具有密度依賴和有限抗病毒能力的計(jì)算機(jī)病毒模型的前向與后向分支*

李 君

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710071)

具有密度依賴和有限抗病毒能力的計(jì)算機(jī)病毒模型的前向與后向分支*

李 君

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710071)

研究了一個(gè)具有密度依賴和有限抗病毒能力的計(jì)算機(jī)病毒模型。首先分析了在閾值條件下系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性，然后給出了系統(tǒng)發(fā)生前向和后向分支的條件，同時(shí)證明了該系統(tǒng)的極限環(huán)是不存在的，并用數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)果。

抗病毒能力；穩(wěn)定性；前向分支；后向分支

計(jì)算機(jī)病毒在網(wǎng)絡(luò)上的傳播和經(jīng)典的傳染病模型傳播在許多方面都有非常類似的特征，因此其建模思想大致相同[1-8]。在大部分的傳染病模型研究中，種群的總數(shù)量總是被假設(shè)為一個(gè)常數(shù)或者是滿足指數(shù)增長的。但是由于網(wǎng)絡(luò)資源的有限性，能夠上網(wǎng)的計(jì)算機(jī)數(shù)量服從Logistic增長的密度依賴模式更符合實(shí)際，因此我們考慮在有限資源下的計(jì)算機(jī)病毒模型。

另一方面，殺毒軟件是目前最有效的防治計(jì)算機(jī)病毒的方法之一[1,9]。正如文[1]中所述，殺毒軟件的殺毒能力常與它的花費(fèi)是成比例的。對于有限的軟件花費(fèi)，其殺毒能力也是有限的。因此我們采用下面的恢復(fù)函數(shù)

(1)

(2)

這里，A代表環(huán)境容納量，即有限的網(wǎng)絡(luò)資源所能承載的計(jì)算機(jī)的最大個(gè)數(shù)，k是指和已被感染電腦的聯(lián)網(wǎng)時(shí)平均有效感染率，μ代表計(jì)算機(jī)由于老化等原因的自然淘汰比例，d是指由于病毒的影響使計(jì)算機(jī)癱瘓，從而退出網(wǎng)絡(luò)的比例，函數(shù)T(I)是指殺毒軟件的有效殺毒能力。記m=d+μ，由于方程組(2)的前兩個(gè)方程不包含R(t)，故只需要考慮下面的導(dǎo)出系統(tǒng)

(3)

1 正性和有界性

首先證明模型(3)的正性和有界性。

引理1 系統(tǒng)(3)具有初值S(0)>0,I(0)>0的所有解當(dāng)t≥0時(shí)都是正的，且最終有界。

證明 顯見直線S=0和I=0都是系統(tǒng)(3)的不變直線，因此區(qū)域

是系統(tǒng)(3)的正不變區(qū)域。下證所有的解S(t),I(t)在它們的存在區(qū)域里都是有界的。定義M=max{A,S(0)}。由于

故S(t)≤M對所有的t≥0都成立，即當(dāng)t∈[0,∞)時(shí)S(t)存在且是有界的。記V(t)=S(t)+I(t)，V(t)沿著系統(tǒng)(3)的正解的導(dǎo)數(shù)為

對于比較小的正常數(shù)0<τ

2 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析

為得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令

(4)

以及

(5)

(6)

(7)

或者

(8)

因此b<0和Δ≥0當(dāng)且僅當(dāng)(7)式成立。假設(shè)(7)式成立，那么(6)式有兩個(gè)正解I1與I2, 這里

(9)

相應(yīng)地，記Si=A-kIi,Ei=(Si,Ii),i=1,2。

那么Ei是系統(tǒng)(3)的一個(gè)正平衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Ii>I0成立。若I1>I0，則

(10)

由b的定義可得，

(11)

又由(10)式得

(12)

故當(dāng)且僅當(dāng)(11)式與(12)式成立時(shí)，有I1>I0。此外，當(dāng)R0≤p1或者R0>p1,R0>p2,I1≤I0成立。類似地，若(11)式成立或者p2I0。同樣地，當(dāng)R0≤min{p1,p2}有I2≤I0?？偨Y(jié)上述討論有下面的結(jié)果成立。

峨眉健康文化思想是一種基于道教和佛教禪修的健康實(shí)踐方法?！敖】滴幕械纳烷L壽概念具有深刻的社會文化基礎(chǔ)、強(qiáng)烈的精神和物質(zhì)文化?！盵13]與制度文化（人類為自己的生存和社會發(fā)展的需要積極創(chuàng)造的有組織的規(guī)范體系）形成對比，在峨眉武術(shù)健康文化的發(fā)展歷程中，幾千年來，在峨眉武術(shù)的各種拳種技術(shù)體系影響下，將古代中醫(yī)保健思想融為一體，滲透儒、釋、道思想，已成為一種寶貴的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)。但從精神文化（心理學(xué)概念和理論）的實(shí)證分析，峨眉武術(shù)健康文化被視為天、人、身、心的運(yùn)動以及文武思想的延伸，成為健康文化的基本出發(fā)點(diǎn)和理論基礎(chǔ)。

