二維理想顆粒受剪行為的細(xì)觀機(jī)理*

郭 鴻，陳 茜，李 軍，陳棟梁

(1.陜西理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，陜西 漢中 723000；2. 西北農(nóng)林科技大學(xué)水利水電科學(xué)研究院，陜西 楊凌 7121001)

二維理想顆粒受剪行為的細(xì)觀機(jī)理*

郭 鴻1,2，陳 茜1，李 軍1，陳棟梁1

(1.陜西理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，陜西 漢中 723000；2. 西北農(nóng)林科技大學(xué)水利水電科學(xué)研究院，陜西 楊凌 7121001)

通過(guò)對(duì)二維理想顆粒(圓盤(pán))的直接剪切細(xì)觀力學(xué)機(jī)理分析，研究了顆粒受剪時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了能夠描述等徑顆粒情況下最密排列顆粒的最大剪應(yīng)力公式。并通過(guò)對(duì)另外四種不同級(jí)配的圓盤(pán)顆粒的直接剪切離散元模擬，探討了所建立的最大剪應(yīng)力公式的應(yīng)用。結(jié)果表明：在豎向荷載一定時(shí)，最密排列顆粒的最大剪應(yīng)力取決于邊界顆粒影響參數(shù)和非邊界顆粒影響參數(shù)，且這兩個(gè)參數(shù)在最密排列等徑顆粒的情況下數(shù)值保持一致；對(duì)于一般顆粒級(jí)配，邊界影響參數(shù)基本保持不變，非邊界影響參數(shù)隨著d10，d30和d60的增加而線性減小。

顆粒材料；離散元法；直接剪切；顆粒級(jí)配

顆粒材料廣泛的存在于自然界中，在巖土工程、道路工程以及鐵路工程中的有著極廣泛的應(yīng)用，滑坡、地基剪切失穩(wěn)等現(xiàn)象都與顆粒材料的剪切特性有直接關(guān)系[1-4]。目前的對(duì)于顆粒材料剪切特性的研究大致有兩種方法，即宏觀室內(nèi)試驗(yàn)以及細(xì)觀數(shù)值模擬[5-9]。近年來(lái)興起的離散元方法對(duì)研究顆粒材料起到了很大的推動(dòng)作用，其基本方法是針對(duì)材料定義不同的顆粒接觸模型，利用離散元模擬軟件來(lái)探索其細(xì)觀指標(biāo)諸如力鏈、配位數(shù)、孔隙率、局部剪應(yīng)力和位移場(chǎng)等對(duì)宏觀相應(yīng)的影響[10-13]。然而，由于目前還少有文獻(xiàn)在顆粒材料在受剪時(shí)，將其單個(gè)顆粒的受力及運(yùn)動(dòng)特征與宏觀層面剪切應(yīng)力建立定量關(guān)系，所以針對(duì)不同的顆粒材料，仍然需要試驗(yàn)測(cè)定或離散元模擬的方法確定其剪切特性，諸如內(nèi)摩擦角等。理想圓形顆粒是顆粒材料最簡(jiǎn)化的物理模型，分析其受力規(guī)律有望會(huì)對(duì)實(shí)體顆粒材料的研究提供有效的思路，目前已有研究針對(duì)理想顆粒的力學(xué)特性研究[14-19]，主要探討顆粒形狀、級(jí)配等因素對(duì)剪切特性的影響，但是存在的問(wèn)題仍然是尚未建立顆粒細(xì)觀受力與宏觀相應(yīng)之間的定量關(guān)系，基本都是從力鏈演化等角度定性描述。

基于此，本文以二維等徑顆粒為研究對(duì)象，通過(guò)分析單顆粒在剪切過(guò)程中的受力平衡，推導(dǎo)了二維等徑顆粒規(guī)則排列時(shí)的剪力模型。并且運(yùn)用基于PFC2D的數(shù)值剪切試驗(yàn)，對(duì)所建立的模型，針對(duì)其他不同級(jí)配的二維理想顆粒，進(jìn)行了應(yīng)用探討和驗(yàn)證。

