泛函積分方法與三帶Hubbard模型中反鐵磁激發(fā)譜的計(jì)算

田紅金，顏駿，楊曉煥，陳海霖

泛函積分方法與三帶Hubbard模型中反鐵磁激發(fā)譜的計(jì)算

田紅金，顏駿*，楊曉煥，陳海霖

(四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，四川成都610066)

根據(jù)泛函積分方法推導(dǎo)三帶Hubbard模型中的自由Green函數(shù).由矩陣形式的Dyson－Grokov方程得到正常與反常Green函數(shù);這些Green函數(shù)可以描述反鐵磁態(tài)和超導(dǎo)態(tài)的物理性質(zhì).在長波近似下計(jì)算反鐵磁序矢量共存于銅氧格點(diǎn)時(shí)的激發(fā)譜，還討論反鐵磁序矢量對能譜的影響.

泛函積分;溫度Green函數(shù);三帶Hubbard模型;反鐵磁激發(fā)譜

泛函積分方法是研究量子場論和統(tǒng)計(jì)物理中各種激發(fā)現(xiàn)象的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，這一方法已廣泛應(yīng)用于不同種超導(dǎo)模型中的集體激發(fā)的計(jì)算，例如，BCS模型、Boson－Fermion模型、Hubbard模型和T－J模型等［1－8］.這一方法依賴于微擾展開技術(shù)，并且非常適合于弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中熱力學(xué)量的計(jì)算［9］.然而對于強(qiáng)耦合模型還缺乏精確的數(shù)學(xué)方法和泛函積分的正確定義.在前面的工作中將泛函積分和變分累積展開相組合建立了一種新的非微擾方法［10－11］，在強(qiáng)耦合和弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中的自由能和統(tǒng)計(jì)平均值都可以根據(jù)這一新方法來計(jì)算［10，12］.

另外，采用微擾和非微擾泛函積分方法可以研究Sine－Gordon－Thirring模型中弱耦合和強(qiáng)耦合區(qū)間的相結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明雜質(zhì)密度和費(fèi)米凝聚密度可以形成穩(wěn)定的相結(jié)構(gòu)［13］.另一方面，L.D.Faddeev和V.E.Korepin［14］提出了一種計(jì)算孤子質(zhì)量和散射矩陣的重要方法.這一技術(shù)是建立在泛函積分的穩(wěn)定相方法的基礎(chǔ)上，他們在半經(jīng)典近似下計(jì)算了孤子質(zhì)量和散射矩陣的單圈修正.Faddeev－Korepin方法和變分泛函積分方法具有類似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因此這2種方法都可以應(yīng)用于Sine－Gordon孤子的量子統(tǒng)計(jì)物理性質(zhì)的研究.

對于高溫超導(dǎo)體，三帶Hubbard模型比簡單的單帶Hubbard模型更具有現(xiàn)實(shí)的物理意義.K.Malyshev等［15－16］證明了反鐵磁態(tài)和超導(dǎo)態(tài)可以共存于三帶模型之中，他們解釋了處于小摻雜參量的反鐵磁態(tài)可以轉(zhuǎn)化為大摻雜參量的超導(dǎo)態(tài).當(dāng)溫度Green函數(shù)方法應(yīng)用于簡單的二維排斥Hubbard模型中，那么同樣可以證明當(dāng)摻雜參量增大時(shí)，反鐵磁態(tài)將產(chǎn)生對稱性破缺.V.N.Popov［17］提出了一種描述晶格上反鐵磁與鐵磁態(tài)的反常Green函數(shù)方法，他們應(yīng)用Dyson－Gorkov方程求解了Hartree近似下的溫度Green函數(shù).

P.E.Brusov等［5］發(fā)展了高溫超導(dǎo)d波配對模型中的二維泛函積分方法，并計(jì)算了模型中的各種集體激發(fā)效應(yīng).本文將在Popov泛函積分方法的框架下計(jì)算三帶Hubbard模型中銅氧反鐵磁序共存時(shí)的激發(fā)譜，并進(jìn)一步分析和討論反鐵磁序?qū)δ茏V產(chǎn)生的各種影響.

