論和最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則，屬于線性自適應(yīng)濾波算法。

令x（n）＝［x（n），x（n－1），…，x（n－L＋1）］T表示自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)矢量，其中L表示該濾波器的階數(shù)，w（n）＝ ［w0（n），w1（n），…，wL－1（n）］T表示抽頭權(quán)值矢量，d（n）表示期望信號(hào)，用于給最優(yōu)濾波提供一個(gè)參考，y（n）表示該濾波器的輸出信號(hào)，e（n）表示誤差信號(hào)，則LMS算法的基本形式如下：

濾波輸出

估計(jì)誤差

抽頭權(quán)值更新

其中H表示轉(zhuǎn)置和共軛相結(jié)合的埃爾米特轉(zhuǎn)置，＊表示共軛，＾表示對(duì)權(quán)值系數(shù)當(dāng)前值得估計(jì)。μ表示LMS算法的收斂因子，也叫步長(zhǎng)參數(shù)，盡管［1，2］詳細(xì)推導(dǎo)并給出了μ的取值范圍，然而其上限涉及輸入矢量x（n）的自相關(guān)矩陣的最大特征值，下限僅要求大于零，但在實(shí)際應(yīng)用中非但該最大特征值難以求解，而且取接近零的正值仍可能導(dǎo)致自適應(yīng)系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此μ值的最終確定通常需要進(jìn)行反復(fù)試驗(yàn)。該算法的結(jié)構(gòu)圖十分直觀，如圖1所示。

圖1 LMS算法的結(jié)構(gòu)

上述表達(dá)式是LMS算法的復(fù)數(shù)形式，實(shí)數(shù)形式只需將埃爾米特轉(zhuǎn)置 “H”改成普通轉(zhuǎn)置 “T”；而e（n）的共軛就是其本身，“＊”可以去掉；抽頭權(quán)矢量的當(dāng)前值我們認(rèn)為就是其當(dāng)前估計(jì)值， “＾”亦可去掉。雖然該算法用最速下降法推導(dǎo)出來，需要求均方誤差函數(shù)的梯度，并且涉及輸入矢量的自相關(guān)矩陣，但是最終的算法形式不需要進(jìn)行平方、求均值、求微分等復(fù)雜運(yùn)算，僅需要乘法和加減運(yùn)算［2，3］?？尚业氖?，乘法和加減運(yùn)算是所有運(yùn)算中最容易用硬件實(shí)現(xiàn)的，并且FPGA芯片嵌入了較多硬線加減器和乘法器的參數(shù)化模塊LPM＿add＿sub、LPM＿mult，這讓加減、乘法運(yùn)算運(yùn)算的速度提高許多［4］。所以本文選用LMS及其改進(jìn)算法，無疑對(duì)實(shí)時(shí)信號(hào)的處理速度大有裨益。

2 改進(jìn)的DLMS算法

查看式（3）不難發(fā)現(xiàn)，要獲取w（n＋1）必須先知道當(dāng)前時(shí)刻的誤差信號(hào)e（n），即先要完成式（2）的運(yùn)算才能進(jìn)行式（3）的計(jì)算。顯然，抽頭權(quán)值的更新不能和濾波輸出同時(shí)進(jìn)行。盡管LMS算法的計(jì)算復(fù)雜度不高，但這種嚴(yán)格執(zhí)行順序抑制了該算法的運(yùn)行速度。再者，實(shí)現(xiàn)LMS算法的自適應(yīng)濾波器最宜采用FIR直接型結(jié)構(gòu)，但是此結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵路徑比較長(zhǎng)，并且LMS算法實(shí)質(zhì)上是非線性的，同時(shí)包含前向路徑和反饋路徑［5］，所以無法直接采用流水線技術(shù)對(duì)其進(jìn)行速度優(yōu)化。

為此，Guozhu Long等人在1989年提出了延遲最小均方 （DLMS）算法。這種算法只在抽頭權(quán)值更新過程中引入一個(gè)延遲D，利用延遲的誤差信號(hào)與輸入向量的乘積來更新抽頭權(quán)值，相當(dāng)于將式 （3）的迭代結(jié)構(gòu)分成多個(gè)周期計(jì)算，式 （3）變成如下形式