1 顆粒剪切運(yùn)動(dòng)受力分析

1.1 邊界顆粒

顆粒受剪時(shí)，同時(shí)存在法向力和切向剪力。分析單顆粒在受剪時(shí)的受力規(guī)律，如圖1(a)、(b)和(c)所示。顆粒在邊界時(shí)的初始狀態(tài)，上部顆粒處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)，隨著剪力Fi的增大，顆粒發(fā)生緩慢逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)逐漸離開(kāi)右下方所接觸的顆粒，當(dāng)剛好離開(kāi)右下方的顆粒時(shí)，剪力達(dá)到最大值，隨后剪力減小，顆?！疤S”至前方另外兩個(gè)顆粒之間，此時(shí)顆粒材料已經(jīng)剪壞。豎向荷載作用在邊界單個(gè)顆粒上的分力Pi仍然是豎直分向，其值為

Pi=pD/m

(1)

式中p為豎向總應(yīng)力，D為試樣水平方向總寬度，m為水平方向的顆?？倲?shù)。

當(dāng)單個(gè)顆粒在同時(shí)受到Pi和Fi作用下，它的運(yùn)動(dòng)從初始穩(wěn)定點(diǎn)逐漸運(yùn)動(dòng)至另一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，顆粒被剪壞。如圖1(d)受力分析，這種情況時(shí)其水平方向的動(dòng)態(tài)平衡方程為

(2)

式中N為下部顆粒對(duì)其產(chǎn)生的法向支持力，μ為顆粒之間的摩擦系數(shù)，θ為該顆粒和下部顆粒幾何中心連線與水平方向的夾角。

豎直方向的平衡方程為

(3)

式中m為單個(gè)顆粒的質(zhì)量，g為重力加速度。

由式(2)和式(3)得出邊界顆粒情況下，單個(gè)顆粒移動(dòng)所需要的水平剪力為

(4)

圖1 邊界顆粒受剪運(yùn)動(dòng)過(guò)程及受力分析Fig.1 Movement and force analysis of singe particle in the boundary under shear force

1.2 非邊界顆粒顆粒

另一種情況就是顆粒在非邊界上，其剪切運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖2(a)、(b)和(c)所示。豎向荷載作用在非邊界單個(gè)顆粒上的分力P′不在豎直方向，假設(shè)左上角相鄰顆粒與該單個(gè)顆粒同步剪切運(yùn)動(dòng)，則其值為

(5)

圖2 非邊界顆粒受剪運(yùn)動(dòng)過(guò)程及受力分析Fig.2 Movement and force analysis of singe particle within the boundary under shear force

對(duì)于此種情況來(lái)說(shuō)，當(dāng)單個(gè)顆粒在同時(shí)受到P′和Fi作用時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)從初始穩(wěn)定點(diǎn)逐漸運(yùn)動(dòng)至另一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，受力分析如圖2(d)示，此時(shí)，水平方向的動(dòng)態(tài)平衡方程為

(6)

豎直方向的平衡方程為

(7)

由式(6)和式(7)得出非邊界顆粒情況下，單個(gè)顆粒移動(dòng)所需要的水平剪力為

(8)

1.3 一般情況

推廣到一般的等徑顆粒最密排列情景，如圖3所示，若每層m個(gè)顆粒，考慮到顆粒數(shù)目的影響效應(yīng)，則要使該層的所有顆粒都同步運(yùn)動(dòng)，則對(duì)于每層來(lái)說(shuō)需要的的剪力為

F=fjFi

(9)

式中fj(j=1，2)是與邊界條件有關(guān)的系數(shù)，f1表示邊界層顆粒影響系數(shù)，f2表示非邊界層顆粒影響系數(shù)。

假設(shè)有一共有2n層顆粒，所有層總剪力為

(10)

得到的剪應(yīng)力τ為

(11)

理想情況下，規(guī)則排列的剛性顆粒在受剪時(shí)其運(yùn)動(dòng)是同步的，然而考慮到顆粒之間非剛性接觸，其運(yùn)動(dòng)并非同步進(jìn)行，且每層不同顆粒運(yùn)動(dòng)相應(yīng)存在一定的相位差。由于非同步現(xiàn)象涉及到顆粒之間的接觸本構(gòu)，且影響因素諸多，故為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文只考慮邊界層顆粒影響系數(shù)f1和非邊界層顆粒影響系數(shù)f2。