1 泛函積分與三帶Hubbard模型中的作用Green函數(shù)

在單帶Hubbard模型中允許配對超導(dǎo)態(tài)的存在，但這種簡單模型只能看作是高溫超導(dǎo)體的玩具模型，而三帶Hubbard模型比單帶模型更具有現(xiàn)實(shí)的物理意義.三帶模型中考慮了氧的2px和2py軌道和銅的3dx2－y2軌道之間的雜化，CuO2層可近似看作二維正方晶格，則三帶Hubbard模型中的哈密頓量［16］為

式中

式中

是Grassmann費(fèi)米場，Ψs(p)是共軛矩陣.動(dòng)量p= (k，ω)，ω=2πT/(n+1/2)是費(fèi)米頻率.U1=Ud，U2= U3=Up，Ti(k)=ti(1+eiki)，i=1，2，珔Ti(k)=ti(1+e－iki)是Ti(k)的復(fù)共軛，總的態(tài)數(shù)是3N.在動(dòng)量空間中的配分函數(shù)可表示為

式中積分測度為

自由Green函數(shù)可以由如下的泛函積分導(dǎo)出

結(jié)果為

式中

費(fèi)米能譜可由方程M(p)=0得到，它包含3條未微擾的能帶.作變換iω→E后，未微擾能譜可由方程M(p)=0得出，它包括3個(gè)分支:

為了描述三帶模型中的正常態(tài)，可利用如下Dyson－Gorkov方程

式中

自能滿足的方程為

(15)式中沒有對下標(biāo)α求和.將逆矩陣(12)式代入(15)式可以得到如下方程組

式中

這里s=↑或↓是自旋指標(biāo)，s'是s的反指標(biāo)，如果s =↑，則s'=↓，反之亦然.方程組(16)～(18)包含了關(guān)于變量x↑、x↓、y1↑、y1↓y2↑、y2↓的6個(gè)方程，其中3個(gè)是關(guān)于自旋向上的方程，3個(gè)是關(guān)于自旋向下的方程，它們分別是銅格點(diǎn)和氧格點(diǎn)上的重整化化學(xué)勢.在正常態(tài)中xs、y1s、y2s的值與自旋s無關(guān)，(16)式中只有3個(gè)獨(dú)立方程.當(dāng)

則方程組(16)～(18)的解設(shè)為xs=x;y1s=y2s=y，并且只有2個(gè)獨(dú)立方程.這時(shí)能譜方程為

由此方程可得到三帶Hubbard模型的能譜為

2 半滿狀態(tài)和低于半滿狀態(tài)系統(tǒng)的解

在銅氧晶格中平均每個(gè)晶格上總費(fèi)米子數(shù)為3，則N個(gè)晶格對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)為6N.下面根據(jù)系統(tǒng)方程組的解來說明三帶模型中存在半滿狀態(tài).首先證明方程組(16)～(18)存在一組零解xs=y1s=y2s= 0，滿足這組解的條件為

如果xs=y1s=y2s=0，則方程(16)變?yōu)?/p>

再令

則

所以方程(24)成立.同時(shí)方程(17)變?yōu)?/p>

當(dāng)|T1(k)|《|T2(k)|時(shí)，式中第二項(xiàng)為

所以

由于方程(17)和(18)的形式一致，所以這2個(gè)方程也完全成立，那么由零解xs=y1s=y2s=0可將能譜(22)式簡化為

這時(shí)模型中的費(fèi)米子平均數(shù)應(yīng)為

式中參量ε→0+，〈〉它剛好對應(yīng)于總態(tài)數(shù)6N的一半，所以三帶Hubbard模型中存在這種半滿態(tài).這種半滿態(tài)具有一定對稱性，但是對于強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，由于同位排斥作用費(fèi)米子很難由一種自旋態(tài)躍遷到另一個(gè)自旋態(tài)，因此這種半滿態(tài)不太適合描述高溫超導(dǎo)的導(dǎo)電性質(zhì)，所以用低于半滿狀態(tài)的能帶描述高溫超導(dǎo)體現(xiàn)象更合理，因?yàn)檫@時(shí)的費(fèi)米子躍遷過程更容易實(shí)現(xiàn).下面證明模型中確實(shí)存在這種低于半滿的狀態(tài)，這時(shí)假設(shè)一種新的約束條件

那么方程組(16)～(18)具有另外一組解

如果xs=y1s=y2s=－2t，則方程(16)變?yōu)?/p>

(iω－2t)(|T1(k)|2+|T2(k)|2)］}.(35)令ε+=2t+a+(k)，ε－=2t+a－(k)，當(dāng)Ud/4》2t并且溫度T《2t時(shí)，則有