該算法引入的延遲是對(duì)整個(gè)自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的延遲，所以濾波輸出的延遲也是D周期。盡管Long等人證明了當(dāng)延遲量小于自適應(yīng)濾波器的階數(shù)時(shí)，DLMS算法的斂散性沒有太大的影響，但是延遲量越大必然對(duì)該算法的收斂性能影響越大，并且影響濾波輸出的速度［6，7］。因此本文提出了改進(jìn)的DLMS算法：在自適應(yīng)濾波器的權(quán)值更新路徑中引入延遲m1，又在濾波輸出路徑中引入延遲m2，本算法的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的DLMS算法結(jié)構(gòu)

對(duì)照?qǐng)D1可以看出，圖2將濾波輸出和期望信號(hào)減去濾波輸出這兩部分合并到了誤差計(jì)算模塊；在權(quán)值自適應(yīng)更新過程中，估計(jì)誤差被延遲了m1周期，輸入信號(hào)也被延遲了m1周期，與此同時(shí)濾波計(jì)算過程用到的抽頭權(quán)值延遲m2周期。這樣濾波輸出得延遲時(shí)間被有效地減少到m2周期［8］。這里式（1）～式（3）變?yōu)?/p>

濾波輸出

估計(jì)誤差

抽頭權(quán)值更新

值得一提，當(dāng)輸入信號(hào)、期望信號(hào)的位寬不變，并且自適應(yīng)濾波器的階數(shù)很小，而m1和m2不論怎樣取值，該自適應(yīng)濾波器的收斂性都不太理想時(shí)，我們可以嘗試將μ值適量減小。

下面采用正弦信號(hào)sin（0.125πt）t∈［1，1024］作為自適應(yīng)濾波器的期望信號(hào)，將零均值、單位方差的高斯白噪聲以SNR＝5摻入上述正弦信號(hào)作為輸入信號(hào)，分別對(duì)4階基于LMS算法和改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)濾波器進(jìn)行仿真，相應(yīng)結(jié)果分別如圖3～圖6所示。

圖3 采用LMS算法各個(gè)信號(hào)波形

圖4 采用LMS算法的權(quán)值自適應(yīng)

圖5 采用改進(jìn)DLMS算法各個(gè)信號(hào)波形

圖6 采用改進(jìn)DLMS算法的權(quán)值自適應(yīng)

圖3和圖5分別是采用LMS和改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)、期望信號(hào)和輸出信號(hào)的波形圖，前兩者對(duì)應(yīng)相同，輸出信號(hào)波形亦大體相似，都是從零開始變化且慢慢平緩，但改進(jìn)DLMS算法的輸出信號(hào)變化較為劇烈。圖4和圖6中自適應(yīng)濾波器的4個(gè)抽頭權(quán)值總體更新走勢(shì)相似，但采用改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)濾波器的4個(gè)權(quán)值波動(dòng)相對(duì)大些。這是由于改進(jìn)DLMS算法的收斂性能嚴(yán)格意義上不如LMS算法，但其收斂性通常也能很好地滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。此外，兩種算法中y（n）和d（n）的差別都較為明顯，如果增大自適應(yīng)濾波器的階數(shù)，則其差別明顯減小。但是階數(shù)越高，自適應(yīng)濾波器的實(shí)現(xiàn)成本越大，并且運(yùn)行速度也會(huì)放緩。因此實(shí)際應(yīng)用中須慎重選擇合適的階數(shù)。

3 基于FPGA實(shí)現(xiàn)

FPGA主要依靠并行化提高處理速度，如何將一個(gè)理論上順序執(zhí)行或者說串行的算法高效地映射到FPGA芯片上是當(dāng)前的熱門話題。流水線技術(shù)是最常用的并行化技術(shù)之一。它將延時(shí)較大的組合邏輯塊切割成兩塊延時(shí)大致相等的組合邏輯塊，從而顯著提高設(shè)計(jì)的運(yùn)行速度上限。事實(shí)上，加入流水線并不會(huì)減少原來設(shè)計(jì)中的總延時(shí)，甚至增加插入寄存器的延時(shí)和信號(hào)同步的時(shí)間差，但它卻可以提高總體的運(yùn)行速度［4，9］。