2 二維等徑顆粒DEM剪切試驗(yàn)

建立二維等徑DEM(離散元)數(shù)值剪切試樣，如圖4所示，所有試樣都是等徑顆粒最密排列。保持理想試樣的尺寸為6cm×2cm，設(shè)置不同粒徑的二維顆粒，即5，2.5，1.667，1.25，1，0.833，0.714和0.625mm。設(shè)定顆粒間的摩擦系數(shù)為1，顆粒接觸為最簡(jiǎn)線彈性模型，墻體剛度和顆粒剛度分別為500MN/m和50MN/m。

圖3 m×2n理想剪切試樣Fig.3 m×2nideal shear sample

圖4 不同粒徑的二維離散元剪切試樣Fig.4 2D DEM shear sample of different particle sizes

對(duì)不同粒徑的試樣做離散元數(shù)值剪切試驗(yàn)，編寫(xiě)自動(dòng)加壓伺服程序段，使得在試樣剪切前顆粒體上部的豎向壓應(yīng)力為100kPa，然后固定數(shù)值剪切盒的下半部分，向左移動(dòng)數(shù)值剪切盒的上半部分。需要說(shuō)明的是，為了提高模擬計(jì)算速度，虛擬剪切速度采用2cm/s，在下文中所有的數(shù)值試驗(yàn)均采用該剪切速度。

離散元數(shù)值剪切試驗(yàn)得到的內(nèi)摩擦角和半徑的關(guān)系如圖5所示。由此圖可以看出，粒徑對(duì)摩擦角的影響十分顯著，且根據(jù)擬合公式，二者基本呈線性關(guān)系。當(dāng)豎直荷載為100kPa時(shí)，數(shù)值剪切試驗(yàn)得到的最大剪應(yīng)力和顆粒半徑的關(guān)系如圖6所示，菱形點(diǎn)為DEM試驗(yàn)值，方形點(diǎn)數(shù)據(jù)為本文式(11)的計(jì)算值。在本文所設(shè)定的計(jì)算參數(shù)和DEM參數(shù)的情況下，f1=2.4,f2=3.3。說(shuō)明非邊界顆粒影響系數(shù)對(duì)最大剪切力的影響較大，這一方面是因?yàn)榉沁吔珙w粒的平均配位數(shù)較大，另一方面是由于內(nèi)部顆粒在剪切的過(guò)程中顆粒相互咬合更多(而邊界顆粒的相對(duì)滑動(dòng)更多)。換言之就是非邊界顆粒相對(duì)邊界顆粒的運(yùn)動(dòng)阻力更大，而各個(gè)顆粒的定向運(yùn)動(dòng)阻力之和和宏觀上的剪切力是平衡的，因此f2的數(shù)值大于f1。

圖5 顆粒半徑和內(nèi)摩擦角的關(guān)系Fig.5 Rrelation of particle radius vs internal friction angle

圖6 顆粒半徑和最大剪應(yīng)力的關(guān)系Fig.6 Relation of particle radius vs maximum shear stress

3 非規(guī)則顆粒數(shù)值試驗(yàn)

實(shí)際工程中存在的材料大都屬于非等徑且具有復(fù)雜級(jí)配的顆粒介質(zhì)。據(jù)此，本節(jié)以四種不同級(jí)配的顆粒材料為對(duì)象，進(jìn)行數(shù)值剪切試驗(yàn)，進(jìn)一步探索顆粒大小級(jí)配對(duì)最大剪應(yīng)力的影響規(guī)律，同時(shí)討論二維非等徑理想顆粒情況下式(11)的應(yīng)用。如圖7所示，為四種級(jí)配的二維顆粒(圓盤(pán))，采用Jiang氏方法[20]分四層生成。顆粒級(jí)配曲線如圖8所示，Cc和Cu值如表1所示。

表1 四種級(jí)配砂土的Cc和Cu值

在處理非等徑顆粒情況時(shí)，先計(jì)算出每種顆粒級(jí)配情況下的加權(quán)平均粒徑

圖7 四種顆粒級(jí)配的離散元模型Fig.7 Discrete model of the 4 types sands

圖8 四種級(jí)配試樣Fig.8 Four DEM samples of different particle size distributions

(12)