所以方程(16)可以成立.同理方程(17)變?yōu)?/p>

當(dāng)Up/8》2t時(shí)，(37)式中第二項(xiàng)為

所以

而方程(18)與(17)形式上一致，所以當(dāng)新的約束條件(33)式滿足時(shí)，這2個(gè)方程也完全成立.這時(shí)系統(tǒng)方程組的解xs=y1s=y2s=－2t可將能譜表示為

此時(shí)總費(fèi)米子數(shù)等于

式中，當(dāng)T《2t時(shí)，可將(eβE0+1)－1與(eβE+(k)+1)－1忽略，僅保留最后一項(xiàng)，這是E－(k)能級對應(yīng)的總粒子數(shù)為N，這是一種低于半滿狀態(tài)，所以，用一種Green函數(shù)方法解釋了三帶Hubbard模型中可能存在半滿態(tài)和低于半滿的狀態(tài).

3 Dyson－Grokov方程與反常Green函數(shù)

在反鐵磁狀態(tài)中的正常Green函數(shù)定義為

同時(shí)反常Green函數(shù)定義為

式中p=(ω，k+π)，反鐵磁狀態(tài)可通過非零的Nell序參量來描述.在Hubbard模型中存在不同類型的反鐵磁秩序，例如Nell序參量可以存在于銅格點(diǎn)上也可以處于氧格點(diǎn)上，對應(yīng)的反鐵磁平均值可以通過反常Green函數(shù)來計(jì)算.

下面引入如下六維矩陣Green函數(shù)

式中，Gs(p)和Gas(p)是正常和反常Green函數(shù)，G0s(p)是自由Green函數(shù).自能部分對應(yīng)的矩陣設(shè)為

矩陣Dyson－Grokov方程具有如下形式

這里對自能部分取Hartree近似，即As(p)、Bs(p)取為常數(shù)矩陣，它們與p、s無關(guān)，所以有

令δd=δ，δp1=δp，δp2=0，Πi=Ti(k+π)，這表示序參量存在于銅格點(diǎn)和一個(gè)氧格點(diǎn)上，另一個(gè)氧格點(diǎn)上序參量為零.由Dyson－Grokov方程(47)可以得到如下的正常Green函數(shù)

式中

式中符號定義為

Green函數(shù)(50)式中的行列式為

由Dyson－Grokov方程(47)可得到反常Green函數(shù)

式中

下面將根據(jù)正常與反常Green函數(shù)矩陣中的行列式來研究模型的激發(fā)譜.

4 銅氧格點(diǎn)上反鐵磁序共存時(shí)激發(fā)譜的計(jì)算

當(dāng)行列式Det Λ1=Det Λ2=Det Λ3=0時(shí)，可得到如下激發(fā)譜方程組

現(xiàn)在作代換iω→E，并假設(shè)t=t1=t2，xs=y1s=y2s=－2t，δ=0，k1=k2→0，則能譜方程(79)～(81)有如下解

這些在長波近似下的解是簡并的，描寫Nell序參量只存在于一個(gè)氧格點(diǎn)上時(shí)的費(fèi)米激發(fā).當(dāng)δ≠0，δp≠0，則能譜方程(79)～(81)有如下普遍解

這些長波近似解也是簡并的，描寫了Nell序參量同時(shí)存在于銅氧格點(diǎn)上時(shí)的費(fèi)米激發(fā).下面分析躍遷振幅固定時(shí)序參量變化對能譜產(chǎn)生的影響.取t=0.50 eV，δp=1 eV，由(83)式中的第二個(gè)能譜公式可以作出如下激發(fā)能隨δ變化的3種數(shù)值圖形.其中，E++、E+－、E－－分別對應(yīng)(83)式中各種±號的取值.

由圖1可以看出，當(dāng)δ＞δp=1 eV時(shí)，E++與δ近似成線性關(guān)系，隨著銅格位上Nell序參量增大，費(fèi)米激發(fā)能逐漸增強(qiáng).由圖2看出，當(dāng)5 eV＞δ＞δp=1 eV時(shí)，隨著銅格位上Nell序參量增大，費(fèi)米激發(fā)能E+－迅速增強(qiáng)，當(dāng)δ達(dá)到一定值時(shí)，費(fèi)米激發(fā)能近似不變.由圖3可以看出，當(dāng)15 eV＞δ＞δp=1 eV時(shí)，費(fèi)米激發(fā)能隨δ的增大而迅速減弱，當(dāng)δ很大時(shí)，費(fèi)米激發(fā)能趨于零.當(dāng)t=－0.5 eV，δp=1 eV，可作出費(fèi)米激發(fā)能的如圖4所示.