引理3 若R0

下面給出系統(tǒng)發(fā)生前向與后向分支的條件。由引理3中的(i)可得

定理1 假設(shè)R0≥p0,

在實(shí)際情況當(dāng)中，(iv)和(v)所描述的情況是不同的。情形(iv)意味著當(dāng)R0<1時(shí)計(jì)算機(jī)病毒將會持續(xù)，見圖1。在情形(v)中，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)不僅發(fā)生前向分支，而且還會發(fā)生后向分支，但當(dāng)R0<1時(shí)計(jì)算機(jī)病毒將會被完全清除，見圖2。前向分支圖見圖3，其參數(shù)值為k=0.1,m=0.01,ε=0.1,I0=12。

情形(iv)和情形(v)所發(fā)生的現(xiàn)象是非常有趣的，它們可以有效的幫助我們控制病毒的蔓延。事實(shí)上，從p0的表達(dá)式可以看出，當(dāng)I0增加的時(shí)候p0也是增加的。當(dāng)I0足夠大，以至于p0>1,當(dāng)R0<1時(shí)系統(tǒng)(3)不會發(fā)生后向分支。當(dāng)繼續(xù)增大I0直到R0

圖1 若k=0.1,m=0.01,ε=0.1,I0=1,R0<1，病毒持續(xù)生存，后向分支Fig. 1 The virus is persistence and system occurs backward bifurcation if k=0.1,m=0.01,ε=0.1,I0=1,R0<1

圖3 系統(tǒng)(3)的前向分支圖Fig.3 The bifurcation diagram of system (3)

通過分析系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)處的特征值，可以得到下面關(guān)于平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。

定理2 對于模型(3)，下面的結(jié)論成立：

(vii)E0是一個(gè)鞍點(diǎn)；

(ix) 當(dāng)1

(x) 當(dāng)E1存在時(shí)它是一個(gè)鞍點(diǎn)；

(xi) 當(dāng)E2存在時(shí)它是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)。

3 全局行為

定理3 如果下面的條件之一成立，

(xii)R0<1,p0>1;

(xiii)R0<1≤p1,p0<1;

下面證明原系統(tǒng)中不存在極限環(huán)。在大部分文獻(xiàn)中，證明的方法是Dulac準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則是針對于光滑向量場的,但是系統(tǒng)(3)在I=I0處并不光滑，所以采用的是Wang[10]所采用的思想。記系統(tǒng)(3)的右端函數(shù)分別為f1和f2，則有下面的引理。

那么系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán)。

證明 證明過程類似于文[10],略。

利用引理4，可以得到下面關(guān)于系統(tǒng)(3)極限環(huán)的不存在性。

定理4 系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán)。

證明 由引理1的證明，若系統(tǒng)(3)存在極限環(huán)，那么它必存在于區(qū)域

考慮如下的函數(shù)B

(13)

那么

對于I>I0，

故由引理4，系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán)。

下面的定理給出了出現(xiàn)雙穩(wěn)情形的條件。

定理5 對于系統(tǒng)(3),下面的結(jié)論成立：

(xv)如果max{1,p0,p1}

證明

情形(xv) 證明與上面類似,略。

圖4 系統(tǒng)(3)出現(xiàn)的雙穩(wěn)現(xiàn)象Fig.4 The bistable of system (3)

[1] REN J, YANG X, ZHU Q, et al. A novel computer virus model and its dynamics [J]. Nonlinear Anal Real World Appl, 2012, 13: 376-384.

[2] YANG L, YANG X, WEN L, et al. A novel computer virus propagation model and its dynamics [J]. Int J Comput Math, 2012, 89: 2307-2314.

[3] YANG L, YANG X. The spread of computer viruses under the influence of removable storage devices [J]. Appl Math Comput, 2012, 219: 3914-3922.

[4] YANG L, YANG X, ZHU Q, et al. A computer virus model with graded cure rates [J]. Nonlinear Anal Real World Appl, 2013, 14: 414-422.

[5] ZHU Q, YANG X, YANG L, et al. Optimal control of computer virus under a delayed model [J]. Appl Math Comput, 2012, 218: 11613-11619.

[6] YANG L, YANG X. The impact of nonlinear infection rate on the spread of computer virus [J]. Nonlinear Dynamics, 2015,82: 85-95.

[7] CHEN L, HATTAF K, SUN J. Optimal control of a delayed SLBS computer virus model [J]. Physical A, 2015, 427: 244-250.

[8] MUROYA Y, KUNIYA T. Global stability of nonresident computer virus models [J]. Math Meth App Sci, 2015, 2: 281-295.

[9] FORREST S, HOFMAYER S, SOMAYAJI A. Computer immunology [J]. Communications of the ACM, 1997, 40: 88-96.

[10] WANG W. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment [J]. Math Biosci, 2006, 201: 58-71.

Forward and backward bifurcation of a computer virus model with density-dependent and limited anti-virus ability

LIJun

(School of Mathematics and Statistics, Xidian University, Xi’an 710071, China)

A computer virus model with density-dependent and limited anti-virus ability is studied. The existence of equilibria is given and the local stability is established under the threshold value condition. After some mathematical analyses, it is showed that the forward and backward bifurcations occur and alsos proved that there is no limit cycle for system. Finally, the results are confirmed by numerical simulation.

anti-virus ability; stability; forward bifurcation; backward bifurcation

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.006

2015-10-16

西安電子科技大學(xué)博士啟動基金資助項(xiàng)目(7214614503)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(7215614501)

李君(1981年生)，男；研究方向：常微分方程及其應(yīng)用;E-mail:lijun@xidian.edu.cn

O

A

0529-6579(2016)01-0035-05