由于LMS算法存在反饋路徑，并且嚴(yán)格順序執(zhí)行，不能采用一般流水線技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化。而采用改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器的權(quán)值更新路徑和濾波輸出路徑中都加入了延遲，在FPGA實(shí)現(xiàn)時(shí)都相應(yīng)添加了鎖存器，并且基于FPGA的自適應(yīng)FIR濾波器的輸入、輸出、抽頭權(quán)值都要進(jìn)行截?cái)嗵幚韥肀ＷC固定位寬［10］，因此，在采用改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器的前向路徑中可以采用流水線技術(shù)對(duì)乘法運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)乘法結(jié)果的累加運(yùn)算（sum of product，SOP）一般利用加法樹實(shí)現(xiàn)，這里的累加運(yùn)算也可以用流水線技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化［11］，但是該優(yōu)化不需要我們特地編程設(shè)計(jì)，在高版本的Quartus II集成開發(fā)軟件對(duì)HDL程序進(jìn)行編譯綜合時(shí)將自動(dòng)進(jìn)行。

本文使用VHDL對(duì)采用LMS算法和改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器進(jìn)行編程描述，在Altera公司Cyclone III系列的EP3C10U256C8芯片上實(shí)現(xiàn)，用到了內(nèi)置嵌入式乘法器模塊。以設(shè)計(jì)4階自適應(yīng)FIR濾波器為例，取定輸入信號(hào)、期望信號(hào)、抽頭權(quán)值的位寬為8位；誤差信號(hào)和輸出信號(hào)的位寬為16位；為了將例中的乘法器全部流水線化，流水線級(jí)數(shù)設(shè)為6級(jí)；設(shè)定延遲量m1＝3，m2＝3。所有信號(hào)都采用二進(jìn)制補(bǔ)碼形式表示，采用有符號(hào)的十進(jìn)制形式顯示。輸入信號(hào)、期望信號(hào)的數(shù)值是通過將第三節(jié)最后仿真時(shí)所使用的輸入信號(hào)、期望信號(hào)經(jīng)由MATLAB量化得到的。圖7和圖8分別給出了采用LMS算法和改進(jìn)DLMS算法的時(shí)序波形圖，時(shí)鐘clk的周期設(shè)置為100ns，占空比設(shè)置為50%。

圖7 采用LMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器時(shí)序波形

圖8 采用改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器時(shí)序波形

結(jié)合圖7－圖8可以看出，采用LMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器的初始延遲時(shí)間比采用改進(jìn)DLMS算法的自適應(yīng)FIR濾波器的初始延遲時(shí)間短一些，但是總體運(yùn)行速度后者要比前者快許多，表1所列的Fmax或者叫做Registered Performance證實(shí)了這一點(diǎn)。后者的初始延遲時(shí)間較長(zhǎng)主要因?yàn)樵谄銻TL電路中多加了6個(gè)鎖存器。由于篇幅所限本文只給出最開始的時(shí)序波形，其實(shí)越往后兩種算法所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)FIR濾波器的4個(gè)抽頭權(quán)值的更新都越平緩，并且后者相對(duì) “擺動(dòng)”劇烈一點(diǎn)，這與第三節(jié)MATLAB仿真結(jié)果是吻合的。表1給出采用兩種算法時(shí)分別消耗的資源和運(yùn)行的速度。

表1 基于兩種算法的自適應(yīng)濾波器所耗資源和速度比較

4 結(jié)束語

本文首先簡(jiǎn)述LMS算法，并在此基礎(chǔ)上提出改進(jìn)的DLMS算法，接著分別使用這兩種算法結(jié)合FIR直接型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出自適應(yīng)濾波器。在MATLAB上仿真成功后就在FPGA硬件上進(jìn)行時(shí)序驗(yàn)證。在采用改進(jìn)DLMS算法設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)時(shí)還利用流水線技術(shù)對(duì)其乘法器進(jìn)行優(yōu)化。兩種驗(yàn)證結(jié)果總體上都滿足要求。由表1知本方案的處理速度雖然提高到原先設(shè)計(jì)的2倍多，但它所消耗的FPGA硬件資源也比原先增加了一倍多。這印證了硬件設(shè)計(jì)中速度和資源的永恒矛盾：要想節(jié)省資源必然降低處理速度，而要想提高速度必定消耗更多資源。所以在工程應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行取舍或折中。

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