由圖4可以看出，當(dāng)δ＞δp=1 eV時(shí)，珔E++與δ近似成線性關(guān)系，隨著銅格點(diǎn)上的Nell序參量增大，費(fèi)米激發(fā)能也增強(qiáng)，和圖1對比E++和珔E++的變化規(guī)律相似，并且珔E++＜E++，所以這時(shí)t＜0的費(fèi)米激發(fā)能更小.

三帶Hubbard模型的求解是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，要獲得模型中能譜的解析解是非常困難的.本文首先根據(jù)泛函積分方法推導(dǎo)了模型的自由Green函數(shù)，在此基礎(chǔ)上并結(jié)合Dyson－Gorkov方程研究了反鐵磁激發(fā)譜的性質(zhì).本文首次獲得了反鐵磁序矢量同時(shí)存在于銅氧格點(diǎn)時(shí)的激發(fā)譜.K.Malyshev等［15－16］曾研究過同一問題中的反鐵磁激發(fā)性質(zhì)，但他們的工作僅考慮了銅格點(diǎn)上存在反鐵磁序矢量的特殊情況，因此本文的研究結(jié)果更具有普遍性.另外，本文還仔細(xì)分析了氧格點(diǎn)上反鐵磁序矢量不變時(shí)，銅格點(diǎn)上反鐵磁序變化時(shí)對能譜產(chǎn)生的影響.而K.Malyshev等［15－16］的研究工作并沒有仔細(xì)分析2種鐵磁序共存時(shí)反鐵磁激發(fā)譜的變化性質(zhì).

泛函積分方法還得到了BEC和He3中的物理實(shí)驗(yàn)的具體驗(yàn)證.V.N.Popov［17－18］根據(jù)泛函積分中的超動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算了有限溫度下重整化能譜，結(jié)果不僅消除了Green函數(shù)的紅外奇點(diǎn)，而且理論計(jì)算的激發(fā)譜和BEC實(shí)驗(yàn)中的觀測數(shù)據(jù)較好地吻合［19］.P.N.Brusov等［20］根據(jù)泛函積分方法計(jì)算了He3超流中A相的clapping激發(fā)頻率，其理論值和實(shí)驗(yàn)觀測頻率只有約2%的誤差，而普通動(dòng)力學(xué)方程理論的計(jì)算誤差卻超過6%，這些研究結(jié)果表明泛函積分方法具有較高的計(jì)算精確度.V.S.Yarunin［21］根據(jù)約束系統(tǒng)泛函積分方法重新研究了He4超流中的能譜，通過引入玻色凝聚和δ函數(shù)對應(yīng)的溫度譜參量，推導(dǎo)了有效作用量及其相結(jié)構(gòu)方程組，在此基礎(chǔ)上得到了He4超流中的聲子譜和旋子譜，較好地解釋了超流實(shí)驗(yàn)觀測到的能譜曲線，這正是泛函積分方法在求模型中能譜的解析解方面的另一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn).

5 結(jié)論與討論

本文根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)場論中的泛函積分方法研究了三帶Hubbard模型中的反鐵磁激發(fā)譜，通過Dyson－Grokov方程的解證明了模型中可能存在半滿或低于半滿的狀態(tài)，而后一種狀態(tài)可以描寫高溫超導(dǎo)現(xiàn)象，同時(shí)計(jì)算了銅氧格點(diǎn)上反鐵磁序共存時(shí)費(fèi)米激發(fā)能的變化情況.分別討論了躍遷能t＞0和t＜0時(shí)，銅格點(diǎn)上序參量固定的情況下，費(fèi)米激發(fā)能隨氧格點(diǎn)上序參量變化的規(guī)律.結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)t＞0時(shí)激發(fā)能的變化有3種情況:即激發(fā)能單調(diào)增加;迅速增加而趨于固定;單調(diào)減小而逐漸趨于零.當(dāng)t＜0時(shí)，費(fèi)米激發(fā)能的變化情況與t＞0中的第一種情況類似，只不過激發(fā)能更小.