式中Ri代表某種級(jí)配情況下第i級(jí)的顆粒半徑，Ni代表該i級(jí)顆粒的數(shù)目，n為不同粒徑的總級(jí)數(shù)。

然后將處理后的等徑顆粒按照矩形方式排列為2n行×m列，再用式(10)進(jìn)行計(jì)算最大剪切力。在以上四種顆粒級(jí)配情況下，f1=1，f2與d10，d30和d60有關(guān)，如圖9所示?？梢钥闯?，f2基本都隨d10，d30和d60的增大而減小，且其線性關(guān)系比較明顯。需要進(jìn)一步說(shuō)明的是，f1是與邊界顆粒有關(guān)的系數(shù)，f2是與非邊界顆粒有關(guān)的系數(shù)，所以當(dāng)數(shù)值試樣內(nèi)的顆粒數(shù)量增大時(shí)，f1的影響相對(duì)會(huì)減弱，而f2的影響相對(duì)會(huì)加強(qiáng)。

圖9 d10，d30和d60和f2的關(guān)系曲線Fig.9 Relation of d10，d30 and d60 vs f2

這是因?yàn)樵跀?shù)值試樣內(nèi)部，隨著顆粒數(shù)量的增加，水平方向的力鏈數(shù)量更多，形狀更細(xì)，更彎曲，如圖10所示，而對(duì)于邊界上的顆粒來(lái)說(shuō)，由于上部豎向均布?jí)簯?yīng)力，顆粒的排列相對(duì)規(guī)則，形態(tài)變化也相對(duì)不明顯。f2和最大剪應(yīng)力的關(guān)系如圖10所示，可以看出最大剪應(yīng)力隨著f2的增大而線性增大，表明了力鏈越密集，剪應(yīng)力越大(見(jiàn)圖11)。

圖10 f2和τ的關(guān)系曲線Fig.10 Relation of f2 vs τ

圖11 四種級(jí)配離散元剪切過(guò)程力鏈圖Fig.11 Force chains of four samples with different particle size distributions in DEM shear test

4 結(jié) 論

本文基于二維等徑顆粒體，分析了顆粒材料在受剪時(shí)的力學(xué)機(jī)理，提出了顆粒規(guī)則最密規(guī)則排列時(shí)的最大剪應(yīng)力公式。通過(guò)對(duì)四種不同級(jí)配顆粒體的數(shù)值剪切試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)本文提出的最大剪應(yīng)力公式仍然適用，所不同的只是f1和f2，其中，兩者在非等徑顆粒情況下的數(shù)值都較等徑顆粒情況下的數(shù)值小，而且后者隨著d10，d30和d60的增大而減小。f2和最大剪應(yīng)力的關(guān)系表明，力鏈形態(tài)越密集，剪應(yīng)力越大。

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The microscopic mechanism of the shear properties of two dimensional ideal particle

GUOHong1,2,CHENXi1，LIJun1,CHENDongliang1

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000, China；2. Institute of Water Resources and Hydropower Research, Northwest A&F University,Yangling 712100, China)

By analyzing the micromechanics of the two-dimensional ideal particles (disc) under direct shear test, the movement during the shearing is investigated. The formula described the maximum shear stress in the regular dense packing condition is established. In addition, following the direct shear simulations of the four samples with different particle size distributions, application of the formula which could predict the maximum shear stress was discussed. The results show that the maximum shear stress is depending on two parameters namely boundary effect parameter and the non-boundary effect parameters, and these two parameters keep the same under the regular dense packing when the vertical loading is constant. For the general packing, the boundary effect parameters remained unchanged, and the non-boundary effect parameter is linearly decreases with thed10,d30andd60.

particulate material; discrete element method; direct shear; particle size distribution

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.008

2015-10-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178392) ；陜西理工大學(xué)科研資助項(xiàng)目(SLGKY15-24)

郭鴻(1984年生)，男;研究方向：離散元數(shù)值模擬；通訊作者： 駱亞生;E-mail:lyas1967@nwsuaf.edu.cn

TU442

A

0529-6579(2016)04-0047-06