目前中子衍射實(shí)驗(yàn)已證實(shí)摻雜前的母體化合物是反鐵磁絕緣體.在固體物理中，磁性是組成晶體中原子電子組態(tài)及原子磁矩的綜合體現(xiàn).在反鐵磁體中，相鄰近的磁矩反平行排列，并且相反的磁矩正好抵消.高溫氧化物可看作準(zhǔn)二維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系，當(dāng)考慮同一格點(diǎn)附近自旋相反電子(空穴)的庫侖同位關(guān)聯(lián)后，Hubbard模型可以描寫這一體系的反鐵磁和絕緣性質(zhì).

一般銅氧化物的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，但其晶體結(jié)構(gòu)中均含有多個(gè)CuO2平面層.可看作一種準(zhǔn)二維晶體，在CuO2平面中載流子運(yùn)動(dòng)起主要作用，而其余部分可簡化為一種等效的電荷庫存.如果摻雜使電荷庫中電子減少，那么CuO2導(dǎo)電層中將出現(xiàn)空穴，反之，如果摻雜使電荷庫中增加電子，那么CuO2導(dǎo)電層將出現(xiàn)電子載流子，這是摻雜后化合物仍保持電中性的一個(gè)推論.

在摻雜的過程當(dāng)中，除了使氧的電子增加或減少之外，也有可能使銅的電子數(shù)目減少.以LaCoO3為例，LaCoO3是很好的絕緣體，因?yàn)?3價(jià)Co離子只有6個(gè)3d電子，它們和氧的2p電子雜化后，只能填充在成鍵軌道:價(jià)帶，而導(dǎo)帶內(nèi)沒有電子.當(dāng)用Sr+2部分地取代La+3離子后，La1－xSrxCoO3變成很好的導(dǎo)體，這是由于產(chǎn)生了電荷轉(zhuǎn)移，使參與軌道雜化的Co的3d電子的數(shù)目減少，造成了價(jià)帶頂部出現(xiàn)了空穴，而提高了它的電導(dǎo)率.

當(dāng)然，本文的研究結(jié)果可以繼續(xù)推廣研究三帶Hubbard模型的高溫超導(dǎo)性質(zhì)，目前還有文獻(xiàn)在繼續(xù)深入研究Hubbard模型中的各種物理性質(zhì)［22－28］.近30年泛函積分方法已廣泛應(yīng)用于凝聚態(tài)物理的研究之中，如磁性雜質(zhì)問題、普通超導(dǎo)體的物理性質(zhì)、強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中T－J模型的有效哈密頓量推導(dǎo)、單雜質(zhì)Anderson模型中磁化率和有效磁矩的計(jì)算、高溫超導(dǎo)體中反鐵磁自旋漲落的計(jì)算、BEC中的空間分布、高溫超導(dǎo)體和小鐵磁團(tuán)簇中自旋漲落的研究、巡游電子的反鐵磁性質(zhì)等［29－39］.最近幾年泛函積分方法還被應(yīng)用于研究Sine－Gordon－Thirring模型的強(qiáng)耦合性質(zhì)和相結(jié)構(gòu)，并推廣至黑洞外費(fèi)米物質(zhì)能量密度漲落的計(jì)算［40－43］，所以除了高溫超導(dǎo)和其他凝聚態(tài)物理之外，泛函積分方法還具備了更廣泛的物理用途.

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Functional Integrals Method and Calculation of the Antiferromagnetic
Excitation Spectrum in the Three-band Hubbard Model

TIAN Hongjin，YAN Jun，YANG Xiaohuan，CHEN Hailin
(College of Physics and Electronic Engineering，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，the free Green’s function of three-band Hubbard model was derived according to the functional integral methods.We obtained the normal and abnormal Green’s function by the matrix form of Dyson-Grokov equations.The Green’s function can describe the physical properties of antiferromagnetic state and the superconducting state.In the long wave approximation，the excitation spectrum was calculated when the antiferromagnetic order vector co-existed in copper and oxygen lattices.Moreover，the influence of antiferromagnetic order vector on the energy spectrum was also discussed.

functional integral;temperature Green’s function;three-band Hubbard model;antiferromagnetic excitation spectrum

O412;O469

A

1001－8395(2016)03－0388－10

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.016

(編輯李德華)

2014－11－15

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)基金(11ZA100)

*通信作者簡介:顏駿(1965—)，男，教授，主要從事量子場論和引力理論的研究，E－mail:yanjun5@sina.com